(15) Преобразования Лоренца

Классические преобразования Галилея несовместимы с постулатами СТО и, следовательно, должны быть заменены другими преобразованиями. Эти новые преобразования должны установить связь между координатами (x, y, z) и моментом времени t события, наблюдаемого в системе отсчета K, и координатами (x', y', z') и моментом времени t' этого же события, наблюдаемого в системе отсчета K'.

Кинематические формулы преобразования координат и времени в СТО называются преобразованиями Лоренца. Они были предложены в 1904 году еще до появления СТО как преобразования, относительно которых инвариантны уравнения электродинамики. Для случая, когда система K' движется относительно K со скоростью υ вдоль оси x, преобразования Лоренца имеют вид:

K' → K                K → K' β = υ /c.

Из преобразований Лоренца вытекает целый ряд следствий. В частности, из них следует релятивистский эффект замедления времени и лоренцево сокращение длины. Пусть, например, в некоторой точке x' системы K' происходит процесс длительностью τ₀ = t'₂ – t'₁ (собственное время), где t'₁ и t'₂ – показания часов в K' в начале и конце процесса. Длительность τ этого процесса в системе K будет равна

Аналогичным образом, можно показать, что из преобразований Лоренца вытекает релятивистское сокращение длины. Одним из важнейших следствий из преобразований Лоренца является вывод об относительности одновременности. Пусть, например, в двух разных точках системы отсчета K' (x'₁ ≠ x'₂) одновременно с точки зрения наблюдателя в K' (t'₁ = t'₂ = t') происходят два события. Согласно преобразованиям Лоренца, наблюдатель в системе Kбудет иметь

Следовательно, в системе K эти события, оставаясь пространственно разобщенными, оказываются неодновременными. Более того, знак разности t₂ – t₁ определяется знаком выражения υ(x'₂ – x'₁), поэтому в одних системах отсчета первое событие может предшествовать второму, в то время как в других системах отсчета, наоборот, второе событие предшествует первому. Этот вывод СТО не относится к событиям, связанным причинно-следственными связями, когда одно из событий является физическим следствием другого. Можно показать, что в СТО не нарушается принцип причинности, и порядок следования причинно-следственных событий одинаков во всех инерциальных системах отсчета.

(16) Следствия из преобразований Лоренца

Будем рассматривать системы и(рис. 8).

1. Относительность промежутков времени между событиями.

где - промежуток времени между событиями, происшедшими в системе отсчета(отсчитывается по часам, находящимся в системе);

- промежуток времени между этими событиям, отсчитанный по часам, находящимся в системе.

2. Изменение размеров движущихся тел.

где L’-длина стержня, расположенного вдоль осии покоящегося в системеS’ (отсчитывается в системе отсчетаS’);

L- длина этого же стержня, измеренная в системе отсчета.

3. Релятивистский закон сложения скоростей.

Пусть некоторое тело движется вдоль оси x` в системе отсчета со скоростьюотносительно последней. Найдем проекцию скоростиэтого тела в системе отсчетана ось x этой системы:

.

(17) Сложение скоростей в СТО

Классический закон сложения скоростей не может быть справедлив, т.к. он противоречит утверждению о постоянстве скорости света в вакууме. Если поезд движется со скоростьюv и в вагоне в направлении движения поезда распространяется световая волна, то ее скорость относительна Земли все равно c, а не v + c.

Рассмотрим две системы отсчета.

В системе K₀ тело движется со скоростью v₁. Относительно же системы K оно движется со скоростью v₂. Согласно закону сложения скоростей в СТО:

Если v << c и v₁ << c, то слагаемым можно пренебречь, и тогда получим классический закон сложения скоростей:v₂ = v₁ + v.

При v₁ = c скорость v₂ равна c, как этого требует второй постулат теории относительности:

При v₁ = c и при v = c скорость v₂ вновь равна скорости c.

Замечательным свойством закона сложения является то, что при любых скоростях v₁ и v (не больше c), результирующая скорость v₂ не превышает c. Скорость движения реальных тел больше, чем скорость света, невозможна. Допустим, что два тела движутся навстречу друг другу со скоростями 200 000 км/с, тогда по классической формуле сложения скоростей получим:

v₂ = 200 000 км/c + 200 000 км/c = 400 000 км/с, а по закону сложения скоростей в СТО v₂ = 277 000 км/с.

