504 ТЕМЫ ДЛЯ ФИЛОСОФСКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ ДИСКУССИЙ

выступлений перед широкой аудиторией...» Хотя характер невозможно имитировать, такие черты сдержанности и скромности важны и для сегодняшнего учителя или человека, ведущего собрание.

В связи с этим стоит вспомнить и высказывание Клиния, обра­ щенное к Афинянину:

Твои мысли казались нам убедительными, пока ты их из­ лагал. Однако сразу поверить тебе в столь важных вопросах было бы достойно скорее неразумного юноши4.

Не просто верить, но думать самостоятельно — вот что необходимо: «Общим для бесед и диалогов было отсутствие в них готовых ответов, ибо Платон, прибегая к иносказаниям и прячась за маски персонажей диалогов, решал с их помощью одну задачу: помочь ученикам самостоятельно найти истину, полагая при этом, что многим из них для этого достаточно лишь "малейшего указания" (PI. Ер. VII, 341 Е). Такая позиция Платона давала каждому из его учеников свободу в поисках собственного пути к истине. Все ученики, таким образом, получали возможность идти своим путем, создавая оригинальные учения и считая при этом, что каждый из них, и только он один, правильно понял Учителя...»5

В2: Точки зрения участников

В течении нескольких заседаний философско-математического кружка, даже и на самой первой встрече, можно поставить следую­ щую задачу: участники — как минимум, каждый опытный участ­ ник и докладчик — должны коротко изложить свою философскоматематическую точку зрения, примерно в том смысле, как это предлагал Скулем: «Чтобы дискуссии о природе математики были

Цитату целиком см. на с. 45 наст. изд. Законы. 635е.

Мочалова. Указ. соч.

Пять вопросов 505

плодотворными, каждый участник этих обсуждений должен сказать о себе, является ли он платоником и, таким образом, рассматривает ли он математические объекты как существующие изначально, независимо от человеческого мышления, или же он согласен с математикой того сорта, которая говорит только о верификации, то есть об уже наблюдаемых фактах, или он хочет изложить утверждения, касающиеся объектов, которые он обна­ ружит или сможет сконструировать в будущем» . Таким образом аудитория познакомится с различными позициями не только «на бумаге», а в лице настоящих, живых ученых; и для самих участников такая задача интересна потому, что они должны будут подумать о своих убеждениях и представить их в понятной для аудитории форме.

ВЗ: Пять вопросов

—В чем специфика математических объектов, где и как они существуют?

—Определяются ли в математике все понятия точно, в отличие от других наук, и выводятся ли ее теоремы строго из аксиом, или это не так?

—Имеют ли место в математике научные революции?

—Как в математике возникают новые понятия, теории, новые дисциплины?

—Влияют ли на развитие математики внешние обстоятельства или только внутренние?

6Skolem. The Logical Nature of Arithmetic. P. 383-384.

7Эти вопросы ставила Людмила Сергеевна Сычева. См.: Сычева. Филосо­ фия математики на пути от философии к науке. С. 158-161.

Возможно ли окончательно обосновать математику? 507

поэтому предпочитают применять классическую, а не интуицио­ нистскую математику» .

Вопрос к философу: почему бы не довольствоваться тем, что математика полезна и хорошо функционирует? Почему надо искать «истину»? Зачем она нам нужна? Что она «дает» нам?

В5: Возможно ли окончательно обосновать математику?

Этот вопрос тесно связан с предыдущим параграфом. Как и там, мы находим здесь различные, зачастую противоречивые мнения. Пауль Финслер, как мы видели, настаивал на том, что математика стоит на абсолютно надежном фундаменте. Н. Г. Баранец, напротив, счи­ тает, что этот фундамент принципиально не является «твердым». Чтобы инициировать дискуссию, можно вручить участникам такие противоречащие друг другу цитаты:

Φ «Математические факты не зависят от времени, они

10

вечны, в то время как природные явления преходящи» . «Чистая математика, которую мы исследуем, не зависит от нашего человеческого несовершенства»11.

(D «Вопрос об основаниях математики и знания вообще на современном уровне не может быть разрешен в окончатель­ ном виде и остается открытым» .

Можно выдать и следующий текст, который более подробно описывает обсуждающуюся ситуацию — и ставит вопрос о точке зрения самого автора:

Carnap. Grundlagen der Logik und Mathematik. S. 70-71. Finsler. Und doch Piatonismus. S. 267.

Finsler. Über die Grundlegung der Mengenlehre II. S. 177.

