Первый закон Ньютона. Инерционные системы отсчёта

Материальное тело сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока внешние воздействия со стороны других тел не изменят этого состояния.

Тела, не подверженные внешним воздействиям, называются свободными телами. Первый закон будет выполняться только в инерциальных системах отсчёта (ИСО). ИСО является система отсчёта, связанная со свободным телом, по отношению к ней любое свободное тело будет двигаться равномерно и прямолинейно или находиться в состоянии покоя. Из относительности движения следует, что система отсчёта, движущаяся равномерно и прямолинейно по отношению к ИСО, также является ИСО. ИСО играют важную роль во всех разделах физики. Это связано с принципом относительности Эйнштейна, согласно которому математическая форма любого физического закона должна иметь один и тот же вид во всех инерционных системах отсчёта.

Сила, масса и импульс тела. Второй закон Ньютона

Силой называется векторная физическая величина, являющаяся мерой механического действия одного тела на другое. Механическое действие возникает как при непосредственном контакте взаимодействующих тел (трение, реакция опоры, вес и т.д.), так и посредством силового поля, существующего в пространстве (сила тяжести, кулоновские силы и т.д.). Сила полностью определена, если известны: её модуль, направление в пространстве и точка приложения.

Одновременное действие на тело нескольких сил ,,...,может быть заменено действием результирующей (равнодействующей) силы, которая определяется по правилу сложения векторов.

=++...+=

Массой тела называется положительная скалярная величина, являющаяся мерой инертности тела. Под инертностью понимается свойство материальных тел сохранять свою скорость неизменной в отсутствии внешних воздействий и изменять её постепенно (т.е. с конечным ускорением) под действием силы. Массы всех тел определяются по отношению к массе тела, принятого за эталон.

Импульсом тела (материальной точки) называется векторная физическая величина, равная произведению массы тела на его скорость: .

Импульс системы материальных точек равен векторной сумме импульсов точек, составляющих систему:

Второй закон Ньютона позволяет установить, как изменяется движение материальной точки под действием приложенных к ней сил, и формулируется следующим образом:

Скорость изменения импульса материальной точки равна действующей на неё силе.

Согласно представлениям классической механики масса тела не зависит от характера движения, т.е. m = const, поэтому второй закон Ньютона можно пред­ста­вить в виде

.

Аналогичные соотношения можно записать для тангенциального и нор­маль­ного ускорений тела:

, где и-тангенциальная и нормальная составляющие силы.

Второй закон Ньютона может быть записан как система дифференциальных уравнений динамики материальной точки:

, ,.

Решение этих уравнений совместно с начальными условиями позволяет найти закон движения материальной точки.

Третий закон Ньютона

Данный закон устанавливает соотношение между силами с которыми тела взаимодействуют друг с другом.

Две материальные точки взаимодействуют друг с другом с силами, равными по величине противоположными по направлению и направленными вдоль линии, соединяющей точки.

,

где - сила, действующая на i-ую точку со стороны k-ой,

- сила, действующая на k-ую точку со стороны i-ой.

Третий закон Ньютона позволяет перейти от динамики отдельной мате­риальной точки к системе материальных точек. Из третьего закона следует, что в любой механической системе материальных точек геометрическая сумма всех внутренних сил (т.е. сил, с которыми взаимодействуют между собой материальные точки системы) равна нулю.

, ( i  k ),

где n - количество материальных точек системы; i,k - номера взаимодействующих точек.

2.2. Закон сохранения импульса

Рассмотрим второй закон Ньютона для системы материальных точек:

,

где - импульс i-ой материальной точки;

- результирующая внешних сил, действующих на i-ю точку.

Согласно третьему закону Ньютона , тогда,

где =- импульс системы;- результирующая внешних сил, действу­ю­щих на систему.

Таким образом, скорость изменения импульса системы равна результирующей внешних сил, действующих на систему. Если = 0, то такая система называется замкнутой.

Закон сохранения импульса: импульс замкнутой системы не изменяется с течением времени, т.е.

, и

Для замкнутой системы будут сохраняться и проекции импульса на координатные оси:

.