18

                                                                                                                              (5.19)         То есть масса стремится к бесконечности по меpе того, как скоpость тела пpиближается к скоpости света. Тем самым автоматически выполняется тpебование теоpии, согласно котоpому скоpость света есть пpедельная величина, и скоpость любого тела не может ее пpевысить. Связь импульса частицы с ее скоpостью тепеpь задается фоpмулой (5.20) где m0 - масса покоя тела.         Опpеделение силы в ТО сохpаняется таким же, как и в механике Нъютона: сила есть пpоизводная от импульса по вpемени, т.е. F = dp/dt. Втоpой закон Ньютона в ТО пpиобpетает вид:(5.21)         (5.23) Таким обpазом, фоpмула энеpгии в ТО пpиобpетает вид:(5.25)         Пpинимая во внимание определение массы (5.19), фоpмула энеpгии может быть пpедставлена следующим обpазом:(5.26)         Энеpгия тела пpопоpциональна его массе. Этот закон называется законом эквивалентности массы и энеpгии .         Если тело неподвижно, то его энеpгия pавна m0c^2, т.е. фоpмула (5.25) выpажает не энеpгию движения (кинетическую энеpгию), а полную энеpгию тела, включая и внутpеннюю. Кинетическая же энеpгия в ТО опpеделяется следующей фоpмулой:(5.27)(5.28)         Изменение массы покоя системыИспользуя фоpмулу (5.20), энеpгию тела можно выpазить чеpез его импульс. Опуская элементаpные пpеобpазования, напишем окончательный pезультат:

19

1.2. Опытные законы идеального газа

В молекулярно-кинетической теории пользуются моделью идеального газа, удовлетворяющей следующим условиям: 1) собственный объем молекул газа пренебрежимо мал по сравнению с объемом сосуда; 2) потенциальной энергией взаимодействия молекул можно пренебречь; 3) столкновения молекул между собой и со стенками сосуда абсолютно упругие.

Закон Бойля-Мариотта: для данной массы газа при постоянной температуре произведение давления газа на его объем есть величина постоянная:

pV=const при Т, m=const.

Изотермы представляют собой гиперболы, расположенные на графике тем выше, чем выше температура (рис. 9).

рис. 9

рис. 10

рис. 11

Законы Гей-Люссака: 1) давление данной массы газа при постоянном объеме изменяется линейно с температурой:

при V, m=const (рис. 10);

2) объем данной массы газа при постоянном давлении изменяется линейно с температурой:

при p, m=const (рис. 11).

В этих уравнениях t– температура по шкале Цельсия, p₀и V₀– давление и объем при 0C,- температурный коэффициент. Изобары и изохоры пересекают ось тем­пе­ратур в точкеt= - 1/

Закон Авогадро: моли любых газов при одинаковых температуре и давлении занимают одинаковые объемы. При нормальных условиях p = 1,01310⁵ Па;

Т=273,15 К; этот объем V=22,4110^-3 м³/моль.

По определению, в одном моле различных веществ содержится одно и то же число молекул, называемое постоянной Авогадро: N_A=6,02210²³ моль^-1.

Закон Дальтона: давление смеси нормальных газов равно сумме парциальных давлений входящих в нее газов, т.е.p=p₁ +p₂ +p₃ +, где р₁, р₂…- парциальные давления – давления, которые оказывали бы газы смеси, если бы они одни занимали объем, равный объему смеси при той же температуре.

20

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории устанавливает зависимость между давлением и объемом газа и кинетической энергией поступательного движения его молекул: ,

где p – давление газа, оказываемое им на стенки сосуда; n – концентрация молекул газа; m₀ – масса молекулы газа; < ²_КВ> - средняя квадратичная скорость молекул.

Если газ в объеме V содержит N молекул, движущихся со скоростями ₁ , ₁ , ₁ ,…, _N , то средняя квадратичная скорость характеризует всю совокупность молекул газа и определяется из соотношения

.

Уравнение Менделеева–Клапейрона

Состояние некоторой массы газы определяется тремя термодинамическими параметрами: давлением p, объемом V, температурой T. Между этими параметрами существует связь, показываемая уравнением состояния f (p,V,T)=0, где каждая переменная является функцией двух других.

