§8.4. Область значений и ядро линейного оператора

Теорема

8.4.1.

Пусть - линейный оператор, действующий в линейном пространстве . Тогда

1. Множество элементов есть подпространство в.

2. Если, кроме того, с базисом , то размерность этого подпространства равна .

Доказательство:

Пусть есть множество элементов вида и пусть . Тогда существуютитакие, чтои. По свойству линейности оператора имеем: . Аналогичнои потому есть подпространство .

Пусть теперь с базисом . Поскольку каждый элементесть линейная комбинация базисных элементов, то, соответственно, в силу

линейности каждый элемент из области значений есть та же линейная комбинация элементов , то есть есть линейная оболочка множества.

Выделим из множества максимальное подмножество линейно независимых элементов, и пусть число их оказалось равнымk. Тогда, применяя теорему 7.4.1., приходим к заключению, что размерность ^* есть k, а из теоремы 7.5.2. следует, что и .

Теорема доказана.

Определение

8.4.1.

Рангом линейного оператора в называется размерность его области значений.

Следствие

8.4.1.

и не зависит от выбора базиса.

Следствие

8.4.2.

Размерность области значений линейного оператора , действующего на некотором подпространстве линейного пространства, не превосходит.

Доказательство:

Поскольку подпространство является линейным пространством, то к нему применима теорема 8.4.1.

Следствие доказано.

Теорема

8.4.2.

Ранг произведения линейных операторов ине превосходит ранга каждого из этих операторов.

Доказательство:

Рассмотрим область значений линейного оператора . По следствию 8.4.2. это подпространство имеет размерность не большую, чем размерность области значений оператора .

С другой стороны, область значений оператора содержится в области значений оператора и, следовательно, размерность области значений не превосходит размерности области значений .

Теорема доказана.

Теорема

8.4.3.

Если квадратная матрица невырожденная, то для любой квадратной матрицытого же размера

.

Доказательство:

Будем рассматривать матрицы и как координатные представления линейных операторов и в некотором базисе.

Если , то существует и в силу теоремы 8.4.2. имеем, с одной стороны, , но с другой

.

Теорема доказана.

Определение

8.4.2.

Ядро линейного оператора состоит из элементов таких, что .

Теорема

8.4.4.

Если и, то есть подпространство и .

Доказательство:

Непосредственной проверкой можно убедиться, что для выполняются условия определения 7.4.1.

Пусть в базисе оператор имеет матрицу . По следствию 8.4.1. для любого базиса. Тогда в координатной форме условие принадлежности некоторого элемента с ядру оператора имеет вид .

С другой стороны, поскольку каждое решение однородной системы линейных уравнений является элементом ядра оператора , то размерность ядра есть максимальное число линейно независимых решений этой системы уравнений, которое, согласно теореме 6.7.1., равно .

Теорема доказана.

Определение

8.4.3.

Отображение множества в множество  называется инъективным (или инъекцией), если из условия вытекает.

Определение

8.4.4.

Отображение множества на множество  называется сюръективным (или сюръекцией), если каждый элемент из  имеет прообраз в .

Тип отображения

Инъективное

Неинъективное

Сюръективное

 

 

 

 

 

 

 



Несюръективное

 

 

 



 

 

 

 

Определение

8.4.5.

Матрица размера, столбцы которой есть координатные разложения элементовпо базису, называетсяматрицей линейного отображения в базисахи.

Теорема

8.4.5.

Матрица линейного отображения в базисах и связана с матрицей этого отображения в базисах и соотношением

где - матрица перехода от базиса к базису , а - матрица перехода от базиса к базису .

Доказательство: Аналогично доказательству теоремы 8.3.2.

Пример

8.4.1.

1. Оператор , ставящий в соответствие каждой точке трехмерного геометрического пространства ее ортогональную проекцию на некоторую фиксированную прямую, проходящую через начало координат, очевидно, есть отображение, которое, однако, можно рассматривать и как преобразование трехмерного пространства в одномерное подпространство.

Отметим, что, хотя в данном случае и отображение и преобразование реализуют геометрически одну и ту же функцию, вид задающих их матриц может быть различным.

Например, пусть в ортонормированной системе координат прямая, на которую выполняется ортогональное проектирование, задана направляющим вектором. Несложно убедиться, что при этом радиус-вектор ортогональной проекции точкибудет иметь вид, то есть матрица данного преобразования имеет вид. Но, с другой стороны, принявнормированный направляющий вектор данной прямой за базисный в, получим, согласно определению 8.4.5., матрицу отображения в виде.

2. Пусть линейный оператор ставит в соответствие каждой матрице второго порядка двумерный столбец вида.

Исследование свойств данного отображения можно свести к исследованию свойств преобразования, ставящего в соответствие квадратным матрицам квадратные матрицы вида

, образующие двумерное подпространство в четырехмерном пространстве квадратных матриц .

Задача

8.4.1.

Линейное отображение : в некотором базисе задано матрицей . Найти его ядро и множество значений. Выяснить, является ли данное отображение инъективным или сюръективным.