- •Основные определения и понятия.
- •Задание по расчету электростатического поля.
- •2. Задание по расчету электрического поля постоянного тока.
- •3. Задание по расчету магнитного поля постоянного тока.
- •4. Задание по расчету электрического поля путем составления интегрального уравнения и его приближенного решения.
4. Задание по расчету электрического поля путем составления интегрального уравнения и его приближенного решения.
А) расчет электрического поля в диэлектрике.
Задача 1. В диэлектрике с известной относительной диэлектрической проницаемостью среды в плоскости рисунка (рис. 14 или рис. 15 согласно варианту задания) находятся два одинаковых цилиндрических электрода. Длина электродов , расстояние , радиус сечения заданы, при этом , . Электрод А имеет потенциал , электрод В – потенциал .
Требуется: 1) составить интегральное уравнение, которому подчиняется линейная плотность заряда на электроде А и аналогичное уравнение для электрода В; 2) для приближенного решения интегральных уравнений по п. 1 разделить каждый электрод на три участка одинаковой длины с неизвестными . Составить систему алгебраических уравнений для определения всех . Определить коэффициенты этой системы и, решив ее, найти закон распределения линейной плотности заряда вдоль оси электрода А. Вычислить емкость между электродами.
Исходные данные для решения задачи приведены в таблице.
Параметр |
Варианты задания |
|||||||||
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
Рисунок |
14 |
15 |
14 |
15 |
14 |
15 |
14 |
15 |
14 |
15 |
м |
0,5 |
1,0 |
1,5 |
2,0 |
2,5 |
0.75 |
1,25 |
1,75 |
2,25 |
2,75 |
м |
60 |
120 |
180 |
240 |
300 |
90 |
150 |
210 |
270 |
330 |
м |
10 |
20 |
30 |
40 |
50 |
15 |
25 |
35 |
45 |
55 |
1 |
2 |
2,5 |
4 |
5 |
1 |
2 |
2,5 |
4 |
5 |
|
В |
100 |
50 |
40 |
25 |
20 |
100 |
50 |
40 |
25 |
20 |
Б) Расчет электрического поля в проводящей среде.
Задача 2. Стальная цилиндрическая труба длиной , диаметром 2 помещена в слабо проводящую среду (землю). Удельная проводимость земли много меньше проводимости трубы . По трубе в землю стекает ток I, который подводится к трубе по изолированному проводу. Положение трубы в земле указано на разрезе согласно рисунку (рис. 16 или рис. 17 в зависимости от варианта задания).
Требуется: 1) составить и решить систему интегральных уравнений относительно линейных плотностей токов , разбив предварительно трубу на три участка одинаковой длины с неизвестными ; 2) определить потенциал и сопротивление растекания заземлителя (трубы) .
Исходные данные для решения задачи приведены в таблице.
Параметр |
Варианты задания |
|||||||||
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
Рисунок |
16 |
17 |
16 |
17 |
16 |
17 |
16 |
17 |
16 |
17 |
м |
10 |
12 |
14 |
16 |
18 |
20 |
22 |
24 |
26 |
28 |
м |
250 |
500 |
300 |
600 |
350 |
700 |
400 |
450 |
550 |
600 |
м |
- |
40 |
- |
50 |
- |
60 |
- |
40 |
- |
50 |
I, А |
50 |
100 |
60 |
120 |
70 |
140 |
80 |
90 |
160 |
180 |
Рисунки к задачам.
Первая группа задач – расчет электростатического поля.
Рис. 1. Рис. 2
Рис. 3 Рис. 4
Вторая группа задач - расчет электрического поля постоянного тока.
Рис. 5 Рис. 6
Рис. 7 Рис. 8
Третья группа задач – расчет магнитного поля постоянного тока.
Рис. 9 Рис. 10
Рис. 11 Рис. 12
Рис. 13
Четвертая группа задач – расчет электрического поля путем составления
интегрального уравнения и его решения.
А) Расчет электрического поля в диэлектрике.
Рис. 14 Рис. 15
Б) Расчет электрического поля в проводящей среде.
Рис. 16 Рис. 17
Примеры решения задач.
