530 НЕКОТОРЫЕ УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ГУМАНИТАРИЕВ

Последующие двенадцать предложенных упражнений отслежи­ вают различные аспекты поставленной цели: от простого тренинга до более «платонического» понимания математики.

Г1: Древневавилонская задача

Рекомендуется для начала коротко показать арифметические средства древних математиков и те виды задач, которыми они занимались, а потом решить одну задачу, сначала методом древ­ них, а потом с использованием наших алгебраических возмож­ ностей. Следующий текст содержит одну задачу из клинописных математических текстов и информацию о ней:

«Среди арифметических задач имеется много задач на отдачу денег в рост (позднее, когда начисление в Древнем Риме, а затем в Венеции, считали "со ста", стали говорить о "процентах"), который вавилонские ростовщики рассчитывали с 60 единиц, а именно в год 12 шекелей с 1 мины (т. е. с 60 шекелей). В задачах требуется по данной величине уплачиваемых в год "процентных" денег опре­ делить величину начального капитала, найти, во что вырастет данный капитал при начислении процентов и на проценты, опре­ деление количества лет, за которые данный начальный капитал вырос до данной суммы, и т. п. Подобные задачи решались арифме­ тически, шаг за шагом, строились и сопоставлялись арифмети­ ческая и геометрическая прогрессии.

К таким прогрессиям, так же как и у египтян, вели и задачи на раздел денежных сумм. Так, например, требовалось разделить if

модифицированных вирусов. «Мы не сможем перестать двигаться вперед или повернуть прогресс вспять, поэтому нам нужно узнать, где таится опасность, и научиться ее сдерживать». Жизнь на Земле находится в постоянно растущей опасности быть уничтоженной из-за развития ядерного и бактериологического оружия, а также «других угроз, о которых мы еще не думали».

Теперь они знают значение шага арифметического ряда и могут вычислить все доли:

А как мы сегодня решили бы эту задачу? Мы, наверное, написали бы систему уравнений, где А — доля «последнего» брата, их — шаг ряда:

Отсюда мы легко получаем А = <- , χ = - и, соответственно, все те же доли.

Г2: Один кусочек из Евклида

Желательно, чтобы гуманитарии, особенно философы, познакоми­ лись с древнегреческой математикой (или хотя бы получили какоето представление о ней) как с такой формой математики, которой занимались, например, Платон и Аристотель. Да, можно усом­ ниться в возможности такого занятия в принципе, так как гумани­ тарии обычно забывают почти все, чему научились на школьных уроках математики. Тем не менее все же стоит попробовать. Вероятность успеха выше, если сказать им, что никакого экзамена не будет, и пригласить просто спокойно следить за рассуждением, не беспокоясь о том, что они, наверное, многого не понимают. Такой урок похож на то, что происходит, когда мы смотрим на известную картину великого мастера: мы многого не знаем о ее

Один кусочек из Евклида 533

технике, истории, композиции и т. д., но все же можем получить ценные впечатления.

Из «Начал» Евклида мы выбрали предложение 36 книги IX, которое дает некий взгляд на скрытую структуру натуральных чисел. Можно сначала выдать всем участникам текст из Евклида, и пусть кто-то (возможно, сам преподаватель) медленно прочтет его вслух. Текст такой:

Пусть от единицы будут отложены сколько угодно чисел в двойном отно­ шении до тех пор, пока вся их совокупность сложенная не сделалась первым числом, а именно Л, В, С, Д и пусть Ε равно будет этой совокупности, и £, умноженное на Д произведет ΙΗ. Я утверждаю, что ΙΗ будет совершенным числом.

Действительно, каково будет количество А, В, С, Д столько же возьмем от Ε в двойном отношении чисел £, GK, L, М. Значит, "по равенству" (предложение 14 книги VII) будет, что как А к Д так и Ε к М. Значит, произведение из Е, D равно будет произведению из А, M (предложение 19 книги VII). И произ­ ведение из Е, D есть /Я; и значит, произведение из А, M будет /Я. Значит, А, умножая М, произвело /Я; значит, M измеряет /Я по числу единиц в А. И А есть двойка; значит, IH будет вдвое больше М. Также и Л/, Z,, GK, Ε будут последовательно вдвое больше друг друга; значит, Е, GK9 L, М, /Я последовательно пропорциональны в двойном отношении. Тогда отнимем от второго GK и от последнего /Я соответственно каждое из GN, IX, равных первому Е\ значит, будет, что как остаток второго числа к первому, так и остаток последнего ко всем ему предшествующим (предложение 35). Значит, будет, что как ΝΚ к £, так и ХН к M, L, KG, Ε вместе. И ΝΚ равно Е\ значит, и ХН равно Л/, Z,, GK, Ε вместе. Также и IX равно £, Ε же равно А, В, С, D и единице. Значит, все IH равно Е, GKy L, M и А, В, С, D и единице; и оно измеряется ими. Я утверждаю, что и /Я не измерится никаким иным числом, кроме А, В, С, Д Еу GK, L, M и единицы. В самом деле, если возможно, пусть какое-то О измеряет /Я и пусть О не будет тождественно ни с одним из А, В, С,

534 НЕКОТОРЫЕ УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ГУМАНИТАРИЕВ

Д£, GK, L, М. И сколько раз О измеряет /Я, пусть столько единиц будет в Р\ значит, Р, умножая О, произвело /Я. Но вместе с тем и Е, умножая Д