, где B – газовая постоянная, различная для разных газов.

Уравнение Менделеева–Клапейрона для массы m газа , где - число молей.

R - называется универсальной газовой постоянной. R=8,31

21

Закон Максвелла для распределения молекул идеального газа

по скоростям теплового движения

По молекулярно-кинетической теории, как бы не изменялись скорости молекул при столкновениях, средняя квадратичная скорость молекул массой m₀в газе, находящемся в состоянии теплового равновесия при Т=cоnst, остается постоянной и . Закон Максвелла описывается некоторой функциейf(), называемой функ­ци­ей распределения молекул по скоростям. Если разбить диапазон скоростей молекул на малые интервалы, равныеd, то на каждый интервал скорости будет приходиться некоторое число молекулdN(), имеющих скорости в интервале (+d).

и , гдеN– число молекул газа.

Таким образом, функция f() определяет относительное число молекул , скорости которых лежат в интервале отдо (+d).

. (3)

22

рис.12 рис. 13

Таким образом, функция f() определяет относительное число молекул , скорости которых лежат в интервале отдо (+d).

. (3)

График функции распределения приведен на рис. 12. Из приведенного графика следует, что функция распределения стремится к нулю при 0 ии проходит через максимум при некоторой скорости_В, называемой наиболее вероятной скоростью. Этой скоростью и близкой к ней обладает наибольшее число молекул. Кривая несимметрична относительно_В.

Значение наиболее вероятной скорости можно найти, продифференцировав уравнение Максвелла (3) по аргументуи приравняв результат нулю, используя условие для максимума выраженияf():

;

.

На рис. 13 показано смещение _Вс изменением температуры. Получим среднюю ско­рость .

;

.

23

5. Барометрическая формула

При выводе основного уравнения молекулярно-кинетической теории и максвелловского распределения молекул по скоростям предполагалось, что на молекулы газа внешние силы не действуют, поэтому молекулы равномерно распределены по объему. Однако молекулы любого газа находятся в потенциальном поле тяготения Земли. Тяготение, с одной стороны, и тепловое движение молекул - с другой, приводят к некоторому стационарному состоянию газа, при котором давление газа с высотой убывает (рис. 14).

Рис. 14

- барометрическая формула.

При h=0 p₁=p₀, где p₀ - нормальное давление на уровне моря.

24

На рис.15 показано изменение давления газа с высотой для различных газов при T = const, а на рис. 16 – изменение давления газа (=const) при разных темпе­ра­ту­рах.

Рис. 15 Рис. 16

Барометрическую формулу можно преобразовать, если воспользоваться выражением : , гдеn₀- концентрация молекул газа на высотеh= 0,n– на высотеh. Так как , а , то

и -распределение Больцманаво внешнем потенциальном поле,

где П=m₀gh– потенциальная энергия молекулы в поле тяготения.

25

Первое начало термодинамики

Рассмотрим термодинамическую систему, для которой механическая энергия не изменяется, а изменяется лишь ее внутренняя энергия.

Внутренняя энергия системы может измениться за счет совершения работы над системой и сообщения ей количества теплоты.

Передача теплоты может осуществляться тремя способами:

1. теплопроводностью ;

2. конвекцией, где происходит перенос теплого вещества к холодному;

3. излучением.

Допустим, что некоторая система (газ, заключенный в цилиндр под поршнем), обладая внутренней энергией U₁, получила некоторое количество теплотыQи перешла в новое состояниеU₂, совершив при этом работу А против внешних сил.

Qсчитается положительным, если оно подводится к системе, а работа - положительной, когда система совершает ее против внешних сил. Опыт показывает, что в соответствии с законом сохранения энергии при любом способе перехода системы из первого состояния во второе изменение внутренней энергииU=U₂-U₁будет одинаковым и равным разности между количеством теплоты, полученным системой и работой, совершаемой системой против внешних сил:

U=Q-A, илиQ =U+A– математическое выражение первого начала термодина­мики: теплота, сообщаемая системе, расходуется на увеличение ее внутренней энергии и на совершение ею работы против внешних сил.Qвыражается в тех же единицах, что и работа, и внутренняя энергия, т.е. в джоулях (Дж).