Электростатическое поле.
Пример 1. В
равномерное электрическое поле (рис.
18) с напряженностью
В/м внесен длинный металлический цилиндр
радиусом
см.
Окружающей средой является воздух
(проницаемость
).
Требуется:
1) определить напряженность элек-трического
поля вокруг цилиндра, ее максимальное
значение с указанием координаты данной
точки поля; 2) найти плотность зарядов,
индуцированных на поверхности цилиндра.
Указание. При
решении задачи воспользоваться методом
разделения переменных.
Рис. 18
Решение.
Уравнение Лапласа в цилиндрической системе координат для определения электрического потенциала имеет вид:
,
Решение этого уравнения будем искать в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от координаты r, а другая – только от координаты :
Чтобы определить функции , подставим искомое решение в дифференциальное уравнение:
.
Умножим обе части равенства на выражение , получим
.
Равенство это должно быть справедливым при любых значениях r и . Это возможно лишь в том случае, когда каждая из частей уравнения равна некоторой постоянной , то есть
, .
В рассматриваемой задаче искомое решение будет , причем постоянная должна быть равна 1. В этом легко убедиться подстановкой в уравнение, записанное относительно функции . Тогда уравнение для определения функции примет вид:
.
Для решения этого уравнения введем новую независимую переменную w так, чтобы
.
Тогда
.
Подставив эти производные в решаемое уравнение, получим:
Общий интеграл этого уравнения имеет вид:
.
Корни характеристического уравнения равны
Таким образом, искомый интеграл
Найдем напряженность поля
,
где , ,
Соответственно проекции вектора электрического смещения
, ,
Для определения постоянных интегрирования учтем граничные условия. При устремлении радиуса к бесконечности влияние цилиндра не сказывается, поэтому и, следовательно, или , откуда Поверхность цилиндра является эквипотенциальной. При радиусе потенциал для всех значений , что возможно при условии
Следовательно . Подставив значения постоянных интегрирования, получим:
,
, , .
Наибольшая напряженность будет в точке с координатами . С учетом исходных данных В/м.
Плотность зарядов, индуцированных на поверхности цилиндра:
.
Подставляя числовые значения в выражение плотности зарядов , найдем
Кл/м.
Электрическое поле постоянного тока.
Пример 2. В цилиндрическом конденсаторе с несовершенной изоляцией вследствие неравномерного нагрева относительная диэлектрическая проницаемость меняется по закону , а удельная проводимость меняется по закону , где См/м, . Радиус внутреннего цилиндра равен м, радиус внешнего цилиндра м. Длина конденсатора м. Конденсатор включен под постоянное напряжение кВ.
Требуется: 1) определить закон распределения объемного заряда в функции от расстояния до оси цилиндра; 2) вычислить ток утечки.
Решение.
В цилиндрическом конденсаторе вектор напряженности электрического поля , а следовательно, и вектор плотности тока утечки будут направлены по радиусам. Выражая напряженность электрического поля через ток утечки I, найдем
.
Напряжение между электродами
.
Решив это уравнение относительно тока, определим
.
Закон распределения плотности тока:
Закон изменения напряженности электрического поля:
.
Закон распределения объемного заряда:
.
Так как и зависят только от координаты r, то можно записать
;
.
Используя полученные выражения, окончательно найдем закон распреде-ления объемной плотности заряда
.
Магнитное поле постоянного тока.
Пример 3. Двухпроводная линия (рис. 19) состоит из цилиндрических проводов с радиусом . Расстояние между осями проводов . В проводах линии протекает ток А. Окружающая среда воздух (относительная магнитная проницаемость среды ).
Требуется: 1) определить скалярный магнитный потенциал для точки M, находящейся на расстояниях от осей проводов; 2) вектор магнитной индукции , вектор напряженности магнитного поля , векторный магнитный потенциал .
Указание. Влиянием земли и токами в других проводниках можно пренебречь.
Решение. При
условии
расчет магнитного поля вне проводов
можно вести при допущении, что токи
проходят в бесконечно тонких нитях,
совпа-дающих с геометрическими осями
проводов. Поместим начало координат в
точку О, лежащую в середине линии,
соединяющей оси проводов (рис.19).
