Учебники / Ter-Krikorov_Kurs_matematicheskogo_analiza_2015

т. е. область определения функции д совпадает с множеством значе­ ний функции / и наоборот;

2) для любого ж Е D(f) справедливо равенство

9(f(x)) = х,

а для любого х Е E(f) справедливо равенство f(g(x)) = х;

3)график функции у = д{х) симметричен графику функции у =

=/(ж) относительно прямой у — х\

4)если нечетная функция обратима, то обратная к ней функция также является нечетной;

5)если / — строго возрастаю­

щая (строго убывающая) функция, то она обратима, причем обратная к ней функция д также является строго воз­ растающей (строго убывающей).

Свойства 1) и 2) следуют непо­ средственно из определения обратной функции, 4) и 5) — из определений об­ ратной и соответственно нечетной и строго монотонной функции.

Рассмотрим свойство 3). Пусть точка (жо,2/о) принадлежит графику

функции у = /(ж), т. е. у0 = /(ж0). Тогда ж0 = д(у0), т. е. точка (у0,х0) принадлежит графику обратной функции д. Так как точки (жо,2/о) и (уо,хо) симметричны относительно прямой у = х (рис. 9.9), то гра­

фик функции у = д{х) симметричен графику функции у = /(ж) отно­ сительно этой прямой.

На рис. 9.10 изображены графики взаимно обратных функций у = = ж2, ж ^ 0, и у — л/х, а на рис. 9.11 — графики взаимно обратных функций у — ж2, ж ^ 0, и у = —у/х.

10. Неявные функции. Параметрически заданные функ­ ции. Пусть Е — множество точек М(х,у) плоскости Оху. Если каж­ дой точке М Е Е поставлено в соответствие по некоторому правилу

Будем теперь рассматривать уравнение (10) в прямоугольнике

Ki = {(x,y): 0 ф у ф 1 }.

В этом случае существует единственная функция у = у\ = л/1 —х2, —1 ^ х ф 1, удовлетворяющая уравнению (10) и такая, что у £ [0,1]. Эту функцию называют неявной функцией, определяемой уравнени­ ем (10) в прямоугольнике К\.

Аналогично в прямоугольнике К\ = {(ж, у): —1 ^ х ф 1, —1 ^ у ф 0} неявная функция, определяемая уравнением (10), задается формулой

У = У2 = - V I - х 2, - 1 ф х ф 1.

Вернемся к уравнению (9). Пусть прямоугольник К = {(х ,у ): \х — х0\ ф а, \у —у0\ ф Ъ} содержится в области определения функции

менную у как неявную функцию переменной х.

Достаточные условия существования неявной функции и другие вопросы, связанные с неявными функциями, рассматриваются в § 28.

Функция одной переменной может быть задана не только в явном виде у = f(x) или неявно уравнением F(x,y) = 0, но также парамет­ рически. Этот способ задания состоит в следующем.

Пусть функции х = ip(t) и 'ф ( 1 ) определены на некотором мно­ жестве Е, и пусть Ei — множество значений функции р. Предполо­ жим, что функция р обратима на множестве Е, и пусть t = р -1 (х) — обратная к ней функция. Тогда на множестве Е\ определена сложная функция у = ijj(p^1 (x)) = f(x), которую называют параметрически заданной формулами (уравнениями) х = p(t), у = ф{1 ).

Например, уравнения х = cos t, у = sin t, где t £ |о, , определяют параметрически заданную функцию у = f(x). В данном случае t = = arccosa:, у = sin(arccosa:) = V i — х2.

§10. Предел функции

1.Понятие предела. Важную роль в курсе математического анализа играет понятие предела, связанное с поведением функции в окрестности данной точки. Напомним, что ^-окрестностью точки а называется интервал длины 26 с центром в точке а, т. е. множество

Us (а) = {х: \х —а\ < 5} = {х: а ^ 5 < ж < а + 5}.

Если из этого интервала удалить точку а, то получим множество, которое называют проколотой 6-окрестностью точки а и обознача­

Из этого рисунка видно, что значе­ ния функции близки к 2, если значе­ ния ж близки к 1 (ж ф 1). Придадим этому утверждению точный смысл.