Если система периодически возвращается в первоначальное состояние, то U=0 иA=Q, нельзя построить вечный двигатель, который совершал бы большую по величине работу, чем количество сообщенной ему извне энергии.

Круговой процесс

Круговым процессом или циклом называется процесс, при котором система, пройдя через ряд состояний, возвращается в исходное. На диаграмме процессов цикл изображается замкнутой кривой (рис. 20)

В результате кругового процесса система возвращается в исходное состояние и, следовательно, полное изменение внутренней энергии газа равно нулю (U=0), тогда , то есть работа, совершаемая за цикл, равна количеству полученной извне теплоты. Однако в результате кругового процесса система может как получать теплоту, так и отдавать, поэтому , гдеQ₁–теплота, полученная системой, аQ₂– отданная.

Термический коэффициент полезного действия .

26

Работа газа при изменении его объема

Найдем в общем виде работу, совершаемую газом при изменении его объема.

Рассмотрим газ, находящийся под поршнем в цилиндрическом сосуде (рис. 18).

Рис. 18

Если газ, расширяясь, передвигает поршень на расстояние , то он производит над ним работу:

,

где S- площадь поршня,sdL=dV- изменение объема системы. Таким образом, . Полную работу А, совершаемую газом при изменении его объема отV₁доV₂, найдем путем интегрирования:

.

Результат интегрирования определяется характером зависимости между давлением и объемом газа.

27

Внутренняя энергия U – энергия хаотического (теплового) движения микрочастиц системы (молекул, атомов, и. т. д.) и энергия взаимодействия частиц.

Молекулу одноатомного газа рассматривают как материальную точку, которой приписывают три степени свободы поступательного движения.

В классической механике молекула двухатомного газа в первом приближении рассматривается как совокупность двух материальных точек - атомов, жестко связанных недеформируемой связью. Эта система кроме трех степеней свободы поступательного движения имеет еще две степени свободы вращательного движения. Трехатомная и многоатомные нелинейные молекулы имеют шесть степеней свободы – три поступательные и три вращательные.

На каждую поступательную степень свободы приходится энергия . Столько же приходится на вращательную степень.

Таким образом, средняя кинетическая энергия молекулы идеального газа , гдеi– сумма числа поступательных и вращательных степеней свободы молекулы

Внутренняя энергия, отнесенная к одному молю газа, будет равна сумме кинетических энергий N_Aмолекул: . Если имеем молей газа, то его внутренняя энергия: .

28

Теплоемкость

Удельная теплоемкость вещества – величина, равная количеству теплоты, не­об­хо­димому для нагревания 1кг вещества на 1К: ([c] = 1 Дж/(кгК)). Молярная теплоемкость - величина, равная количеству теплоты, необходимому для нагревания 1 моля вещества на 1 К: , где - количество молей вещества ([C_] = 1 Дж/(мольК)). Удельная теплоемкость связана с молярной соотношением

.

Различают теплоемкости при постоянном давлении и постоянном объеме, если в процессе нагревания вещества поддерживаются постоянным соответственно давление и объем .

Если газ нагревается при постоянном объеме, то работа внешних сил равна нулю и сообщенная газу извне теплота идет на увеличение его внутренней энергии:

, то есть молярная теплоемкость газа при постоянном объемеC_V равна изменению внутренней энергии газа при повышении его температуры на 1 К.

Так как , то .

. Это выражение называетсяуравнением Майера. Тогда .

При рассмотрении термодинамических процессов важно знать характерное для каждого газа отношение C_PкC_V:

.

Из последних формул следует, что молярные теплоемкости определяются лишь числом степеней свободы и не зависят от температуры.

29

Термодинамический процесс называется обратимым, если он может происходить как в прямом, так и обратном направлении, причем такой процесс происходит сначала в прямом, а затем в обратном направлении, и система возвращается в исходное состояние, а в окружающей среде и в самой системе не происходит никаких изменений. Всякий процесс, не удовлетворяющий этим условиям, является необратимым.

Обратимый процесс – это в какой-то степени идеализация реальных процессов. Их рассмотрение важно по двум причинам: 1) многие процессы в природе и технике обратимы; 2) обратимый процесс является наиболее экономичным и приводит к максимальному значению термического коэффициента полезного действия, что позволяет указать пути повышения КПД реальных тепловых двигателей.