Скалярный магнитный потенциал в точке
М, обусловленный током в левом проводе,
опреде-ляется углом
,
отсчитываемым от направления оси x
против часовой стрелки; потенциал же,
обусловленный током в правом проводе,
опреде-ляется углом
,
отсчитываемым от направлении
Рис. 19
оси x по часовой стрелке. Различие в направлениях отсчета объясняется тем, что токи в проводах текут в противоположных друг другу направлениях. Полная величина скалярного магнитного потенциала в точке М
Учитывая, что , где - плоский угол, под которым на чертеже видны следы осей проводов из точки М, получим:
.
Пусть во всех точках оси x, лежащих вне линии, то есть имеющих абсциссы и . Для этих точек , поэтому и магнитный потенциал будет
.
Для определения угла используем исходные данные задачи. Из теоремы косинусов следует, что
.
Отсюда находим и .
Вектор магнитной индукции в точке М имеет составляющие, обусловленные током в левом проводнике , и током в правом проводнике . Результирующий вектор магнит-ной индукции определится как сумма его составляющих . Для нахождения предварительно вычислим углы и . Из теоремы косинусов или , тогда угол . Составляющие индукции магнитного поля определяются путем подстановки исходных данных задачи:
; .
Результирующий вектор индукции магнитного поля , модуль вектора индукции .
Векторный магнитный потенциал в точке М находится также по принципу наложения. Он направлен по оси z, параллельно осям проводов:
.
Предполагается, что в начале координат векторный потенциал . По условию данной задачи .
Расчет электрического поля в диэлектрике
методом интегральных уравнений.
Пример 4. В диэлектрике с известной относительной диэлектрической проницаемостью среды в плоскости рисунка (рис. 20) находятся два одинаковых цилиндрических электрода. Длина электродов , расстояние , радиус сечения заданы, при этом , . Электрод А имеет потенциал , электрод В – потенциал .
Требуется:
1) составить интегральное уравнение,
которому подчиняется линейная плотность
заряда
на электроде А и аналогичное уравнение
для электрода В; 2) для приближен-ного
решения интегральных уравнений по п.
1 разделить каждый электрод на три
участка одинаковой длины с неизвестными
.
Составить систему алгебраических
уравнений для определения всех
.
Определить коэффициенты этой системы
и, решив ее, найти закон распределения
линейной плотности заряда вдоль оси
электрода А. Вычислить емкость между
электродами.
Рис. 20
Решение.
Поле заряженных электродов в плоскости рис. 20 зависит от координат z и r цилиндрической системы координат. Потенциал произвольной точки наблю-дения Н, лежащей в плоскости z0r, равен
где , ; - линейная плот-ность заряда в точке истока; - координаты точки истока; - коорди-наты точки наблюдения.
Помещая точку наблюдения на поверхность электрода А и учитывая, что при этом , получим уравнение относительно
.
Так как неизвестная находится под знаком интеграла, то данное уравнение является интегральным (интегральное уравнение Фредгольма первого рода). Аналогичное уравнение можно получить, если поместить точку наблюдения на поверхность электрода В и учесть, что
.
Для решения уравнения разбиваем каждый электрод на три равные части. Полагаем, что линейная плотность заряда на каждом участке неизменна и для участков электрода А равна , , , а для участков электрода В равна ,,. В дальнейшем будем учитывать, что , , . Помещая точку наблюдения поочередно на поверхность каждого участка в его середину и вынося из под каждого интеграла неизменные , получим шесть алгебраических уравнений с шестью неизвестными плотностями зарядов . Делая переход к матричной форме записи, будем иметь систему двух матричных уравнений, соответствующих уравнениям:
где - номер истока(участка) с линейной плотностью ; - номер точки наблюдения; - линейная плотность заряда в относи-тельных единицах. Элементы матрицы , играющие роль потенциальных коэффициентов, рассчитываем по следующим формулам:
а) при
;
б) при
;
в) при
,
где ;
г) при
,
где - соответственно верхние и нижние пределы изменения координаты точки истока. Следует учесть, что собственные потенциальные коэффициенты , а взаимные потенциальные коэффициенты в общем случае невзаимны, то есть .