произвело /Я; значит, будет (предложение 19 книги VII), что как ЕкР, так и О к D. И поскольку от единицы будут последовательно пропорциональные числа A, В, С, Д то, значит, D не измерится никаким иным числом, кроме А, В, С (предложение 13). И предполагается, что О не тождественно ни с одним из А, B, С; значит, О не измерит D. Но как О к Д так и £ к Р; значит, и £ не измеряет Ρ (определение 21 книги VII). И £ — первое; всякое же первое число будет первым по отношению ко всякому, кого оно не измеряет (предложение 29 книги VII). Значит, £", Ρ будут первыми между собой. Первые же и наименьшие (предложение 21 книги VII), наименьшие же равное число раз измеряют имеющие с ними то же отношение (предложение 20 книги VII), предыдущее — предыдущее и последующее — последующее; и как Ε к Р, так и О к Д значит, равное число раз Ε измеряет О и Ρ измеряет D. Но D не измеряется никаким иным, кроме А, Ву С, значит, Ρ будет тождественно одному из А, В, С. Пусть оно тождественно В. И каково будет количество В, С, Д начиная от £, возьмем столько же чисел — £, GК, L. И Е, GK, L с В, С, D будут в том же самом отношении; значит, "по равенству" будет (предложение 14 книги VII), что как 5 к Д так и Ε к L. Значит, произведение из В> L равно произведению из D, Ε (предложение 19 книги VII); но произведение из Д Ε равно произведению из Р, 0\ и значит, произведение из Р, О равно произведению из В, L. Значит, будет, что как Ρ к В, так и L к О (предложение 19 книги VII). И Ρ тождественно с В; значит, и L будет тождественно с О; это же невозможно; ибо О предполагается не тождественным ни одному из отложенных чисел. Значит, /Я не измерится никаким числом, кроме А, В, С, D, Е, GK, L, M и единицы. И доказано, что IN равно А, В, С, Д Е, GK, L, M и единице. Совершенным же числом будет то, которое равно своим частям (определение 23 книги VII); значит, /Я будет совершенным, что и требовалось доказать.

Потом следует обсудить особенности этого доказательства, например то, что Евклид мыслит «геометрически», или то, как тщательно обосновывает он каждый шаг. Но это доказательство требует от нас, по-видимому, больших усилий, и мы можем по достоинству оценить современные возможности, которыми рас­ полагаем. Современный подход может выглядеть так:

последнее число, произведет чтото, то возникающее число будет совершенным».

Второй шаг:

Мы запишем сумму S = 1 + 2 + 22 + 23 +... +2" в форме 2Я+1 - 1, которая проще для вычисления. Доказательство этого тождества:

значит, 1+ 2 + 22 + 23 +...+ 2я = 2Л+1 - 1

Третий шаг:

Убедимся в правильности предложения 36 с помощью нескольких примеров:

η = 1: S = 2"+1 - 1 = 22 - 1 = 3 — простое число! S-2w = 3-2 = 6

Τ: 1,2,3; ΣΤ = 6

η= 2: S = 2η+ι - 1 = 23 - 1 = 7 — простое число! S-2/1 =7-4 = 28

Τ: 1,2,4,7,14; £Τ = 28

η= 3: S = 2"+1 - 1 = 24 - 1 = 15 — не простое число S-2w= 15-8 = 120

Τ: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60; ΣΤ = 240

536НЕКОТОРЫЕ УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ГУМАНИТАРИЕВ

η= 4: S = 2"+1 - 1 = 25 - 1 = 31 — простое число! S-2« = 3116 = 496

Т: 1,2,4,8,16,31,62,124,248; £Т = 496

η= 5: S = 2"+1 - 1 = 26 - 1 = 63 — не простое число

S-2n = 63-32 = 2016

Τ: 1, 2, 3,4, 6, 7, 8, 9, 12, 14, 16, 18, 21, 24, 28, 32, 36, 48, 56, 63, 72, 96, 112, 144, 224, 288; ΣΤ = 1344

η = 6: S = 2"+1 - 1 = 27 - 1 = 127 — простое число! S-2" = 127-64 = 8128;

Τ: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 127, 254, 508, 1016, 2032, 4064; ΣΤ = 8128

Четвертый шаг:

Докажем предложение 36 нашими средствами. Мы определим все делители произведения S-2n — при условии, что S — простое

число! Затем образуем сумму этих делителей и покажем, что она равна S-2". Тогда S-2" —совершенное число.

Делители произведения S·2η:

1, 2, 22, 23, ...,2", S, 2S, 22S, 23S, ..., 2""1S

Больше делителей нет, так как S простое число! Сумма всех делителей:

1+2 + 22+23+... +2"+S + 2S + 22S + 23S+... +2""1S

=(1 + 2 + 22 + 23+... +2") + S + 2S + 22S + 23S +... +2"'1S

=S + S + 2S + 22S + 23S +... + г""^

=(S + S) + 2S + 22S + 23S +... + 2/MS

=2S + 2S + 22S + 23S +... + 2""1S

=(2S + 2S) + 22S + 23S +... + 2Л_18

=22S + 22S + 23S+...+2""1S

=(22S + 22S) + 23S +... + г1"^

=23S + 23S + 24S+...+2"'1S

=(23S + 23S) + 24S +... + г"'^

=24S+24S+...+2"'1S

=2W"1S + 2'"1S

=8-(2л"1 + 2л"1)

=S.2"