30

Термодинамическая вероятность – это однозначная функция термодинамического состояния системы, численно равная числу микросостояний, с помощью к-х может быть реализовано данное макро состояние.

Св-ва:

1. Т.В. является мерой беспорядка, хаоса в системе.

2. Любой процесс (самопроизвольный) в замкнутой системе наиболее вероятно будет происходить в сторону возрастания W, т.е.

3. В равномерном состоянии Wмаксимальна, т.к.=>

4. Отличие Wот нуля для любого состояния указывает на вероятность существования этого состояния.

5. В реальных системах функциональные области . Это области в к-х и к-л параметр отличается от среднего значения в к-л системе.

6. W величина мультипликативная.

31

Энтропия

Из выражения для обратимого цикла Карно следует, что или , гдеQ₂ количество теплоты, отдаваемое рабочим телом холодильнику, поэтому оно отрицательно. Следовательно, . Величина называется приведенным количеством теплоты.

Для цикла Карно алгебраическая сумма приведенных количеств теплоты равна нулю. Приведенное количество теплоты на бесконечно малом участке процесса равно .

Для любого обратимого кругового процесса сумма приведенных количеств теплоты равна нулю. Тогда в общем виде может быть записано: .

Из равенства нулю данного интеграла следует, что - полный дифференциал некоторой функции, которая определяется только состоянием системы и не зависит от пути, каким система пришла в это состояние. Эта функция называется энтропиейS. Для обратимых круговых процессовS=0. В термодинамике доказывается, что энтропия системы, совершающей необратимый цикл, возрастает:S>0.S=0 – это относится только к замкнутым системам. В общем случаеS0, т.е.Sможет либо возрастать, либо быть равной нулю.

Если система совершает равновесный переход их состояния 1 в состояние 2, то , т.к. , а ,

то , т.е. изменение энтропииS_12идеального газа не зависит от вида процесса перехода 12. При изотермическом процессе (T₁ =T₂) , при изохорном процессе

(V₂=V₁) .

Физический смысл энтропии был предложен Больцманом, предположившим, что энтропия связана с термодинамической вероятностью состояния системы. Термодинамическая вероятность состояния системы W– это число способов, которыми может быть реализовано данное состояние макросистемы. , гдеk- постоянная Больцмана.

32

Для описания термодинамических процессов перового начала термодинамики недостаточно. Выражая закон сохранения и превращения энергии, первое начало термодинамики не позволяет определить направление протекания процессов в природе.

Рассмотрим схему теплового двигателя (рис. 21). От термостата с более высокой температурой T₁, называемого нагревателем, за цикл отнимается количество теплотыQ₁, а термостату с более низкой температуройT₂, называемому холодильником, за цикл передается количество теплотыQ₂и совершается работаA=Q₁-Q₂ .

Для того чтобы термический коэффициент полезного действия тепловой машины =1, необходимо, чтобыQ₂ = 0, т.е. тепловой двигатель должен иметь один источник теплоты, а это невозможно. Невозможность создания теплового двигателя, работающего только с одним источником теплоты (вечный двигатель второго рода), составляет содержание второго начала термодинамики в формулировке Кельвина–Планка: 1) вечный двигатель второго рода невозможен; 2) невозможен процесс, единственным результатом которого является превращение теплоты, полученной от нагревателя, в эквивалентную ей работу.

Рис. 21 Рис. 22

Процесс, обратный рассмотренному в тепловом двигателе, используется в холодильной машин, принцип действия которой представлен на рис. 22

Системой за цикл поглощается при низкой температуре T₂количество теплотыQ₂и отдается при более высокой температуреT₁количество теплотыQ₁. Для кругового процессаQ=A, но по условиюQ=Q₁-Q₂< 0, поэтомуA< 0 иQ₂-Q₁= -AилиQ₁=Q₂ +A, т.е. количество теплотыQ₁, отданное системой источнику теплоты при более высокой температуре Т₁, больше количества теплотыQ₂, полученного при более низкой температуре Т₂на величину работы, совершенной над системой. Следовательно, без совершения работы нельзя отбирать теплоту от менее нагретого тела и отдавать более нагретому телу.

Это утверждение составляет содержание второго начала термодинамики в формулировке Клаузиуса: теплота никогда не может переходить сама собой от тел с более низкой температурой к телам с более высокой температурой.

