§8.6. Свойства собственных векторов и собственных значений

Теорема

8.6.1.

В комплексном линейном пространстве всякий линейный оператор имеет хотя бы один собственный вектор.

Доказательство:

Поскольку характеристическое уравнение является алгебраическим уравнением n-й степени относительно , то к нему применима основная теорема высшей алгебры ¹), утверждающая, что такое уравнение имеет хотя бы один комплексный корень.

Теорема доказана.

Теорема

8.6.2.

В вещественном линейном пространстве всякий линейный оператор имеет либо хотя бы один собственный вектор, либо двумерное инвариантное подпространство.

Доказательство:

Если характеристическое уравнение имеет вещественный корень, то из системы (8.5.1.) находим собственный вектор.

Пусть характеристическое уравнение имеет комплексный корень, решив систему (8.5.1.) , получим соответствующий ему комплекснозначный собственный вектор, гдеu и w - элементы , представляемые вещественнымиn-компонентными столбцами.

Покажем, что u и w линейно независимые. Допустим противное: . Тогда из соотношенияимеем, что, или, то есть -вещественное, что противоречит предположению о невещественности собственного значения.

Подставим выражения для собственного значения и собственного вектора в их определение: . Получаемили, и из равенства действительных и мнимых частей находим, что.

Но это и означает, что оператор имеет двумерное инвариантное подпространство, совпадающее с двумерной линейной оболочкой элементов u и w , поскольку

_.

_{Теорема доказана.}

Задача

8.6.1.

Решение:

Найти собственные значения и собственные векторы оператора , действующего в пространстве трехмерных столбцов и заданного матрицей .

Теорема

8.6.3.

Совокупность собственных векторов, отвечающих некоторому собственному значению линейного оператора , дополненная нулевым элементом линейного пространства, является инвариантным подпространством оператора.

Доказательство:

Пустьи. Тогда для любых, не равных нулю одновременно чисели

,

что и показывает справедливость утверждения теоремы.

Теорема доказана.

Определение

8.6.1.

Подпространство состоящее из собственных векторов, отвечающих некоторому собственному значению, дополненных нулевым элементом, называется инвариантным собственным подпространством (или, просто, собственным) линейного оператора .

Теорема

8.6.4.

Всякое инвариантное собственное подпространство линейного оператора является также инвариантным подпространством линейного оператора, если операторыикоммутируют.

Доказательство:

Пусть - инвариантное собственное подпространство оператора , то есть .

Но тогда справедливо равенство , а в силу коммутируемости и линейности операторов и , будет верно и при .

Последнее условие означает, что при , то есть - инвариантное подпространство оператора .

Теорема доказана.

Теорема

8.6.5.

Собственные векторы линейного оператора, отвечающие различным собственным значениям, линейно независимы.

Доказательство:

Один собственный вектор линейно независим как ненулевой.

Пусть имеются m линейно независимых собственных векторов оператора , отвечающих различным собственным значениям. Покажем, что в этом случае будут линейно независимы и m+1 собственных векторов , если они также отвечают различным собственным значениям.

Предположим противное: существует, нетривиальная и равная нулевому элементу, линейная комбинация собственных векторов

, (8.6.1.)

причем без ограничения общности можно считать, что число.

Подействуем на обе части равенства (8.6.1.) оператором :

(8.6.2.)

С другой стороны, умножая обе части равенства (8.6.1.) на и вычитая почленно результат этого умножения из равенства (8.6.2.) , получим

.

Поскольку все собственные значения разные, а векторы линейно независимые, то. Но тогда из (8.6.1.) следует, что противоречит сделанному выше предположению, и по принципу математической индукции из линейной независимости элементовследует линейная независимость элементов.

Теорема доказана.

Следствие

8.6.1.

Линейный оператор вможет иметь (с точностью до произвольного ненулевого множителя) не более чемn собственных векторов, отвечающих различным собственным значениям.

Теорема

8.6.6.

Если линейный оператор , действующий в, имеетn различных собственных значений, то существует базис, образованный собственными векторами, в котором матрица данного линейного оператора имеет диагональный вид, причем на ее диагонали расположены собственные числа оператора.

Доказательство:

Следует из теоремы 8.6.5. и замечания о важности собственных векторов §8.5.

Теорема

8.6.7.

Пусть - инвариантное собственное подпространство линейного оператора, отвечающее некоторому собственному значению₀ кратности k. Тогда имеет место соотношение .

Доказательство:

Выберем в базис так, чтобы его первые элементов принадлежали ^*. В силу условия кратности собственного значения , поэтому матрица в этом базисе будет иметь вид

.

Отсюда следует, что . Поскольку множители вида могут содержаться также и в многочлене , то, если - кратность корня характеристического многочлена .

Условие очевидно, поскольку подпространство ненулевое.

Теорема доказана.

Задача

8.6.2.

Решение:

Найти собственные значения и собственные векторы оператора, действующего в пространстве двумерных столбцов и заданного матрицей .

Находим собственные значения:

,

то есть _1,2=1 и кратность собственного значения k=2. Найдем теперь собственные векторы

, .

Таким образом, получаем, что данный линейный оператор имеет одномерное инвариантное собственное подпространство (), соответствующее собственному значению кратности 2.

Теорема

8.6.8.

Линейный оператор в имеет нулевое собственное значение тогда и только тогда, когда оператор не является взаимно однозначным.

Доказательство:

Линейный оператор имеет в собственное значение, равное нулю, тогда и только тогда, когда его матрица вырожденная, то есть, в любом базисе.

Пусть в координатный столбец образа связан с координатным столбцом прообраза

_.

Из теоремы 6.4.1. (Крамера) следует, что для заданного координатного столбца элемента-образа эта система линейных уравнений, у которой неизвестными являются компоненты столбца элемента-прообраза, либо будет несовместной (элемент-прообраз не существует), либо будет иметь согласно следствию 6.7.1. неединственное решение (элемент-прообраз определяется неоднозначно).

Теорема доказана.

Определение

8.6.2.

Степенью квадратной матрицы с натуральным показателемназывается произведениеk сомножителей вида . Будем также считать, чтои.

Теорема

8.6.9.

(Гамильтона-Кэли)

Матрица линейного оператора в удовлетворяет его характеристическому уравнению.

Доказательство:

Докажем данную теорему в предположении, что собственные векторы оператора образуют в базис.

Пусть данный линейный оператор в этом базисе имеет матрицу и характеристическое уравнение. Тогда в силу линейности для собственного вектора f, соответствующего собственному значению , имеем (см. задачу 8.5.2.)

Но поскольку это соотношение верно для всех базисных векторов, то оно будет верно и для каждого элемента . Тогда из леммы 5.1.2. следует, что.

Наконец, выполнив переход к произвольному базису , получим

Теорема доказана.