Третий закон Ньютона

Данный закон устанавливает соотношение между силами с которыми тела взаимодействуют друг с другом.

Две материальные точки взаимодействуют друг с другом с силами, равными по величине противоположными по направлению и направленными вдоль линии, соединяющей точки.

,

где - сила, действующая на i-ую точку со стороны k-ой,

- сила, действующая на k-ую точку со стороны i-ой.

Третий закон Ньютона позволяет перейти от динамики отдельной мате­риальной точки к системе материальных точек. Из третьего закона следует, что в любой механической системе материальных точек геометрическая сумма всех внутренних сил (т.е. сил, с которыми взаимодействуют между собой материальные точки системы) равна нулю.

, ( i  k ),

где n - количество материальных точек системы; i,k - номера взаимодействующих точек.

(4) Момент силы и момент импульса относительно оси вращения

Рис.5.

Вращательное действие силы харак­те­ризуется такой величиной, как мо­мент силы относительно оси вращения (рис. 5).

Пусть М - точка приложения силы ,- радиус-вектор точки М, проведённый пер­пен­дикулярно оси вращения O'O. Разложимна три составляющие:

- осевая, параллельная оси вращения,

- радиальная, направленная вдоль вектора ,

- касательная, перпендикулярная и оси вращения.

Составляющие и- вращения тела вокруг оси O'O не создают. Вращающее действие силысоздаётся составляющей.Моментом силы относительно оси вращенияO'O называется векторное произведение радиуса-вектора точки приложения силы, проведённого перпен­дикулярно оси вращения, на составляющую силы, перпендикулярную оси вращения и радиусу вектору.

Вектор момента силы направлен вдоль оси вращения и связан с направлением силы правилом правого винта.

При вращательном движении материальная точка массы m двигается по окружности радиуса r со скоростью .

Моментом импульса материальной точки называется векторная величина, равная векторному произведению радиуса вектора на импульс точки (рис. 6)

Моментом импульса системы материальных точек называется геометрическая сумма моментов импульсов точек, составляющих систему:

Рис.1.6.

Моментом импульса тела относительно оси вращения называется величина

,

где - момент инерции тела относительно оси O'O.

Момент инерции тела относительно оси вращения

Момент инерции тела характеризует инертность тела при вращательном движении и зависит от распределения массы тела относительно оси вращения. Момент инерции определяется размерами и формой тела, массой и положением оси вращения.

- момент инерции системы материальных точек.

Рис.7.

- момент инерции тела,

где - плотность тела.

Момент инерции тела относительно произвольной оси может быть рассчитан по теореме Штейнера: момент инерции тела относительно оси O'O равен сумме момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс и параллельной O'O, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями (рис. 7).

Основной закон динамики вращательного движения

Из законов Ньютона следует, что скорость изменения момента импульса тела относительно оси будет равна результирующему моменту внешних сил относительно той же оси вращения.

Угловое ускорение, приобретаемое телом, пропорционально моменту сил, приложенных к телу, и обратно пропорционально моменту инерции тела.

(5) Моменты инерции однородных тел правильной формы.

Момент инерции материальной точки определяется произведением массы материальной точки на квадрат расстояния от оси вращения до рассматриваемой точки.Моменты инерции однородных тел правильной формы относительно оси проходящей через их центр масс рассчитываются достаточно просто исходя из формул объемов тел, и определения плотности в виде . Поясним это на примере однородного цилиндра. Мысленно разобьем цилиндр на концентрические слои толщиной , тогда масса цилиндра радиуса -очевидно, будет равна , здесь - высота цилиндра. Момент инерции рассматриваемого слоя

.

Прямое интегрирование последнего выражения позволяет получить полный момент цилиндра

.

Учитывая, что масса равна , окончательно получим .

Аналогично рассуждая, можно получить формулы для расчета моментов инерций и для других тел вращения правильной формы, для случая, когда ось вращения проходит через центр масс рассматриваемого тела

Тонкий обруч	Стержень (закрепленный посередине)	Стержень (закрепленный см. рис.)
Однородный цилиндр	Диск	Шар

 Теорема ШТЕЙНЕРА.

 Момент инерции данного тела относительно, какой либо данной оси зависит не только от массы, формы и размеров тела, но также от положения тела по отношению к этой оси.

Согласно теореме Гюйгенса - Штейнера - момент инерции тела Jотносительно произвольной оси (рис. 6.4) равен сумме:

1)момента инерции этого тела J₀, относительно оси, проходящий через центр масс этого тела, и параллельной рассматриваемой оси,

2) произведения массы тела на квадрат расстояния между осями.

(6) Механическая работа– физическая величина, равная произведению силы на путь, пройденный телом вдоль направления этой силы. Единица измерения работы – 1 джоуль (1 Дж = 1 Н·м). Если вектор силы перпендикулярен направлению движения тела, то совершаемая этой силой работа равна нулю; если вектор силы сонаправлен с направлением движения тела, то работу силы считают положительной; если вектор силы противонаправлен направлению движения тела, то работу силы считают отрицательной. В зависимости от конкретных условий работа силы может быть полезной или бесполезной. Сумма этих работ является полной совершенной работой.

(7) Кинетической энергией тела называется функция механического состояния тела, зависящая от массы тела и скорости его движения (энергия механического движения).

; .

При сложном движении твёрдого тела, его кинетическая энергия может быть представлена через энергию поступательного и вращательного движения:

где _c - скорость поступательного движения тела (центра масс), J_c- момент инерции тела относительно мгновенной оси вращения, проходящей через центр масс,- угловая скорость вращения тела.