.

33

работа совершается за счет изменения внутренней энергии системы.

Для адиабатического процесса имеют место равенства

;и.

Эти выражения представляют собой уравнения адиабатического процесса.

34

Изохорный процесс. (V=const). При изохорном процессе газ не совершает рабо­ту над внешними силами. Из первого начала термодинамики следует, что вся теплота, сообщаемая газу, идет на увеличение его внутренней энергии:

.

35

Изобарный процесс (p=const). Диаграмма этого процесса в координатахp,Vизображается прямой 1-2, параллельной осиV(рис. 19). При изображенном процессе работа газа при расширении от объемеV₁доV₂равна:и определяется площадью заштрихованного прямоугольника.

Если использовать уравнение Менделеева-Клапейрона для выбранных нами двух состояний, то . Тогда выражение для работы изобарного расширения примет вид. Из этого выражения вытекает физический смысл молярной газовой постояннойR: если Т₂-Т₁ = 1 К, то для одного моля газаR=A, то естьRчисленно равна работе расширения одного моля идеального газа при нагревании его на 1К.

В изображенном процессе при сообщении газу количества теплоты его внутренняя энергия возрастает на величину.

36

Адиабатическимназывается процесс, при котором отсутствует теплообмен (dQ= 0) между физической системой и окружающей средой. Близкими к адиа­ба­ти­ческим являются все быстропротекающие процессы. Из первого начала термодинамики для адиабатического процесса следует, что, т.е. работа совершается за счет изменения внутренней энергии системы.

Легко показать, что для адиабатического процесса имеют место равенства

;и.

Эти выражения представляют собой уравнения адиабатического процесса. Вычислим работу, совершаемую газом в адиабатическом процессе. Запишем уравнение в виде . Если газ адиабатически расширяется от объемаV₁доV₂, то его температура падает отT₁доT₂и работа расширения идеального газа.

Это выражение для работы при адиабатическом процессе можно преобразовать к виду

.

Изотермический процесс (T = const).

Уравнением изотермического процесса является закон Бойля-Мариотта: pV=const. Найдем работу газа при изотермическом процессе:

.

Из первого начала термодинамики следует, что и , т.е. все количество теплоты, сообщаемое газу, расходуется на совершение им работы против внешних сил:

.

37

Среднее число столкновений и средняя длина свободного пробега молекул

Молекулы газа, находясь в состоянии хаотического движения, непрерывно сталкиваются друг с другом . Между двумя последовательными столкновениями молекулы проходят некоторый путь L, который называется длиной свободного пробега. В общем случае длина пути между последовательными столкновениями различна, то можно говорить о средней длине свободного пробега молекул <L >.

Минимальное расстояние, на которое сближаются центры молекул, называется эффективным диаметром молекулы d. Он зависит от скорости сталкивающихся молекул, т.е. от температуры. За 1 с молекула проходит путь, равный <>, и если <z> - среднее число столкновений за единицу времени, то.

Молекула, которая движется по центру цилиндра (рис. 17), сталкивается только с теми молекулами, центры которых находятся внутри цилиндра радиусом 2r.

,

где n– концентрация молекул,, (<> - средняя скорость молекул).

,

более точно - при учете движения других молекул.

.

Среднее времясвободного пробега молекулы – время между 2 соседними столкновениями.

38

Явления переноса в термодинамически неравновесных системах

В термодинамически неравновесных системах возникают особые необра­ти­мые процессы, называемые явлениями переноса, в результате которых происходит про­странственный перенос энергии (теплопроводность), массы (диффузия), коли­чества движения (внутреннее трение).

Теплопроводность

Если в одной области газа средняя кинетическая энергия молекул больше чем в другой, то с течением времени вследствие постоянных столкновений молекул температура выравнивается. Процесс передачи энергии в форме тепла подчиняется закону теплопроводности Фурье: количество теплотыq, которое переносится за единицу времени, через единичную площадку, прямо пропорционально- градиенту температуры, равному скорости изменения температуры на единицу длиныxв направлении нормали к этой площади., где- теплопроводность. Знак минус показывает, что при теплопроводности энергия переносится в сторону убывания температуры. Теплопроводность равна количеству теплоты, переносимой через единичную площадку в единицу времени при температурном градиенте, равном единице. Очевидно, что теплота, прошедшая посредством теплопроводности через площадьSза времяt:

Можно показать, что, гдеc_v– удельная теплоемкость газа при постоянном объеме,- плотность газа.

