- •Вопрос-1 {1-6, к: 1- 13} : квантовая природа электромагнитного излучения. Тепловое излучение
- •1.1 Тепловое излучение и люминесценция {к: 1-2}
- •Вопрос-2 {7-10, к: 13-18}: формула планка
- •Вопрос-4 {10-13, к: 22-27}: эффект комптона
- •1923 Рассеивающее вещество в рентгеновском излучении содержит кроме исходного (с ) излучение и с большей ’ ,
- •Дифракция электронов на двух щелях {к: 31-32}
- •Соотношение неопределённости гейзенберга
- •Применение соотношений неопределённости
- •Основные операторы квантовой механики
- •Сложение и умножение операторов
- •Вопрос-10: гармонический осциллятор
- •Вопрос-11 {29-31, к: 62-67}: прохождение микрочастицы через потенциальный барьер
- •Вопрос-12 {31-33, к: 68-72}: квантование момента импульса
- •Квантование проекций моментов импульса
- •Фундаментальные взаимодействия
- •Частицы переносчики взаимодействия {к: 86}
- •Вопрос-17 {41, к: 86}: частицы и взаимодействие
- •Распределение электронов по электронным уровням принцип паули {к: 93-96}
- •Вопрос-20 {47-48, к: 96-100}: периодическая система менделеева
- •Нормальный эффект зеемана {к: 102}
- •Лазеры {к: 106}
- •Ковалентная (гомеополярная): h2 ;
- •Квантовая статистика ферми-дирака {к: 114-115}
- •Вопрос-25 {58-59, к: 117-188}: функция плотности состояния
- •Вопрос-29 {62-63, к: 123-126}: электропроводность металлов
- •Эффект джозеферона (1962)
- •Вопрос-31 {67-72, к: 131-138}: элементы зонной теории твёрдых тел
- •В рамках приближения слабой связи рассматривается движение квазисвободных электронов в периодическом поле кристалла.
- •Вопрос-32 {73-75, к: 139-143}: движение электронов в периодическом поле кристалла под действием внешнего поля. Эффективная масса электрона. Понятие о дырках.
Вопрос-10: гармонический осциллятор
Пусть частица совершает равномерные движения в пространстве под действием квазиупругой силы: F=-kx; U=kx2/2={k=m2}=m2x2/2;
d2/dx2 + (2m/2)(E- m2x2/2)=0 имеет конечное непрерывное решение при следующих значениях E: n=0, 1, 2, 3 .... En=(n+1/2);
<РИС>
Отличие данного выражения от выражений для энергии классического осциллятора:
а) Энергия квантуется, причём энергетические уровни эквидистантны (расстояние между уровнями равно ).
б) Нулевые колебания также обладают энергией.
Математический аппарат квантовой механики позволяет рассчитать вероятность перехода осциллятора из одного состояния в другое. Возможны лишь переходы с n=1;
Условия, накладываемые на изменения квантовых чисел при переходе из одного состояния в другое, называются “правилами отбора”. Полученные результаты согласовываются с теорией Планка.
Обобщая рассмотренные случаи движения микрочастиц (потенциальная яма и гармонический осциллятор), отметим, что квантование энергии общее свойство квантовых объектов. В то же время структура энергетического спектра зависит от формы потенциальной ямы. E ~ n2 бесконечная яма; E ~ n;
Для бесконечно глубокой потенциальной ямы собственные функции обращаются в ноль на границе.
Собственные функции гармонического осциллятора не обращаются в ноль в точках, удовлетворяющих U(xn)=En => квантовая частица может находиться в тех точках пространства, где её U(xn)>En ;
Это явление не имеет аналогии в классической теории и называется ТУННЕЛЬНЫМ ЭФФЕКТОМ.
Волновая функция осциллятора в основном состоянии совпадает с функцией Гаусса.
<РИС>
Вопрос-11 {29-31, к: 62-67}: прохождение микрочастицы через потенциальный барьер
Рассмотрим основные закономерности туннельного эффекта на примере преодоления микрочастицей, движущейся с E, потенциального барьера высотой U0>E.
<РИС>
U(x)={0, -<x<0 ; U0, 0xl ; 0, lx<}
Классическая частица с E<U0 отразится в точке x0 от барьера и будет двигаться назад.
Поведение квантовой частицы описывается уравнением Шрёдингера, которое выглядит по разному в областях (1,3) и 2.
1,3: d2/dx2 + (2mE/2) = 0 ;
2: d2/dx2 + (2m/2)(E-U0) = 0, E-U0 < 0; = ex ;
Подстановка в первое уравнение приводит к характеристическим уравнениям: 2 + 2mE/2 = 0; =sqrt(2mE)/=ik;
Общее решение в (1,3) имеет вид падающей и отражённой волны де Бройля:
1=A1e+ikx+B1e ikx ;
3=A3eik(x-l) + B3e ik(x-l) ; Т.к. нет отражения, то B3=0;
В области (2) корни 2 + [2m(U0-E)]/2 = 0 действительны и равны: = sqrt(2m(U-E0))/ = ;
Решение в области (2): 2=A2ex + B2e x ;
Коэффициенты можно найти из условия непрерывности -функции и её производной на границе барьера:
1(0)=2(0); 1’(0)=2’(0); 2(l)=3(l); 3’(l)=3’(l);
A1 + B1 = A2 + B2 ; A2el + A2el += A3 ;
ikA1 - ikB1 = A2 - B2 ; A2el - A2el = ikA3 ;
Отношение квадратов модулей амплитуд называется КОЭФФИЦИЕНТОМ ОТРАЖЕНИЯ, который описывает вероятность отражения частицы от барьера.
R=|B2|2/|B1|2 коэффициент отражения; R1 даже если E>U0 ;
Д=|A3|2/|A1|2 КОЭФФИЦИЕНТ ПРОХОЖДЕНИЯ (прозрачности) вероятность, что частица пройдет через барьер: Д0, даже если E<U0 ;
Если ввести: n2=2/k2 = (U0-E)/E ;
Д=[16n2/(n2+1)2]e2l e (2/)sqrt(2m(U0-E))l ;
Д зависит от массы частицы, ширины барьера, соотношения высот...
Из неравенства нулю Д при E<U0 => в туннеле Ek < 0;
В квантовой механике не имеет смысла деление E на Ek и Ep , т.к. это противоречило бы принципу неопределённости. Т.о. R+Д=1;
Аналог туннельного эффекта имеет место в классической электромагнитной теории, которая предсказывает, что волна, падающая из более плотной среды в менее плотную, представляет собой тонкий слой между двумя плотными средами, даже при плотном внутреннем отражении проникает в “запрещённую” область и распространяется в виде бегущей волны.
Туннельный эффект квантовое явления, связанное с волновыми свойствами частиц. Туннельный эффект объясняет ионизацию атомов, холодную эмиссию (вырывание e из металлов под действием электрического поля), -распад ядер.