§10.8. Ортогональные операторы

Определение

10.8.1.

Линейный оператор , действующий в евклидовом пространстве E, называется ортогональным (или изометрическим), если для имеет место равенство.

Теорема

10.8.1.

Ортогональный оператор имеет обратный, причем .

Доказательство:

Для по определению 10.8.1., отсюда следует, чтоили. Последнее равенство в силу леммы 10.6.1. означает, что.

Из равенства вытекает, что, а из очевидного равенстваи теоремы 10.6.2. получаем, что. Наконец, по определению 8.2.8. получим.

Теорема доказана.

Следствие 10.8.1.

Ортогональный оператор невырожденный.

Следствие 10.8.2.

В ортонормированном базисе матрица ортогонального оператора ортогональная.

Доказательство:

Пусть оператор ортогональный. Тогда из соотношения , по теореме 10.8.1. и в силу §8.3.(4), в ортонормированном базисе справедливы равенства

.

Но тогда , что и означает, согласно определению 5.1.4., ортогональность матрицы.

Следствие доказано.

Теорема

10.8.2.

(О полярном

разложении)

Любой невырожденный линейный оператор вE может быть единственным образом представлен в виде , где операторортогональный, а оператор- самосопряженный и имеющий положительные собственные значения.

Доказательство:

1. Покажем вначале, что самосопряженный оператор (см. пример 10.7.1.) имеет только положительные собственные значения. Действительно, пусть , тогда, с одной стороны, при , а с другой, , то есть . Но тогда все в силу невырожденности и определения скалярного произведения.

2. Пусть ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов . Рассмотрим множество элементов . Заметим, что

. Но это означает, что - также базис и притом ортонормированный.

3. Примем за искомый ортогональный оператор - оператор, переводящий ортонормированный базис в ортонормированный базис, и убедимся, что в качестве можно взять оператор .

Действительно, во-первых, имеет место равенство . Во-вторых, из соотношений следует, что базисные элементы есть собственные векторы оператора , отвечающие положительным собственным значениям , а значит, матрица в базисе диагональная и потому симметрическая. Тогда, в силу леммы 10.7.1., оператор самосопряженный.

4. Покажем, наконец, единственность разложения. Во введенных обозначениях справедливо равенство , поскольку изиследует, что

,

то, в силу самосопряженности , .

Предположим, что существуют два различных самосопряженных оператора ис положительными собственными значениями такие, что;и.

Заметим, что ипо построению (см. 2.) имеют общую систему собственных векторов, а потому они коммутируют. Но тогда, согласно §8.2., справедливы равенства

.

Из невырожденности и линейности ив силу теоремы 8.6.8. оператортакже невырожденный и поэтому из равенстваследует. Таким образом, - самосопряженный оператор, определяемый по однозначно. Но и, значит, также определяется однозначно по .

Теорема доказана.

Задача

10.8.1.

В некотором ортонормированном базисе в линейный оператор имеет матрицу . Найти его полярное разложение.