Баранец, Веревкин. О судьбе математических конструктивистских школ А. А. Маркова и Э. А. Бишопа. С. 217.

508 ТЕМЫ ДЛЯ ФИЛОСОФСКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ ДИСКУССИЙ

(D «Обзор классических, если можно так сказать, направлений (логицизм, интуиционизм и конструктивизм, формалистское тече­ ние) и современных подходов (аксиоматический и теоретикокатегориальный) показывает, что проблема философского обосно­ вания такова, что она постоянно остается проблемой и, очевидно, останется таковой и в дальнейшем. Одной из основных задач фило­ софии часто полагают ее устремленность на решение вечных про­ блем. Это такие вопросы, которые волновали человечество всегда, поскольку бытие постоянно открыто нашему взору, предъявляя ему все новые горизонты для раздумий и помыслов. Далее, это пробле­ мы, ответ на которые каждый человек ищет для себя сам, раскры­ вая свою сущность. Как говорится, jeder stirbt fur sich allein (каж­ дый умирает в одиночку13). Наконец, вечными подобные вопросы становятся потому, что не находят окончательного ответа, ибо его нет. Потому человечество по отношению к подобным темам всегда

впути, в неизменном поиске. К числу таких вечных проблем, оче­ видно, относят и задачи философского обоснования математики. В этом смысле, если иметь в виду нашу тему, математика обречена всегда находиться в "кризисной" ситуации. Но от этих системати­ ческих потрясений математика не гибнет. Наоборот. Характеризуя итоги исследований в области обоснования, М. Бунго отметил, что ныне уже никому не следует принимать позу человека, выработав­ шего "окончательные решения" и разрушившего тем самым все иные концепции. О результатах можно сказать так. Теории обоснования не похожи на здания, развалившиеся при замене фундаментов. Их лучше уподобить растущему организму с частями хрупкими и взаимно друг друга уравновешивающими. Процесс обоснования — это процесс поиска своего рода "вечной" истины. Он не может иметь окончания, но каждый его шаг обогащает наше понимание, продвигая к более полному знанию. "Достоверность" никогда не может быть достигнута, "основания" никогда не могут быть обоснованы, — пишет И. Лакатос, — но "хитрость разума" превращает всякое увеличение строгости в увеличение содержания,

вцель математики"»14.

Более точно: «Каждый человек переживает свою личную смерть». Сухотин. Философия математики. VIII, 3.

510 ТЕМЫ ДЛЯ ФИЛОСОФСКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ ДИСКУССИЙ

И все же многие математики считают, что нельзя отказаться от понятия актуально бесконечного. По Гильберту16, реальность всегда конечна, но бесконечное неизбежно появляется в мате­ матике в двух случаях. Во-первых, в формулах. Формула

12+22 + 32 +... + п2 = ^я(я + 1)(2л + 1)

например, содержит бесконечно много высказываний, и в этом проявляется сама суть формул. Во-вторых, в методе идеальных эле­ ментов, где конечно-конкретное дополняется до тотальности (на­ пример, при применении терминов «все» и «есть» Вейерштрассом). Гильбертовский ряд примеров легко можно продолжить. На самом деле представление, что бесконечное «дано» нам актуально, встре­ чается в классической математике сплошь и рядом .

Но возникает следующий вопрос: как воспринимать эту бес­ конечность? Считаем ли мы, что она действительно существует в физическом (или хотя бы в идеальном) мире? Или мы понимаем ее в ограниченном, небуквальном смысле Гильберта, т. е. просто как «фигуру речи», которая сама по себе бессмыслена, но делает теорию проще и позволяет получить интересные и даже полезные результаты?

Многие математики не задаются этими вопросами, но фило­ софу нужна «истина» о бесконечном. Какие выводы, спрашивает он, предполагают «реальное» существование бесконечного коли­ чества, скажем, чисел? А что касается Гильберта, он спрашивает: если эта «фигура речи» при этом оказывается столь полезна или даже фактически неизбежна, то разве не предполагается, что ей принадлежит какая-то «реальность»?

Hubert. Über das Unendliche. S. 80, 81-83, 94-108. Ср. также: Hubert. Natur­ erkennen und Logik. S. 960.

Приведем хотя бы один пример: «Если мы признаем лишь потенциально бесконечные множества, то вряд ли следует признавать доказательства теорем Геделя о неполноте абсолютно безупречными» (Чагров. Бесконеч­ ность, всеведение, теоремы Геделя о неполноте. С. 208).