Глава 1 Теоретические основы изучения геометрического материала на уроках математики в 5-6 классах

1. Роль и место геометрии в курсе математики в 5 – 6 классах

Геометрия - одна из самых древних наук, ее возраст исчисляется тысячелетиями. Геометрия (греч. geometria, от ge - Земля и metreo - мерю), раздел математики, изучающий пространственные отношения и формы, а также другие отношений и формы, сходные с пространственными по своей структуре. В геометрии много формул, фигур, теорем, задач, аксиом. Они вечны, так как на них запечатлены великие идеи, не проходящие идеи.

Она возникла и развивалась в связи с потребностями практической деятельности человека. С древних времён люди сталкивались с необходимостью находить расстояния между предметами, определять размеры участков земли, ориентироваться по расположению звёзд на небе и тому подобное. Древнейшие древнеегипетские математические тексты относятся к началу II тысячелетия до н. э. Математика тогда использовалась в астрономии, мореплавании, землемерии, при строительстве домов, плотин, каналов и военных укреплений. Для первобытных людей важную роль играла форма окружавших их предметов. По форме и цвету они отличали съедобные грибы от несъедобных, пригодные для построек породы деревьев от тех, которые годятся лишь на дрова, вкусные орехи от горьких и т.д. Так, овладевая окружающим их миром, люди знакомились с простейшими геометрическими формами.

Геометрический материал в 5-6 классах распределён по всему курсу математики. Он составляет содержание так называемого пропедевтического курса геометрии. Основная роль этого курса - подготовить учащихся к сознательному усвоению систематического курса геометрии в старших классах, к изучению смежных дисциплин.

Многие современные учёные – методисты, анализируя составление школьного курса геометрического образования, формулируют роль обучения геометрии в школе. Например, академик А.Д. Александров роль обучения геометрии в школе видит «в развитии у учащихся трёх качеств: пространственного воображения, практического понимания и логического мышления». При этом роль изучения геометрии в школе заключается в:

• развитии логического мышления учащихся;

• привитии элементарных навыков определения простейших геометрических понятий, навыков чёткой формулировки выводов на основе наблюдений.

• развитии пространственных представлений у учащихся.

• ознакомлении учащихся с простейшими дедуктивными обоснованиями (без введения понятий «определение», «теорема», «доказательство»).

• формирование умений и навыков выполнения построений с помощью основных геометрических инструментов – циркуля, линейки, угольника, транспортира.

• формировании умений и навыков измерения геометрических величин.

• развитии творческой активности и самостоятельности учащихся.

Роль пропедевтического курса геометрии определяет его содержание, которое включает многие вопросы, изучаемые в систематическом курсе геометрии старших классов.

В начальной школе ведётся накопление и развитие геометрических представлений у школьников. Это достигается систематическим проведением практических работ. Основную роль на этой ступени обучения играет изготовление учащимися моделей геометрических фигур, вырезание, вычерчивание и т.п.

Учащиеся получают некоторые представления об определениях. Однако самостоятельная задача формулировки определений перед ними не ставится.

Таким образом, к 5 классу у учащихся накапливается значительный запас конкретных геометрических знаний и представлений, которые нуждаются в дальнейшем их обобщении и систематизации.

Ролью обучения геометрии учащихся 5-6 классов, как определено программой является овладение школьниками системой основных геометрических понятий и формирование прочных навыков выполнения геометрических построений с помощью линейки, угольника, циркуля и транспортира.

В этих классах в процессе обучения:

• уточняются и углубляются представления о геометрических объектах и их свойствах, приобретённые при обучении в младших классах;

• водятся новые геометрические фигуры (луч, параллельные прямые, биссектриса угла и т.д.), некоторые преобразования фигур;

• изучают новые величины, носителями которых являются знакомые фигуры (длина окружности, величина угла), проводится чёткое различие величин и фигур (отрезок и длина отрезка, угол и градусная мера угла).

• расширяется круг геометрических построений и используемых при этом инструментов.

