§8.7. Линейные функционалы

Рассмотрим специальный случай линейного оператора, когда его область значений содержится в одномерном линейном пространстве, изоморфном множеству вещественных чисел. Такого рода зависимости, следуя классификации, введенной в §5.2., следует относить к функционалам. Напомним данное ранее

Определение 8.7.1.

Пусть каждому элементу линейного пространства поставлено в соответствие однозначно определяемое число, обозначаемое. Тогда говорят, что взаданфункционал .

Пример 8.7.1.

1. В пространстве n-компонентных столбцов можно задать функционал, поставив столбцу в соответствие число, где- некоторые фиксированные константы.

2. В векторном геометрическом пространстве функционалом является длина вектора, то есть . 3. В пространстве функций , определенных на [-1,1] функционалом является- ”дельта-функция”, обозначаемая как , ставящая в соответствие каждой функцииее значение в нуле. 4. В пространстве функций, непрерывных на, функционалом является определенный интеграл, то есть, где- некоторая заданная нанепрерывная функция. 5. В линейном пространстве квадратных матриц вида функционалом является определитель .

Определение 8.7.2.

Функционал называется линейным функционалом (или линейной формой), если для любых и любого числа: 1. 2. .

Задача 8.7.1.

Доказать, что функционалы в примерах 1, 3 и 4 являются линейными, а функционалы в примерах 2 и 5 - нет.

Представление линейного функционала в

Пусть в дан базиси пусть координатное представление элемента линейного пространства имеет вид. Тогда, в силу линейности функционала, справедливы соотношения, где- числа, называемыекомпонентами линейного функционала в данном базисе.

Из последних равенств следует, непосредственно проверяемая

Теорема 8.7.1.

Каждый линейный функционал в в конкретном базисе имеет однозначно определяемую строку компонентов , а каждая строка компонентов в конкретном базисе определяет в некоторый линейный функционал .

Запись координатного представления линейного функционала в в видестроки (а не столбца) использована, чтобы обеспечить соответствие этого представления определению 8.4.5., поскольку линейный функционал в можно рассматривать как линейное отображение.

Заметим, что в в матричной форме каждый линейный функционалв базисеможет быть записан как.

Задача 8.7.2.

Показать, что в с базисом операции сложения и умножения на число для линейных функционалов и в координатном представлении имеют вид: и , где и .

Получим теперь правило изменения компонент линейного функционала в при переходе от одного базиса к другому.

Пусть в даны два базисаи, связанные матрицей перехода, где для  j=[1,n]. Координатные представления некоторого элемента будут иметь в рассматриваемых базисах вид, а координатные представления линейного функционала, соответственно.

Найдем выражения для величин через. Используя введенные обозначения, получаем, что доказывает следующее утверждение:

Теорема 8.7.1.

В в базисах и компоненты координатных представлений линейного функционала исвязаны соотношением , где коэффициенты - коэффициенты матрицы перехода от первого базиса ко второму.

В матричной форме это утверждение имеет вид , что означает, что компоненты линейного функционала в преобразуются при замене базиса так же, как преобразуются столбцы базисных элементов (см. §7.3.).

Двойственное (сопряженное) пространство. Взаимный (биортогональный) базис

Поскольку линейные функционалы в являются частным случаем линейных операторов, то для них можно ввести операции сравнения, сложения и умножения на число. Очевидно, что при этом будут справедливы все утверждения §8.2. В том числе и

Теорема 8.7.2.

Множество всех линейных функционалов, заданных в линейном пространстве , является линейным пространством.

Определение 8.7.3.

Линейное пространство линейных функционалов, заданных в , называется двойственным (или сопряженным) пространству и обозначается.

Теорема 8.7.1. устанавливает взаимно однозначное соответствие между множеством линейных функционалов и множеством компонентных строк, последнее из которых является линейныммерным пространством. Принимая во внимание, что операции с линейными функционалами в координатном представлении всовпадают с аналогичными операциями длякомпонентных строк, можно прийти к заключению об изоморфности линейных пространстви. Поэтому будет справедлива

Теорема 8.7.3.

Размерность пространства , двойственного , равна.

Как и во всяком мерном линейном пространстве, вдолжен существовать базис. Пусть он состоит из элементов. Тогда каждый элементможет быть представлен (и притом единственным образом) в виде линейной комбинации базисных элементов, то есть, а соответствующее координатное представление элементабудет- стандартное длямерного линейного пространства столбцовое представление.

Связь между базисами вивзадается квадратной, порядкаматрицей, элементами которой являются числа- значения функционала на элементе.

Определение 8.7.4.

Если матрица , то есть, то базисыиназываютсявзаимными (биортогональными).

Отметим, что, если базис вявляется взаимным для базисав, то для любого линейного функционалаего координатные представления ви всвязаны очевидным соотношением.

Задача 8.7.3.

Доказать, что, если базис в не является взаимным для базиса в , то .

Вторичное двойственное (вторичное сопряженное) пространство

Поскольку являетсямерным линейным пространством, то в нем, также как и в, возможно определить линейные функционалы и рассматривать их множество как новое линейное пространство, двойственное к. Будем называть пространствовторичным двойственным для линейного пространства .

Вполне очевидно, что линейные пространства ,имерные и, следовательно, изоморфны друг другу. Однако, между пространствамиисуществует специальный изоморфизм, позволяющий не делать различия между ними, и который может быть построен следующим образом.

Пусть - некоторый элемент из, а- действующий вфункционал такой, что. Убедимся вначале, чтолинейный на, то есть он будет некоторым элементом в. Действительно,

.

Это означает, что , где, согласно теореме 8.4.1.,- подпространство линейного пространства.

Теперь рассмотрим отображение , которое можно записать и как. Оно будет линейным, как произведение (композиция) линейных отображенийи. Пустьтогда, из условия, очевидно вытекает, то есть это отображение является также и взаимно однозначным. Следовательно,- отображение, устанавливающее изоморфизм линейного пространстваи множества, а тогда, в силу теоремы 7.5.1.,.

Наконец, отметим, что сочетание условий иозначает совпадение множестваи линейного пространства.

Таким образом, мы приходим к заключению, что отображение устанавливает взаимно однозначное соответствие между элементами линейных пространстви, позволяющее считать их одним и тем же пространствоми записывать связь между значениями линейных функционалов, действующих ви, в симметричной форме вида.

1) Доказывается, например, в курсе ТФКП.

1) См. приложение 3.

1) Правило деления комплексных чисел приведено в Приложении 3.