§10.6. Сопряженные операторы в евклидовом пространстве
Поскольку евклидово пространство является частным случаем линейного пространства, то все изложенные в разделе 8 утверждения справедливы и для линейных операторов, действующих в евклидовом пространстве. Однако операция скалярного произведения позволяет выделять в евклидовых пространствах специфические классы линейных операторов, обладающих рядом полезных свойств.
|
Определение 10.6.1. |
Линейный
оператор
|
,
заданный в евклидовом пространствеE,
называется сопряженным
линейному
оператору
,
если для
имеет место равенство
.
|
Пример 10.6.1. |
В
евклидовом пространстве, образованном
бесконечно дифференцируемыми функциями,
равными нулю вне некоторого конечного
интервала, со скалярным произведением
Действительно, согласно правилу интегрирования несобственных интегралов по частям имеют место равенства:
|
,
для линейного оператора
(дифференцирования) сопряженным будет
оператор
.
.
Рассмотрим
теперь конечномерное евклидово
пространство E
с базисом
и выясним связь матриц линейных операторов
и
в этом базисе, предположив, что сопряженный
оператор существует. Пусть матрицы
операторов
и
имеют соответственно вид
и
,
акоординатные
представления элементов x
и y
в базисе
-
и
,тогда
равенство
можно записать как
,
(10.6.1.)
где
- матрица Грама выбранного вE
базиса.
В
силу соотношения
последнее равенство можно преобразовать
к виду
,
а поскольку это равенство справедливо при любых x и y, то, приняв во внимание невырожденность матрицы Грама и проведя рассуждения аналогичные использованным при доказательстве леммы 5.1.2., заключаем, что матрица, стоящая в круглых скобках, - нулевая, а из соотношения
следует
равенство
,
которое,
в частности, для ортонормированного
базиса
имеет вид
.
|
Лемма 10.6.1. |
Если
|
,
то оператор
нулевой.
|
|
Доказательство:
Пусть
для
Лемма доказана. |
справедливо равенство
.
Тогда оно будет верным и для
.
Но из равенства
согласно определению 10.1.1. следует,
что
.
Наконец, в силу произвольности элемента
и определения 8.2.2., приходим к заключению,
что
.
|
Теорема 10.6.1. |
Каждый
линейный оператор в евклидовом
пространстве E |
имеет единственный сопряженный
оператор.
|
|
Доказательство:
Существование
в E
|
оператора
,
сопряженного оператору
,
следует из возможности построения
матрицы вида
для любого линейного оператора
.
|
|
Покажем
теперь единственность
Вычитая
почленно, получим
Теорема доказана. |
.
Предположим, что
имеет два сопряженных оператора
и
.
Это означает, что для
одновременно выполнены равенства
и
.
,
но тогда по лемме 10.6.1.
.
|
Теорема 10.6.2. |
Для
любых линейных операторов
|
и
,
действующих в E,
имеет место равенство
.
|
|
Доказательство:
Для
Теорема доказана. |
имеет место
.
Это означает, что
,
и, в силу леммы 10.6.1.,
.
|
Теорема 10.6.3. |
|
.
|
|
Доказательство:
Теорема доказана. |
справедливы
равенства
.
Отсюда следует, что
,
и, тогда по лемме 10.6.1.
.
|
Теорема 10.6.4. |
Ортогональное
дополнение области значений оператора
|
в E
является ядром оператора
.
|
|
Доказательство:
1. Покажем
вначале, что ядро оператора
|
,
обозначаемое через
,
содержится во множестве
- ортогональном дополнении области
значений оператора
.
|
|
Действительно,
любой элемент
2. Теперь
сравним размерности
Но,
с другой стороны, по теореме 8.4.1.
размерность области значений
Наконец,
из соотношений
Теорема доказана. |
,
то есть такой, что
,
будет ортогонален элементу
,
поскольку
.
и
.
С одной стороны, в силу невырож- денности
матрицы Грама и теоремы 8.4.3. ,
.
равна
,
поэтому
по теореме 10.5.1.
и
следует совпадение множеств
и
.
Замечание: в использованных обозначениях теорема 10.6.4. допускает:
1.
Формулировку совпадающую с формулировкой
теоремы 6.6.2.,
поскольку
совместность системы
означает, что элементb
принадлежит области значений линейного
оператора
.
2.
В предположении, что столбцы
и
суть координатные представления
элементов E
в ортонормированном базисе, также и
нижеследующую формулировку:
|
Теорема 10.6.5. (Теорема Фредгольма) |
Система
линейных уравнений
|
совместна тогда и только тогда, когда
каждое решение однородной сопряженной
системы
ортогонально столбцу свободных членов
.