Для школьников характерно восприятие геометрических фигур как целого чертежа, модели, которая пока ещё не отделима от воспринимаемого объекта. Знакомство школьников 5-6 классов с геометрическими фигурами, соотношениями между ними в большинстве случаев может быть доведено до уровня представлений. Эти представления отличаются друг от друга степенью обобщения. Многие из них несут в себе черты понятий, но это ещё не понятие. Например, школьники получают наглядное представление об отрезке – умеют выделить концы отрезка, отметить точки на отрезке и подсчитать при этом все образовавшиеся отрезки, учатся измерить длину отрезка, знакомятся с отрезком как носителем величины. Всё это создаёт хорошие предпосылки для формирования понятия отрезка. Курс геометрии связан с систематическим курсом планиметрии 5-6 классов как по содержанию, так и по идейной направленности. Подготовительный курс геометрии знакомит учащихся с геометрической технологией и символикой, которые используются и в систематическом курсе. Ознакомление с некоторыми видами отображения фигур готовит учащихся к сознательному усвоению идей геометрических представлений.

В подготовительном курсе геометрии осуществляется связь теории с практикой. Теоретические положения раскрываются при решении задач жизненного характера. Курс геометрии 5-6 классов включает задачи, позволяющие развивать у учащихся пространственные представления.

Изучение материала пропедевтического курса геометрии подготавливает учащихся к усвоению некоторых смежных дисциплин, изучаемых в школе. Геометрический материал 5-6 классов закладывает фундамент для дальнейшего изучения геометрического материала. В этом заключается основная роль изучения геометрического материала на уроках математики 5-6 классов.

Проведем сравнительный анализ геометрического материала, содержащегося в учебно-методических комплектах по математике. Остановимся подробно на каждом комплекте.

Математика: Учебник для 5 класса общеобразовательных учреждений /Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд – М.: Мнемозина, 2006.

Геометрический материал не выделен в отдельные главы, он представлен отдельными пунктами:

• «Отрезок. Длина отрезка. Треугольник». Позволяет учащимся актуализировать свои знания, полученные в начальной школе. А именно, чертить, измерять отрезки, распознавать и показывать на чертежах элементы треугольника. Изучая этот пункт, школьники вспоминают единицы измерения длины.

• «Плоскость. Прямая. Луч». Нацелен на введение понятий плоскость, прямая, луч. Упражнения этого пункта содержат задания на распознавание отличий между отрезком, прямой и лучом.

• «Площадь. Формула площади прямоугольника». Нацелен на актуализацию учащихся имеющихся знаний из начальной школы о площади. Вводится понятие равных фигур, площадь треугольника.

• «Единицы измерения площадей». Данный пункт также не является новым для учащихся. Происходит актуализация знаний учеников о единицах площадей, полученных в начальной школе. Происходит ознакомление с новыми единицами площадей, с соотношениями между ними. Имеются упражнения, предполагающие выражение одних единиц площади через другие.

• «Прямоугольный параллелепипед». Целью изучения данного пункта является знакомство с геометрическим телом на примере прямоугольного параллелепипеда; и учить решать задачи на нахождение площади поверхности прямоугольного параллелепипеда. Вводятся такие понятия как: грань параллелепипеда, ребро параллелепипеда, вершина параллелепипеда, куб.

• «Объемы. Объем прямоугольного параллелепипеда». Учащиеся знакомятся с понятием объем. Учатся находить объем прямоугольного параллелепипеда.

• «Угол. Прямой и развернутый угол». Чертежный треугольник. В данном пункте вводится понятие угла, обозначаются правила чтения и записи углов; вводятся понятия прямого, развернутого угла, тупого, острого угла.

• «Измерение углов. Транспортир». Целью является ознакомление учащихся с транспортиром, научить измерять и строить углы.

Математика: Учебник для 6 класса общеобразовательных учреждений /Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд – М.: Мнемозина, 2006.

Геометрический материал в этом учебнике дополняет и расширяет сведения о фигурах, полученные учащимися в 5 классе, и представлен отдельными пунктами:

• «Длина окружности и площадь круга». Школьники знакомятся с новым для них числом π как отношением длины окружности к длине ее диаметра. Даются формулы длины окружности и площади круга. Задачи можно условно поделить на два типа: упражнения на измерение элементов окружности и упражнения на вычисление неизвестных компонентов по формулам.

• «Шар». Само понятие шара дается образно, связывается с предметами из окружающего мира (мяч, глобус, арбуз). Количество задач весьма ограничено. Они посвящены отношению радиуса и диаметра шара.

• «Перпендикулярные прямые». Пункт посвящён усвоению понятия таких прямых. Учащиеся должны научиться строить перпендикулярные прямые с помощью чертежных инструментов, распознавать эти прямые, а также знакомятся с перпендикулярными отрезками и лучами.

