Учебники / Ter-Krikorov_Kurs_matematicheskogo_analiza_2015

§20. Исследование функций с помощью производных

191

П р и м е р 9. Построить график функции у =

X

(* + 1 )2-

х 2( х + 3)

(34)

(ж + 1)3 ’

У"

6ж

ог + 1 )4'

(35)

Пр и ме р

10. Построить график функции у =

\/х 3 + ж2.

Д Функция у(х) определена на /?,причем у <

0

при ж < —1, у > О

при ж > —1

(ж ф 0), у(—1) = 2/(0) = 0.Прямая

у

— ж + ^ — асимп­

тота графика этой функции при ж -+ —оо и ж —у +оо

(пример 8, в)).

Вычисляем производные:

у '= \ { ж + 1) 2/3ж 1/3(Зж + 2),

(36)

О

192

Гл. IV .

Производная и ее приложения

у" =

_ £ ( ж + 1 ) - 5 / З а,- 4 /3 _

(37)

=

lim

у'(х)

= +оо, Д ( 0) = +оо, f'_(0) = -оо.

X—У—1

Так

как

при переходе через 2точку х —

3 производная меняет

знак с плюса на минус, то х = —- — точка максимума функции у{х),

причем у(^~ ^

Аналогично, точка х = 0 — точка минимума

функции и 2/(0) = 0.

Из формулы (37) следует, что у" > 0 при х < —1 и у" < 0 при х > —1

(ж /

0). Поэтому функция у(х) является выпуклой вниз на интервале

При построении кривой, задан­

ной параметрически уравнениями

х = x(t), у = y(t), обычно разби­

вают ось t на интервалы, на каж­

дом из которых функции x(t)

и y(t)

монотонны. Иногда предваритель­

но

строят графики

функций

х

=

= x(t) и у = y(t).

Пр и ме р

11. Построить

кри-

вую X = t2+ 1

У =

(t + 5)2

Д

t

у'х

и

ухх,

применяя

Найдем

/

/ nj

\ /

1

формулы у'х = Ц ,

Ухх =

( у ± \

Xt

\x'tJt

x't

(§ 15, формула (29); § 16, формула (4)). Получим

(при t ф 0, t ф —1,

t ф - 2 )

х' = ^

~ 1

у1 =

(* + 5)(*~ 1)

’

(38)

*

t2

’

Vt

(t + 2)2

*■ '

,

=

*2(г + 5)

(39)

Ух

{t + 1 )(£ + 2)2

4*3(4t + 5)

(40)

Ухх

(i + 1 )3(* + 2)3(i —1 )'

§20. Исследование функций с помощью производных

193

1

X

У

У

У

(_ °°! —5)

00, -

26

(—оо,0)

+

(-5,-2 )

26

ОТ

О ДО

—00

2

75

41

ОТ

+00

+

2 ’

20

до --

4

• — , ^2

75 1«

Т ’ 16

20

( - 1,0)

-2 до —оо

1«

25

+

+

ОТ 16 до —

(0, 1 )

от +оо до 2

от

— до 12

+

25

9

(1 ,+оо)

(2, +оо)

(12, +оо)

+

+

Найдем асимптоты. Так

как у —Ь оо и ж —1

—-

при 1

-+ —2, то

х =

5

„

„

,

п

25

— асимптота кривой. Исли

1 —1 О, т ож—1 о о и у —1 — , поэтому

25

прямая у = — — горизонтальная асимптота кривой.

Пусть t -+ оо, тогда ж -+ оо, у -+ оо. Выясним, имеет ли кривая

наклонную асимптоту, пользуясь теоремой 12. Так как

lim

= 1,

(1 + 5)2

Г + 1

t —^оо х (t )

lim (y(t) —ж(1)) =

lim

=

..

81

+ 241 + 2

0

1

i i m -------;-------——

=

8 , t o

t —¥ОО

t —¥ ОО 1 + 2

t—>oo

l(l +

2)

фиком функции у = 2/2(ж), выпуклой вниз при 1 6 ^ -

2, —-J

и вы­

*

/"

5

^\

*

/"

—

41

75

пуклои вверх при t €

I

—- , —1 J;

точка этого графика

I

соответствующая значению 1

5

= —

есть точка перегиба; при 1 = —1

194

Гл. IV . Производная и ее приложения

единичные векторы координатных осей, то

r(t) = x(t)i + y(t)j +

t& E ,

§21. Вектор-функции

195

двумерной.