Если 0, но =0, то будет сохраняться проекция импульса системы на ось Х

Для двух тел массами m₁ и m₂ , движущихся со скоростями ивдоль оси X навстречу друг другу, скорости их после абсолютно упругого центрального удара можно найти по формулам

Если удар абсолютно неупругий, то

2.3. Момент силы и момент импульса относительно оси вращения

Рис.5.

Вращательное действие силы харак­те­ризуется такой величиной, как мо­мент силы относительно оси вращения (рис. 5).

Пусть М - точка приложения силы ,- радиус-вектор точки М, проведённый пер­пен­дикулярно оси вращения O'O. Разложимна три составляющие:

- осевая, параллельная оси вращения,

- радиальная, направленная вдоль вектора ,

- касательная, перпендикулярная и оси вращения.

Составляющие и- вращения тела вокруг оси O'O не создают. Вращающее действие силысоздаётся составляющей.Моментом силы относительно оси вращенияO'O называется векторное произведение радиуса-вектора точки приложения силы, проведённого перпен­дикулярно оси вращения, на составляющую силы, перпендикулярную оси вращения и радиусу вектору.

Вектор момента силы направлен вдоль оси вращения и связан с направлением силы правилом правого винта.

При вращательном движении материальная точка массы m двигается по окружности радиуса r со скоростью .

Моментом импульса материальной точки называется векторная величина, равная векторному произведению радиуса вектора на импульс точки (рис. 6)

Моментом импульса системы материальных точек называется геометрическая сумма моментов импульсов точек, составляющих систему:

Рис.1.6.

Моментом импульса тела относительно оси вращения называется величина

,

где - момент инерции тела относительно оси O'O.

2.4. Момент инерции тела относительно оси вращения

Момент инерции тела характеризует инертность тела при вращательном движении и зависит от распределения массы тела относительно оси вращения. Момент инерции определяется размерами и формой тела, массой и положением оси вращения.

- момент инерции системы материальных точек.

- момент инерции тела,

где - плотность тела.

М

Рис.7.

омент инерции тела относительно произвольной оси может быть рассчитан потеореме Штейнера: момент инерции тела относительно оси O'O равен сумме момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс и параллельной O'O, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями (рис. 7).

2.5. Основной закон динамики вращательного движения

Из законов Ньютона следует, что скорость изменения момента импульса тела относительно оси будет равна результирующему моменту внешних сил относительно той же оси вращения.

Угловое ускорение, приобретаемое телом, пропорционально моменту сил, приложенных к телу, и обратно пропорционально моменту инерции тела.

2.6. Условия равновесия тел

Из законов динамики поступательного и вращательного движений следуют условия равновесия тел (для этого достаточно положить все ускорения равными нулю)

2.7. Закон сохранения момента импульса

Если результирующий момент внешних сил, действующих на тело, относительно оси вращения равен нулю, то момент импульса тела относительно этой же оси будет оставаться постоянным.

В системе тел момент импульса системы относительно оси вращения будет оставаться постоянным, если момент внешних сил, действующих на систему, относительно оси вращения будет равен нулю.

2.8. Некоторые силы в механике

mg	сила тяжести, g - ускорение свободного падения.
N	реакция опоры, направленная перпендикулярно плоскости соприкосновения взаимодействующих тел.
Fтр = kN	сила трения, направлена противоположно скорости движения или силе, стремящейся сдвинуть тело, k - коэффициент трения.
F = - kx	сила упругости, k - коэффициент жесткости пружины, х – дефор­ма­ция пружины.
Fн	сила натяжения нити или подвеса, численно равная весу тела.
P P = mg P =m(g+а) P = m(g-а)	вес тела, сила с которой тело действует на опору или подвес. опора покоится. опора движется вверх с ускорением а. опора движется вниз с ускорением а.

3. Работа и механическая энергия

3.1. Работа силы и мощность при поступательном и вращательном движениях

У материальной точки (тела) в процессе силового взаимодействия с другими телами может изменяться состояние движения (координаты и скорость). В этом случае говорят, что над телом совершается работа. В механике принято говорить, что работа совершается силой.

Элементарной работой силы на малом перемещенииназывается величина, равная скалярному произведению силы на перемещение:

,

где - элементарный путь точки приложения силы за время dt,- угол между векторами и,=Fcos - тангенциальная составляющая силы, равная проекции силы на направление перемещения .