• «Параллельные прямые». Пункт нацелен на усвоение понятия параллельных прямых и дается ответ на вопрос: сколько прямых, параллельных данной, можно провести через одну точку. Кроме того, показывается, как с помощью треугольника и линейки можно построить прямую, параллельную данной. 

Математика: Учебник для 5 класса для учащихся общеобразовательных организаций /А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир – М.: Вентана-Граф, 2017.

Геометрический материал этого учебника так же не выделен в отдельные главы, он представлен отдельными параграфами:

• «Отрезок. Длина отрезка.» Учащиеся учатся распознавать на чертежах геометрические фигуры: точку, отрезок; получит навыки измерения длины отрезка и построения отрезка заданной длины. Также учащиеся учатся решать геометрические задачи на измерение длины отрезка и построение отрезка заданной длины.

• «Плоскость. Прямая. Луч.» В этом параграфе учащиеся учатся распознавать на чертежах геометрические фигуры: плоскость, прямую, луч; выполнять геометрические построения и решать геометрические задачи разного уровня сложности.

• «Угол. Обозначение углов.» Учащиеся учится распознавать на чертежах углы, обозначать углы, строить углы. Знакомятся с новыми понятиями: угол, стороны угла, вершина угла, равные углы, биссектриса угла.

• «Виды углов. Измерение углов.» Учащиеся знакомятся с понятиями: развёрнутый угол, единичный угол, градус, транспортир, измерение углов, острый угол, прямой угол, тупой угол; учатся измерять углы с помощью транспортира, распознавать развёрнутые, острые, тупые и прямые углы; учатся строить углы заданной величины с помощью транспортира; учатся решать геометрические задачи на нахождение градусной меры угла.

• «Многоугольники. Равные фигуры.» В данном параграфе ученики знакомятся с понятиями: многоугольник, периметр многоугольника, равные многоугольники, равные фигуры. Учатся распознавать многоугольники, их элементы, равные фигуры, находить в окружающем мире объекты, для которых многоугольники являются моделями; учатся строить многоугольники, решать геометрические задачи на нахождение элементов многоугольника.

• «Треугольники и его виды.» Вводятся такие понятия как: треугольник, остроугольный треугольник, прямоугольный треугольник, тупоугольный треугольник, равнобедренный треугольник, равносторонний треугольник, разносторонний треугольник, периметр треугольника. Учащиеся учатся классифицировать треугольники по видам их углов и по количеству равных сторон и изображать треугольники; учатся строить треугольники с помощью линейки и транспортира по двум сторонам и углу между ними и по стороне и двум прилежащим к ней углам.

• «Прямоугольники. Ось симметрии фигуры.» Работают с такими понятиями как: прямоугольник, длина и ширина прямоугольника, соседние и противолежащие стороны прямоугольника, свойство противолежащих сторон прямоугольника, периметр прямоугольника, квадрат; фигуры, симметричные относительно прямой, ось симметрии фигуры. Учащиеся учатся распознавать, строить прямоугольник и квадрат и находить их периметры, находить на рисунках фигуры, имеющие ось симметрии, находить в окружающем мире объекты, имеющие ось симметрии.

• «Площадь. Площадь прямоугольника.» Изучая этот параграф, учащиеся получают представление о площади фигуры и её свойствах, учатся устанавливать связи между единицами измерения площади, применять формулы площади прямоугольника и площади квадрата, учатся выражать площадь фигуры в разных единицах измерения.

• «Прямоугольный параллелепипед. Пирамида.» Изучают такие понятия как: прямоугольный параллелепипед, грани, рёбра, вершины, противолежащие грани, измерения прямоугольного параллелепипеда: длина, ширина и высота; свойство прямоугольного параллелепипеда, куб. Учатся распознавать геометрические тела: прямоугольный параллелепипед и куб, находить в окружающем мире объекты, для которых они являются моделями, изображать прямоугольный параллелепипед, распознавать развёртки прямоугольного параллелепипеда. Ученики учатся распознавать пирамиду, находить в окружающем мире объекты, для которых она является моделью, изображать пирамиду, распознавать развёртки пирамиды. Используются понятия: пирамида, грани, рёбра, основание, вершина пирамиды, развёртка пирамиды, многогранник.

• «Объём прямоугольного параллелепипеда.» Школьники получают представление об объёме фигуры и его свойствах, научится устанавливать связи между единицами измерения объёма, учатся применять формулы объёма прямоугольного результаты параллелепипеда и куба.