Отметим свойства кинетической энергии.

1. Кинетическая энергия не отрицательна: Е_К0.

2. Кинетическая энергия системы тел равна сумме кинетических энергий тел, составляющих систему: .

3. Приращение кинетической энергии тела или системы равно работе всех сил, действующих на систему или на тело: .

(8) Потенциальная энергия системы - это функция механического состояния системы, зависящая от взаимного расположения всех тел системы и от их положения во внешнем потенциальном поле сил, убыль которой равна работе, которую совершают все консервативные силы (внутренние и внешние) при переходе системы из начального положения в конечное.

Е_П1-Е_П2 = -Е_П = А_12конс,.

Из определения потенциальной энергии следует, что она может быть определена по консервативной силе, причём с точностью до произвольной постоянной, значение которой определяется выбором нулевого уровня потенциальной энергии.

.

Таким образом, потенциальная энергия системы в данном состоянии равна работе, совершаемой консервативной силой при переводе системы из данного состояния на нулевой уровень.

Как потенциальная энергия может быть найдена по известной консервативной силе, так и консервативная сила может быть найдена по потенциальной энергии:

, ,.

Примеры потенциальной энергии:

1) - потенциальная энергия тела массой m, поднятого на высоту h от нулевого уровня энергии в поле тяжести Земли;

2. - потенциальная энергия упругого деформированного тела, х - величина деформации тела (пружины).

(9) Работа силы и мощность при поступательном и вращательном движениях

У материальной точки (тела) в процессе силового взаимодействия с другими телами может изменяться состояние движения (координаты и скорость). В этом случае говорят, что над телом совершается работа. В механике принято говорить, что работа совершается силой.

Элементарной работой силы на малом перемещенииназывается величина, равная скалярному произведению силы на перемещение:

,

где - элементарный путь точки приложения силы за время dt,- угол между векторамии,=Fcos- тангенциальная составляющая силы, равная проекции силы на направление перемещения.

Если на систему действуют несколько сил, то результирующая работа равна алгебраической сумме работ, совершаемых каждой силой в отдельности.

Работа силы на конечном участке траектории или за конечный промежуток времени может быть вычислена следующим образом:

.

Если = const, то А=, если= const, то А=S.

При вращательном движении считается, что работа определяется моментом сил:

,

если М = const, то А=М.

Для характеристики быстроты совершения работы вводится мощность.

Мощностью называется скалярная величина N равная работе, совершаемой в единицу времени.

.

(10) Закон сохранения механической энергии

Полная механическая энергия системы материальных точек равна сумме их кинетической и потенциальной энергии взаимодействия этих точек друг с другом и с внешними телами:

Е = Е_к + Е_п.

Приращение механической энергии системы определяется работой всех неконсервативных сил (внешних и внутренних):

,

Если действуют только консервативные силы или работа неконсервативных сил равна нулю, то dE = 0 и Е = const, т.е. справедлив закон сохранения механической энергии:при движении консервативной системы её механическая энергия не изменяется.

, Е_К+Е_П=Е_К’+Е_П’

(11) Закон сохранения импульса

Рассмотрим второй закон Ньютона для системы материальных точек:

,

где - импульс i-ой материальной точки;

- результирующая внешних сил, действующих на i-ю точку.

Согласно третьему закону Ньютона , тогда,

где =- импульс системы;- результирующая внешних сил, действу­ю­щих на систему.

Таким образом, скорость изменения импульса системы равна результирующей внешних сил, действующих на систему. Если = 0, то такая система называется замкнутой.

Закон сохранения импульса:импульс замкнутой системы не изменяется с течением времени, т.е.

, и

Закон сохранения момента импульса

Если результирующий момент внешних сил, действующих на тело, относительно оси вращения равен нулю, то момент импульса тела относительно этой же оси будет оставаться постоянным.

В системе тел момент импульса системы относительно оси вращения будет оставаться постоянным, если момент внешних сил, действующих на систему, относительно оси вращения будет равен нулю.

Моментом импульса материальной точки называется векторная величина, равная векторному произведению радиуса вектора на импульс точки (рис. 6)

Моментом импульса системы материальных точек называется геометрическая сумма моментов импульсов точек, составляющих систему:

Рис.1.6.

Моментом импульса тела относительно оси вращения называется величина

,

где - момент инерции тела относительно оси O'O.

(12) Упругое и неупругое соударения

При соударении тел они в большей либо меньшей мере деформируются. При этом кинетическая энергия тел частично или полностью переходит в потенциальную энергию упругой деформации и во внутреннюю энергию тел. Увеличение внутренней энергии приводит к нагреванию тел.

Ограничимся рассмотрением центрального ударадвух шаров, при котором шары движутся вдоль прямой, проходящей через их центры. На рис. 1 изображены два возможных случая центрального удара.

Рассмотрим два предельных вида соударения - абсолютно неупругий и абсолютно упругий удары.

Абсолютно неупругий удар

Интересным примером, где имеет место потеря механической энергии под действием диссипативных сил, является абсолютно неупругий удар, при котором потенциальная энергия упругой деформации не возникает; кинетическая энергия тел частично или полностью превращается во внутреннюю энергию. После такого удара тела движутся с одинаковыми скоростями (т.е. как одно тело) либо покоятся.

При абсолютно неупругом ударе выполняется только закон сохранения суммарного импульса тел: , откуда,

. (7)

Кинетическая же энергия, которой обладала система до удара, после соударения уменьшается или стремится к нулю. Изменение кинетической энергии:

. (8)