- •Раздел 10 269
- •Раздел 10
- •§10.1. Определение и основные свойства
- •§10.2. Ортонормированный базис. Ортогонализация базиса
- •§10.3. Координатное представление скалярного произведения
- •§10.4. Ортогональные матрицы в евклидовом пространстве
- •§10.5. Ортогональные дополнения и ортогональные проекции в евклидовом пространстве
- •§10.6. Сопряженные операторы в евклидовом пространстве
- •§10.7. Самосопряженные операторы
- •§10.8. Ортогональные операторы
§10.7. Самосопряженные операторы
Определение 10.7.1. |
Линейный оператор , действующий в евклидовом пространствеE, называется самосопряженным, если для имеет место равенство. |
Пример 10.7.1. |
В евклидовом пространстве операторы вида ,ибудут самосопряженными для любого линейного оператора. |
|
Действительно, для оператора , например, имеем, что при, откуда и следует его самосопряженность. |
Свойства самосопряженных операторов сформулируем в виде следующих утверждений.
Лемма 10.7.1. |
Линейный оператор в является самосопряженным тогда и только тогда, когда его матрица в каждом ортонормированном базисе симметрическая. |
|
Доказательство:
Из определения 10.7.1. и формулы для некоторого ортонормированного базисаи, следовательно,в силу самосопряженности оператора.
Перейдем к другому ортонормированному базису . Матрица перехода, как было показано в §10.4., ортогональная, то есть для нее. Поэтому
Лемма доказана. |
Лемма 10.7.2. |
Все собственные значения самосопряженного оператора в вещественные числа. |
|
Доказательство:
Допустим противное: пусть характеристическое уравнение самосопряженного оператора имеет комплексный корень, где.
По теореме 8.6.2. оператор в этом случае имеет двумерное инвариантное подпространство. То есть существует пара линейно независимых элементовx и y таких, что . Умножая эти равенства скалярно: первое - справа наy, второе - слева на x, получим |
|
.
Вычитая почленно второе равенство из первого и принимая во внимание самосопряженность , приходим к заключению, что. Однако это противоречит предположению о том, что.
Лемма доказана. |
Лемма 10.7.3. |
Собственные векторы самосопряженного оператора, отвечающие различным собственным значениям, попарно ортогональны. |
|
Доказательство:
Пусть для самосопряженного оператора имеют место равенстваи, где ненулевые элементыи- собственные векторы оператораи- соответствующие им собственные значения. Умножив эти равенства соответственно: первое – скалярно справа на, второе – скалярно слева на, получим или . |
|
Вычитая эти равенства почленно и учитывая, что самосопряженный оператор, приходим к равенству, откуда.
Лемма доказана. |
Лемма 10.7.4. |
Пусть - инвариантное подпространство самосопряженного оператора , действующего в , и пусть- ортогональное дополнение к в. Тогдатакже инвариантное подпространство оператора . |
|
Доказательство:
инвариантно для оператора , то есть. Если - ортогональное дополнение , то для любых и.
Поскольку инвариантное подпространство , то будет также иметь место. Но, в силу самосопряженностии. Последнее равенство означает, что, то есть и подпространство будет инвариантным для оператора .
Лемма доказана. |
Теорема 10.7.1. |
Для любого самосопряженного оператора в существует ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов . |
|
Доказательство:
Для самосопряженного оператора в существует по крайней мере одно собственное значение . По лемме 10.7.2. это собственное значение вещественно. Из системы уравнений (8.5.1.) можно найти отвечающийсобственный вектор. Без ограничения общности можно считать, что. Еслиn=1, то доказательство завершено.
Рассмотрим - линейную оболочку элемента , являющуюся одномерным инвариантным собственным подпространством. Пусть - ортогональное дополнение к . Тогда по лемме 10.7.4., инвариантно относительно оператора .
Рассмотрим теперь оператор как действующий только в . Тогда очевидно, что - самосопряженный оператор, заданный в , поскольку инвариантно относительно по лемме 10.7.4. и, кроме того, для, в том числе и для.
Применяя изложенные выше рассуждения, найдем новое собственное значение и соответствующий ему собственный вектор. Без ограничения общности можно считать, что. При этомможет случайно совпасть с, однако, из построения ясно, что. Еслиn=2, то доказательство завершено. Иначе рассмотрим - линейную оболочку и ее ортогональное дополнение , найдем новое собственное значение и соответствующий ему собственный вектори т.д.
Аналогичные рассуждения проводим до исчерпания .
Теорема доказана. |
Следствие 10.7.1. |
В базисе, построенном в теореме 10.7.1., самосопряженный оператор имеет диагональную матрицу в . |
|
Доказательство:
Вытекает из утверждения теоремы 8.5.1. |
Следствие 10.7.2. |
Размерность собственного инвариантного подпространства, отвечающего некоторому собственному значению самосопряженного оператора, равна кратности этого собственного значения. |
|
Доказательство:
Следует из доказательства теоремы 10.7.1. |
Следствие 10.7.3. |
Если линейный оператор в имеетn попарно ортогональных собственных векторов, то он самосопряженный. |
|
Доказательство:
Пронормируем собственные векторы оператора и примем их за ортонормированный базис, в котором матрица этого линейного оператора диагональная и, следовательно, симметрическая. Тогда в силу леммы 10.7.1. линейный операторсамосопряженный.
Следствие доказано. |
Следствие 10.7.4. |
Если симметрическая матрица, то существует ортогональная матрица такая, что матрица диагональная. |
|
Доказательство:
В ортонормированном базисе симметрическая матрица определяет самосопряженный оператор, поэтому в качестве искомой матрицыможно выбрать матрицу перехода от данного ортонормированного базиса к ортонормированному базису, образованному собственными векторами этого оператора по схеме использованной в доказательстве теоремы 10.7.1.
Следствие доказано. |
Теорема 10.7.2. |
Два самосопряженных оператора иимеют общую систему собственных векторов в тогда и только тогда, когда . |
|
Доказательство:
Докажем необходимость.
Пусть и, тогдаи, вычитая почленно, получим, что . Поскольку a произвольный собственный вектор, то данное соотношение верно и для всей совокупности собственных векторов, а значит, и для любого элемента в , так как из собственных векторов можно образовать базис. Поэтому . |
|
Докажем достаточность.
Пусть самосопряженные операторы икоммутируют и пусть, кроме того,. Рассмотрим здесь лишь случай, когда все собственные значения оператораразличны.
Покажем, что элемент евклидова пространства является собственным вектором оператора. Действительно, в силу , имеем .
Поскольку все собственные значения кратности единица, то есть его собственное значение, отвечающее a и b одновременно. Поэтому и, поскольку, также. Значит,a - собственный вектор оператора .
Теорема доказана. |