Математика: Учебник для 6 класса для учащихся общеобразовательных организаций /А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир – М.: Вентана-Граф, 2017.

Геометрический материал учебника дополняет и расширяет сведения о фигурах, полученные учащимися в 5 классе, и также представлен отдельными параграфами:

• «Окружность и круг.» В этом параграфе основные понятия: окружность, центр окружности, радиус окружности, хорда окружности, диаметр окружности, дуга окружности, круг, центр круга, радиус круга, хорда круга, диаметр круга, сектор круга, полукруг. Учащиеся учатся распознавать и изображать окружность, круг и их элементы; учатся выполнять геометрические построения с помощью циркуля.

• «Длина окружности. Площадь круга.» Школьники учатся вычислять длину окружности и площадь круга, используя формулы длины окружности и площади круга; учатся решать геометрические задачи, в которых используются формулы длины окружности и площади круга. Используются такие понятия как: длина окружности, число π, бесконечная непериодическая десятичная дробь, площадь круга.

• «Цилиндр. Конус. Шар.» Ученики учатся распознавать геометрические фигуры: цилиндр, конус, шар и сферу, указывать их элементы, вычислять площадь боковой поверхности цилиндра. Основными понятиями являются: геометрическое тело, цилиндр, основания цилиндра, высота цилиндра, образующая цилиндра, формула площади боковой поверхности цилиндра, конус, основание конуса, боковая поверхность конуса, образующая конуса, шар, сфера, тело вращения.

• «Перпендикулярные прямые.» Учащиеся учатся распознавать на чертежах перпендикулярные прямые, строить перпендикулярные прямые; учатся решать геометрические задачи, используя построение перпендикулярных прямых. Используемые понятия: перпендикулярные прямые, перпендикулярные отрезки, перпендикулярные лучи, перпендикулярные луч и отрезок, перпендикулярные отрезки и прямая.

• «Осевая и центральная симметрии.» В данном параграфе школьники учатся строить фигуру, симметричную данной относительно данной прямой/точки; учатся решать геометрические задачи, используя осевую и центральную симметрии.

• «Параллельные прямые.» Учащиеся учатся строить параллельные прямые; учатся решать геометрические задачи, используя построение параллельных прямых. Используемые понятия: параллельные прямые. Параллельные отрезки, параллельные лучи, свойство параллельных прямых.

Рассмотренные учебники и по содержанию, и по стилю выстроены так, чтобы обеспечить школьникам достаточно мягкий переход к систематическому, более углублённому изучению в 7 классе курса геометрии.

Итак, по окончании изучения данного курса учащийся научится:

• Распознавать на чертежах, рисунках, моделях, в окружающем мире плоские и пространственные геометрические фигуры, их элементы;

• Строить углы, определять их градусную меру;

• Определять по линейным размерам развёртки фигуры линейные размеры самой фигуры и наоборот;

• Вычислять объём прямоугольного параллелепипеда и куба.

Учащийся получит возможность:

• Научиться вычислять объём пространственных геометрических фигур, составленных из прямоугольных параллелепипедов;

• Углубить и развить представления о пространственных геометрических фигурах;

• Научиться применять понятие развёртки для выполнения практических расчётов.

2. Психологические особенности изучения геометрического материала на уроках математики в 5 – 6 классах

Известные педагоги прошлого (Я.А. Каменский, Ж.Ж. Руссо, И.Г. Песталоцци, А. Дистервег) выдвигали требование учёта возрастных особенностей детей в процессе их обучения и воспитания. Они подчёркивали, что обучение и воспитание должно строится и вестись на основе глубокого знания возрастных и индивидуальных особенностей детей. «Всё подлежащее обучению должно быть распределено сообразно ступеням возраста так, чтобы предлагалось для обучения только то, что доступно восприятию в каждом возрасте», - писал великий славянский педагог Я.А. Каменский. К.Д. Ушинский указывал на необходимость так строить учебный процесс, чтобы он активно способствовал психическому развитию ребёнка.

В психологии выделяются три вида мышления: наглядно-действенное, наглядно-образное, словесно-логическое. На этапе умственного развития детей 10-12 лет при наличии и сосуществовании всех видов мышления, доминирующая роль, по утверждениям психологов, принадлежит образному мышлению, и это нельзя не учитывать при отборе содержания учебного предмета и организации деятельности учащихся.