В случае когда начало каждого из векторов г (t)

совпадает с нача­

б)

Предел вектор-функции. Вектор

а называют пределом вектор-функции

г (t) в точке to и пишут lim г (t)

= а

t —yto

или г (t) —Уа при t —Уto, если

lim \r(t) —а| = 0,

(1 )

t yto

т. е. длина вектора г (t) —а стремится

к нулю при t —Уto-

1. Если заданы г (t)

=

(x(t),y(t),z(t)) и а

=

У т в е р ж д е н и е

= (аь а2,а 3), то

lim r(t) = а

(2)

t^to

тогда и только тогда, когда

x(t) —У а \,

y(t) —У a2,

z ( t ) —У аз

при t —yto-

(3)

О В самом деле, из равенства

\r(t)

- а| =

л /(x(t) - ai)2 + (y(t)

-

a2)2 + (гД) - a3)2

(4)

следует, что

И О -

a iK

lr(i) -

а|,

|у(0 - а2\^ |r(i)

-

а|,

\z{t) - a3| ^ \r{t) -

а|.

ct(t) —У 0

при

t —У

to-

в) Свойства пределов вектор-функций.

Св о йс т в о 1. Если lim r(t) = а,

то

lim |r(t)| = |а|.

t —yt о

t —yt о

О Это свойство следует из неравенства

||г(*)| - |а||

^ |г(£)-а|. •

С в о

й с т в о 2. Если г(t) —1 а

при t —¥ to, а скалярная функция f ( t )

такова,

что f ( t ) —1 А

при t —¥ to, то f(t)r(t) —1 Аа

при t —¥ to, т. е.

hm

f(t)r (t)=

И т/(* )

Шпг(*).

(5)

t —¥to

t —¥t о

t —¥t о

Поэтому f(t)r(t)

= Aa + j(t), где 7 (t) = Aa(t) + f3(t)a + f3(t)a(t)

—

бесконечно малая вектор-функция при t —1 to, откуда получаем ра­

венство (5). •

Если Ti(t) —1 ai, r2 (t) —1 a2 при

t —1 to,

mo

Св о й с т в о

3.

ri +

+ Г2 ->■ a i + a 2, (ri,r2) ->■ (ai,a2),

[ ^ ^ 2]->■ [ai,a2]

при / —>/0.

т .

e.

lim (n(£) + r2 (t)) =

lim n(£) + lim r 2 (t),

(6)

t —¥to

t —¥to

t —¥to

lim (r i (*),r2(*)) =

( lim n (t)

lim r 2(t)),

(7)

t —¥t 0

t —¥to

t —¥t 0

lim [r! (t), r 2(t)] =

[ lim r ! (t), lim r2(t)].

8

t —¥to

t —¥to

t —¥to

()

ОПо условию Ti(t)

= а* + on(t),

где on(t)

—¥ 0 при t —¥ to

(i = 1,2).

Поэтому i-| (/) + r2 (t) =ai + a2 + /3(t),

где (3(t) =rii (/) + a 2 (t) —1

0

при t —1 to, откуда следует (6). Докажем формулу (7). В силу свойств

скалярного произведения

(ri(£),r2(£)) - (аь а2) = (ai(£ ),a2) +

(a 2 (t), ai) + (ai(£ ),a 2(£)),

причем в правой части этого равенства — бесконечно малая функ­

ция, так как ai(t), a 2 (t) — бесконечно малые вектор-функции

и

|(p,q)|

<1 |р| • |q| для любых векторов р и q.

Аналогично доказывается формула (8), в этом случае следует вос­

пользоваться неравенством )[р,q]) ^

|р| • |q|. •

г)

Непрерывность вектор-функции. Вектор-функцию г (t) называ­

ют непрерывной при t = to, если

lim г(t) =

r(t0).

(9)

t—>tО

Непрерывность вектор-функции r(t)

= (x(t),y(t), z(t))

при t = to в

силу эквивалентности условий (2) и (3) означает, что ее координа­

ты x(t), y(t), z(t) непрерывны в точке to-

Назовем вектор-функцию Ar =

г (to + At) — г (to)

приращением

вектор-функции г(t) в точке to- Тогда условие (9) означает, что

Аг —1 0 при

At —1 0.

(10)

§21. Вектор-функции

197

r ,

=

r(to + A t ) - r ( t0)

(п )

7 и7

Д1—s-о

At

к 7

Аналогично вводится понятие второй производной

„(

) =

г'(to + A t) - г ' (to)

v

7

At^O

At

г'(to) = (х1(to), у'(to), z'(to)).

(12)

рования вектор-функций:

(ri + г2)' = г) + т'2,

(13)

(/г)'

= f'r + fr',

(14)

(ri,r2)' =

(г(,г2) +

(ri,4 ),

(15)

[ri,r2]' =

[г(,г2] +

[гь 4 ].

(16)

(г

г У = lim

(ri(t + At)’r2(t + At)) ~ (nfflTaffl) =

1 ь

27

At—>0

At

Ду -

= (гь г2) + (ГД Г2),

так как

1 г'(Д

при A t —¥ 0 (г = 1,2) и Аг2 —1 0 при At —>0. •