Пусть задано любое число г > 0 и требуется найти число S > 0 та­ кое, что для всех ж из проколотой й-окрестности точки ж = 1 значения функции /(ж) отличаются от чис­ ла 2 по абсолютной величине мень­ ше, чем на г.

Иначе говоря, нужно найти чис­ ло S > 0 такое, чтобы для всех ж Е Е Us (а) соответствующие точки графика функции у = /(ж) лежали в

горизонтальной полосе, ограниченной прямыми у = 2 —г и у = 2 + г (см. рис. 10.1), т. е. чтобы выполнялось условие /(ж) Е U£(2). В данном примере можно взять S = е.

В этом случае говорят, что функция /(ж) стремится к двум при ж, стремящемся к единице, а число 2 называют пределом функции /(ж)

циссы которых равны х\ = —г, Ж2 = \fe. Пусть S — наименьшее из чисел \xi\ и Ж2, т. е. S = m in ^ v ^ ). Тогда если |ж| < S и ж ф 0, то

G £4(1). В этом случае говорят, что функция f(x) стремится к еди­ нице при х, стремящемся к нулю, и пишут

lim f(x) = 1. ▲ я—>0

В первом примере функция не определена в точке х = 1, а во вто­ ром функция определена в точке х = 0, но значение функции в точке

а) Определение предела по Коши. Число А называется пределом функции f(x) в точке а, если эта функция определена в некоторой окрестности точки а, за исключением, быть может, самой точки а, и для каждого е > 0 найдется число 6 > 0 такое, что для всех х, удов­ летворяющих условию \х —а\ < 6, х ф а, выполняется неравенство |/(ж) —А\ < е. В этом случае пишут lim f(x) = А или f(x) А при

х—>а

х—Уа.

Спомощью логических символов это определение можно запи­ сать так:

Таким образом, число А есть предел функции / ( х) в точке а, если для любой е-окрестности числа А можно найти такую проко­ лотую 5-окрестность точки а, что для всех х, принадлежащих этой 5-окрестности, соответствующие значения функции содержатся в е-окрестности числа А.

З а м е ч а н и е 1. В определении предела ф ункции в точке а предполага­ ется, что а' ф а . Это требование связано с тем , что точка а мож ет не принад­ леж ать области определения функции. О тсутствие этого требования сдела­ ло бы невозможным использование предела для определения производной,

О тм етим еще, что число 5, фигурирую щ ее в определении предела, за­ висит, вообще говоря, от е, т. е. S = 5(e).

б) Определение предела по Гейне. Число А называется пределом функции f(x) в точке а, если эта функция определена в некоторой

проколотой окрестности точки а, т. е. 35о > 0: Us0(a) С D(f), и для любой последовательности {хп}, сходящейся к а и такой, что х п G

G Us0(а) Для всех п G А/, соответствующая последовательность значе­ ний функции { f (x n)} сходится к числу А.

76Гл. III. Предел и непрерывность функции

Пр и м е р 3. Пользуясь определением предела по Гейне, доказать, что функция

Рассмотрим произвольную последовательность {жп}, сходящуюся к

числу а и такую, что хп £ Us0(а) для всех п £ N. Согласно опреде­ лению предела последовательности для найденного в (1) числа S =

= 6(e) > 0 можно указать номер п$ такой, что Vn ^ п$ -A х п G Ug(a), откуда в силу условия (1) следует, что f ( x n) G Ue(A). Таким образом,

где Ne = ris(e), причем условие (2) выполняется для любой последо­

б) Докажем, что если число А есть предел функции f(x) в точке а по Гейне, то это же число является пределом функции / по Коши, т. е.

Согласно (3) в качестве 6 можно взять любое число из полуинтер­ вала (0,ф)]-Возьмем 6 = SQ /п , где п G А/, и обозначим хп = х(5о/п). Тогда в силу (3) для любого п G N выполняются неравенства

заключаем, что число А не может быть пределом последовательнос­ ти { f ( x n}}. Следовательно, число А не является пределом функции / в точке а по Гейне. Полученное противоречие доказывает, что должно выполняться утверждение (1). •

гично ф ормулируется определение предела по Гейне по множ еству Е. На­ пример, ф ункция Дирихле /, равная единице для любого х <ЕQ и равная

Ve > 0 ЗД > 0: Ух G (а —6, a) -A \f(x) — А\ | < е.