Итак, психолого-педагогические особенности детей младшего подросткового возраста при изучении элементов геометрии будут учтены, если:

• геометрические объекты и их свойства изучать на основе предметно-практических и мысленных действий;

• изучение геометрических фигур начать с пространственных фигур, а затем ввести плоские, как элементы пространственных - это позволит соединить чувственное и рациональное познание;

• основными формами познания являются - наблюдение, эксперимент, конструктивно-геометрическая деятельность (измерение, изображение, конструирование, моделирование);

• при организации учебного процесса использовать репродуктивные, творческие, игровые задания; приобщать к самостоятельному поиску решений, учитывая опыт и потребности практической деятельности детей.

Таким образом при составлении пропедевтического курса геометрии необходимо учитывать:

• чтобы геометрическая линия обеспечивала формирование пространственного воображения учащихся, а также развитие логического и творческого мышления;

• желательно, чтобы система обучения носила практический характер, а также ближе знакомила с предметами окружающего мира;

• чтобы процесс геометрического развития был непрерывным, равномерным и разнообразным.

3. Лабораторные работы на уроках математики

Источником любых знаний, открытий являются наблюдения, сравнения, практические опыты. Они обеспечивают не только закрепление и применение знаний, но и формирует опыт, умения, служит интеллектуальному, физическому и нравственному развитию.

На уроках геометрии тоже можно проводить лабораторные работы, которые можно использовать как средство открытия, проверки, повторения свойств геометрических фигур, как средство развития творческих способностей учащихся, для отработки умений и навыков пользования геометрическими инструментами и т.д.

Лабораторная работа – это такой метод обучения, при котором учащиеся под руководством учителя и по заранее намеченному плану проделывают опыты или выполняют определённые практические задания.

Предлагаемые лабораторные работы можно проводить в виде демонстрации, фронтально, группами и т.д.

В результате, учащиеся приобретают навыки сравнения, обобщения и анализа проделанной работы. Они учатся также ставить проблемы и разрешать их, делать логические выводы, развивают свою интуицию.

Лабораторные работы – как один из видов самостоятельных практических работ активизируют учебный процесс, облегчают восприятие геометрических понятий, обеспечивают доступность геометрических фактов, которые в дальнейшем постоянно применяются при решении задач.

Особую важность в изучении геометрического материала приобретает использование метода практической работы. Этот метод обучения представляет собой осуществление учащимися предметной деятельности с целью накопления опыта, использования уже имеющихся знаний и получения новых.

Целью практических работ являются: применение знаний, выработка опыта и умений деятельности, формирование организационных, хозяйственных и других навыков. При выполнении таких работ учащиеся самостоятельно упражняются в практическом применении усвоенных теоретических знаний и умений. Практические работы вносят разнообразие в уроки математики, повышают активность и самостоятельность учащихся на уроке; способствуют повышению качества знаний учащихся по математике, делают абстрактные теоретические положения понятными, доступными, наглядными. У учащихся возрастает степень понимания учебного материала. Каждый ученик, проделывая какую-либо работу, обдумывает каждое своё действие, усваивая при этом теоретический материал.

Лабораторные работы на уроках усиливают практическую направленность обучения, призваны способствовать прочному усвоению материала. Самостоятельная работа является основной формой проведения лабораторных работ, на которой учащиеся упражняются в практическом применении усвоенных теоретических знаний и умений. Средством управления учебной деятельности учащихся является инструкционная карта (карта с заданием), которая по определённым правилам последовательно определяет действия учеников.

Опираясь на имеющийся опыт, можно предложить следующую структуру лабораторной работы:

• Актуализация опорных знаний и умений;

• Мотивация учебной деятельности;

• Ознакомление с инструкционной картой;

• Выполнение работы под руководством учителя;

• Обсуждение и подведение итогов, полученных в результате выполненной работы.

Данную структуру можно менять в зависимости от подготовки учащихся, содержания работы, наличия технических средств обучения и оборудования.

Ученики любят выполнять задания с геометрическим материалом, потому что на этих занятиях они удовлетворяют свой познавательный интерес с помощью таких видов деятельности, которые соответствуют их возрасту: рисования, вырезания, рассматривания иллюстраций, дидактической игры. Организованная таким образом геометрическая работа оказывает положительное влияние на формирование пространственных представлений обучающихся, совершенствование их математической речи, развитие интереса к изучению математики в целом.