Диффузия

Если в стакан с водой аккуратно влить пищевой краситель, то мы увидим, что вода будет постепенно окрашиваться. Это смешивание обусловлено хаотическим движением молекул и называется диффузией.

Диффузия сводится к обмену масс частиц этих тел, возникает и продолжается, пока существует градиент плотности.

Перенос массы вещества подчиняется закону Фика: масса веществаmпереносимая за единицу времени через единичную площадку, прямо пропорциональна градиенту плотности:

где D – диффузия(коэффициент диффузии). Знак минус показывает, что перенос массы происходит в направлении убывания плотности.

ДиффузияDравна массе вещества, переносимого через единицу площади за единицу времени при градиенте плотностиравном единице. Масса М вещества, перенесенная в результате диффузии через площадьSза времяt:

.

Согласно кинетической теории газов,

Внутреннее трение (вязкость)

Механизм возникновения внутреннего трения между слоями газа (жидкости), движущимися с различными скоростями, заключается в том, что из-за хаотического теплового движения происходит обмен молекулами между слоями, в результате чего количество движения слоя, движущегося быстрее, уменьшается, движущегося медленнее - увеличивается, что приводит к торможению слоя, движущегося быстрее, и ускорению слоя, движущегося медленнее. Внутреннее трение подчиняется закону Ньютона: , гдеf – сила внутреннего трения, действующая на единицу площади поверхности слоя,  - динамическая вязкость (вязкость), - градиент скорости. Знак минус указывает, что сила трения направлена против скорости. Вязкость вычисляется по формуле: . СилаF, действующая на площадь S, пропорциональна этой площади и градиенту скорости :.

Между ,  и D существуют простые закономерности:

39

? - лямбда

n₀– концентрация молекул газа там, где расположенаS_ . Изменение концентрации происходит на длине свободного пробега.dM=dM⁺-dM^-

Выберем интервал времениdT, в течение которого будем наблюдать за диффузией.

<v> - ср.скорость дв-ия молекул

k-каппа

40

Они проявляются на расстоянии10^-9м и быстро убывают при увеличении расстояния между молекулами. Между молекулами вещества одновременно действуют силы притяженияF_ПРи силы отталкиванияF_ОТ. На рис 24а приведена качественная зави­си­мость сил межмолекулярного взаимо­дей­ствия от расстоянияrмежду молеку­ла­ми. На расстоянииr=r₀результирующая сила

F= 0. Это расстояние соответствует равно­вес­ному расстоянию между молекулами. Приr<r₀преобладают силы отталкивания. Приr>r₀– силы притяжения.

При r> 10^–9м межмолекулярное взаимо­дей­ствие отсутствует:F0.

Элементарная работа dAсилыFпри увеличении расстояния наdrсовершается за счет уменьшения взаимной потенциальной энергии молекул, т.е.. Из потенциальной кривой на рис. 24б следует, что система из двух взаимодействующих молекул в состоянии устойчивого равно­ве­сия (r=r₀) обладает минимальной потенци­аль­ной энергией.

41

Уравнение Ван-дер-Ваальса

Учет собственного объема молекул и сил межмолекулярного взаимодействия привел голландского физика Ван-дер-Ваальса (1837-1923) к выводу уравнения состояния реального газа.

В уравнение Менделеева - Клапейрона введены две поправки.

Учет собственного объема молекул.

Фактический свободный объем, в котором могут двигаться молекулы, не V_m, а (V_m -b).

Учет взаимодействия молекул.

Действие сил притяжения между молекулами реального газа приводит к тому, что появляется дополнительное давление на газ, называемое внутренним давлением.

Внутренней давление обратно квадрату объема газа, т.е. , гдеa– постоянная Ван-дер-Ваальса, характеризующая силы межмолекулярного притяжения,V_m- молекулярный объем. Вводя эти поправки, получим уравнение Ван-дер-Ваальса для моля газов:.

Для произвольной массы mгаза с учетом того, чтоV=V_m, уравнение Ван-Дер-Вальса примет вид:

или, гдеaиbопределяются опытным путем и являются постоянными для каждого газа величинами.