Так как, ,, то для определения закона распределения заряда вдоль оси каждого электрода достаточно решить одно матричное уравнение в системе уравнений, например – первое, и учесть, что .
Емкость между электродами
,
где Q – полный заряд электрода; число участков.
Потенциал точки наблюдения Н, имеющей координаты , определяется из выражения
,
где потенциальные коэффициенты рассчитываются по формуле .
Расчет электрического поля в проводящей среде
методом интегральных уравнений.
Рекомендуемый порядок решения задач на расчет электрического поля в проводящей среде методом интегральных уравнений.
-
В соответствии с методом изображений дополнить соответствующий рисунок, указанный в задании, зеркальным изображением трубы, указав, как должен быть направлен ток в нем.
-
Воспользовавшись расчетной схемой п.1 и полагая потенциалы всех точек поверхности одинаковыми (удельная электропроводность очень велика) обозначить через ток, стекающий в землю с поверхности трубы единичной длины, и составить интегральное уравнение относительно .
-
Для приближенного решения интегрального уравнения п.2 разделить трубу и ее зеркальное изображение на три участка одинаковой длины с неизвестными на трубе и на изображении трубы; составить систему алгебраических уравнений для определения всех , где i=1, 2, 3. Определить коэффициенты этой системы и решить систему.
-
Полагая потенциал бесконечно удаленной точки поля равным нулю, определить потенциал поверхности трубы (заземлителя) .
-
Определить сопротивление растекания заземлителя .
Пример 5. Заземлителем служат две вертикально забитые в землю стальные трубы 1 и 2 (рис. 21 а), связанные между собой электрически. К заземлителю изолированными проводами подведен ток А.
Требуется: 1) найти распределение линейной плотности стекающих в землю токов по длине каждой трубы; 2) сопротивление растекания заземлителя и его потенциал, а также распределение потенциалов по поверхности земли в плоскости чертежа, если расстояния: , , , м. Удельная проводимость земли См/м.
Указание. Падением напряжения вдоль заземлителя пренебречь.
а) б)
Рис. 21
Решение.
Применяя метод зеркальных изображений, получим расчетную схему заземления (рис. 21 б). Поскольку , ток в каждой трубе можно считать сосредоточенным на оси проводов с неизвестной линейной плотностью , где - координата точки истока И. Потенциал произвольной точки Н в плоскости чертежа (точки наблюдения), обусловленный токами в трубах заземлителя и его изображений, с учетом симметрии относительно поверхности земли равен
,
где , .
Если точку Н поместить, например, на поверхность трубы 1, то при и ;.
Потенциалы всех точек поверхности трубы 1 можно считать одинаковыми и равными , так как удельная проводимость стали значительно больше проводимости земли. В результате, подставляя , получим интегральное уравнение 1 –го рода относительно неизвестной линейной плотности токов вида
.
Для приближенного решения интегрального уравнения провода 1 и 2 и их изображения разобьем на n одинаковых участков длиной со средней плот-ностью тока на каждом участке, где (возьмем ). Определим последовательно потенциал каждого участка трубы 1, где , полагая, что точка наблюдения Н помещается на середину поверхности участка, то есть в точки с координатами , . В результате получим уравнений:
где .
Это система уравнений вида
где - квадратная матрица коэффициен-тов; - матрица-столбец относительных средних линейных плотностей стекающих токов; - единичная матрица.
Каждый член матрицы , определяется при любых выражениями, полученными после интегрирования:
;
.
Каждый член матрицы и определяется соответственно выражениям для значений и , в которые вместо радиуса входят .
При для заданных геометрических размеров имеем:
; ; ;
Решив систему уравнений находим распределение относительных линейных плотностей тока в каждой трубе:
Ток через каждую трубу:
Следовательно, сопротивление растекания всего заземлителя
.
При и Ом; 366 В.
Распределение потенциалов по поверхности земли () в силу симметрии:
Результаты расчета представим в виде таблицы
0 |
1/6 |
2/6 |
3/6 |
4/6 |
|
274 |
148 |
274 |
226 |
184 |