Если на систему действуют несколько сил, то результирующая работа равна алгебраической сумме работ, совершаемых каждой силой в отдельности.

Работа силы на конечном участке траектории или за конечный промежуток времени может быть вычислена следующим образом:

.

Если = const, то А=, если= const, то А=S.

При вращательном движении считается, что работа определяется моментом сил:

,

если М = const, то А=М.

Для характеристики быстроты совершения работы вводится мощность.

Мощностью называется скалярная величина N равная работе, совершаемой в единицу времени.

.

3.2. Кинетическая энергия при поступательном и вращательном движениях

Кинетической энергией тела называется функция механического состояния тела, зависящая от массы тела и скорости его движения (энергия механического движения).

; .

При сложном движении твёрдого тела, его кинетическая энергия может быть представлена через энергию поступательного и вращательного движения:

где _c - скорость поступательного движения тела (центра масс), J_c - момент инерции тела относительно мгновенной оси вращения, проходящей через центр масс,  - угловая скорость вращения тела.

Отметим свойства кинетической энергии.

1. Кинетическая энергия не отрицательна: Е_К 0.

2. Кинетическая энергия системы тел равна сумме кинетических энергий тел, составляющих систему: .

3. Приращение кинетической энергии тела или системы равно работе всех сил, действующих на систему или на тело: .

3.3. Консервативные (потенциальные) силы

Консервативными (потенциальными) силами называются силы, работа которых не зависит от пути перехода тела или системы из начального положения в конечное. Характерное свойство таких сил - работа на замкнутой траектории тождественно равна нулю:

К консервативным силам относятся: сила тяжести, сила упругости и силы, определяющие фундаментальные взаимодействия.

3.4. Потенциальная энергия

Потенциальная энергия системы - это функция механического состояния системы, зависящая от взаимного расположения всех тел системы и от их положения во внешнем потенциальном поле сил, убыль которой равна работе, которую совершают все консервативные силы (внутренние и внешние) при переходе системы из начального положения в конечное.

Е_П1-Е_П2 = -Е_П = А_12конс, .

Из определения потенциальной энергии следует, что она может быть определена по консервативной силе, причём с точностью до произвольной постоянной, значение которой определяется выбором нулевого уровня потенциальной энергии.

.

Таким образом, потенциальная энергия системы в данном состоянии равна работе, совершаемой консервативной силой при переводе системы из данного состояния на нулевой уровень.

Как потенциальная энергия может быть найдена по известной консервативной силе, так и консервативная сила может быть найдена по потенциальной энергии:

, ,.

Примеры потенциальной энергии:

1) - потенциальная энергия тела массой m, поднятого на высоту h от нулевого уровня энергии в поле тяжести Земли;

2. - потенциальная энергия упругого деформированного тела, х - величина деформации тела (пружины).

3.5. Закон сохранения механической энергии

Полная механическая энергия системы материальных точек равна сумме их кинетической и потенциальной энергии взаимодействия этих точек друг с другом и с внешними телами:

Е = Е_к + Е_п.

Приращение механической энергии системы определяется работой всех неконсервативных сил (внешних и внутренних):

,

Если действуют только консервативные силы или работа неконсервативных сил равна нулю, то dE = 0 и Е = const, т.е. справедлив закон сохранения механической энергии: при движении консервативной системы её механическая энергия не изменяется.

, Е_К+Е_П=Е_К’+Е_П’

4. Элементы специальной теории относительности

1. . Постулаты Эйнштейна. Преобразования Лоренца

Принцип относительности Никакими физическими опытами, производимыми внутри инерциальной системы отсчета, невозможно установить, покоится ли эта система относительно другой инерциальной системы отсчета или движется прямолинейно и равномерно. Принцип постоянства скорости света Скорость света в вакууме одинакова во всех инерциальных системах отсчета и не зависит от движения источников и приемников света.

Рассмотрим две системы отсчета S и S’ (рис. 8). Систему S будем считать условно неподвижной. Система движется относительносо скоростьювдоль оси X системы. Для перехода от одной системы отсчета в другую в специальной теории относительности используются преобразования Лоренца. Пусть в начальный момент времени начала координат обеих систем и направления соответствующих осей совпадают.

Рис.8