Учебники / Ter-Krikorov_Kurs_matematicheskogo_analiza_2015

ченной на (0, 1 ), но не являющейся равномерно непрерывной на этом ин­ тервале.

Т е о р е м а 4 (Кантора). Функция f(x), непрерывная на компакте метрического пространства, равномерно непрерывна на этом ком­ пакте.

О Пусть функция f(x) непрерывна на компакте М, но не равномерно непрерывна на этом компакте. Тогда Зец > 0 такое, что Vn найдутся точки хп, х'п G М такие, что

Так как М — компакт, то из последовательности {хп} можно вы­ делить подпоследовательность {хПк}, сходящуюся к некоторой точке

х° G М.

Используя неравенство треугольника, получаем

Переходя в неравенстве (6) к пределу, получаем

О = |/(ж°) - /(ж°)| > е0 > 0.

Полученное противоречие доказывает, что функция /(ж) должна быть равномерно непрерывной на множестве М. •

Пусть функция /(ж) ограничена на множестве Е. Выражение

ти точки х° € Rn, функция f(x) дифференцируема в точке х° и f(x°) = О, а функция <р(х) непрерывна в точке х°. Доказать, что функция f(x)ip(x) дифференцируема в точке х°.

Упражнение 2. Доказать, что функция

(х + у)(х3 + у3)1/3

дифференцируема в точке (0,0).

Указание. Воспользоваться результатом упр. 1. Пр и м е р 1. Показать, что функция

/(ж,у) = у/ж3 + у4

дифференцируема в точке (0, 0).

А Покажем, что существует число С > 0 такое, что для любых ж € R и у € R справедливо неравенство

Если у = 0, то неравенство (4) справедливо при любом С. Пусть уф 0. Положим t = х у-4/3. Тогда неравенство (4) эквивалентно нера­

венству \фф)\ < С, где = у/ 1 + t3 —t.

Так как функция 'tp(t) непрерывна на Я и 'tp(t) -А 0 при t оо, то ip(t) есть ограниченная функция на R (см. упр. 4 к гл. III).

Итак, неравенство (4) установлено. Так как

_ м > / » _ м _ < ь г .

т.е. функция /(ж ,у) дифференцируема в точке (0, 0). ▲ Пр и м е р 2. Показать, что функция

/(ж, у) = у/ж3 + у 3

недифференцируема в точке (0, 0).

А Первый способ. Пусть функция дифференцируема в точке (0,0), тогда, согласно определению, существуют числа А и В такие, что

Пусть ж = у > 0, тогда

л/2х = 2 х + о(х)

или ()/2 —2)х = о(х) при х —У0, что противоречит определению сим­

вола о(ж). Следовательно, функция у/ж3 + у3 недифференцируема в точке (0, 0).

Второй способ. Если функция /(ж, у) дифференцируема в точ­ ке (0, 0), то ее можно в некоторой окрестности этой точки, соглас­ но теореме 1 , представить в следующем виде:

где функции (р(х,у) и 'ф(х,у) непрерывны в точке (0, 0).

Пусть к — произвольное число. Положим в (5) у = кх. Тогда

\ / l + к3 = ip(x, кх) + кф(х, кх).

Переходя к пределу при ж- 40 и пользуясь непрерывностью функций (р(ж, у) и ф(ж, у) в точке (0, 0), получаем, что при любом к выполняется равенство

у/ l + к3 = <р(0,0) + кф(0, 0) = а + kb.

Это неверно, так как функция / l + к3 не есть линейная функция (ее вторая производная по к не обращается тождественно в нуль). ▲ Из теоремы 1 следует, что функция /(ж), дифференцируемая в точке ж0, непрерывна в этой точке. Обратное утверждение неверно: функция примера 2 непрерывна, но недифференцируема в точке (0, 0).

О Пусть функция /(ж) дифференцируема в точке ж0. Тогда найдутся такие числа A i, ..., Ап, что при ж —^ ж0 будет выполнено равенство (1). Пусть в этом равенстве х± ф х®, а Ж2 = ж§, ..., хп = ж®. Тогда ра­ венство (1 ) принимает следующий вид:

/(жь ж§,...,ж°) -/(ж ?,...,ж °) = А /х г - ж?) +о(|Дж 1 |)

при х\ —х® = Л.Г| 0.

Следовательно, существует предел:

Аналогично,

f(x°,y,z) - f(x°,y°,z) = f 2(x,y,z)(y - У0),

f(x°,y°,z) - f(x°,y0,z°) = f 3(x,y,z)(z - z°),

непрерывны в точке (ж°,y°,z°). Таким образом,

/(ж, у,г) - f(x°,y°,z°) =

= (ж - x°)fi(x,y, z) + (у - y ° ) f 2(x,y,z) + ( z - z0)f3(x,y,z).

Из непрерывности функций fi(x,y,z), f 2(x,y,z ) и / 3(ж,у, z) в точ­ ке (ж°,y0,z°) и теоремы 1 следует дифференцируемость функции /(ж, у,г) в точке (ж°,y°,z°). •

Непрерывность частных производных в точке не является необ­ ходимым условием дифференцируемости функции в этой точке.

248 Гл. V. Функции многих переменных

не имеет предела при (х , у) (0, 0) и, следовательно, не является непрерывной функцией в точке (0,0). Чтобы в этом убедиться, дос-

i=i

О Так как функция f(y) дифференцируема в точке у0, то в силу теоремы 1 найдутся функции f j ( y ) , j = 1, то, непрерывные в точке

У° = {у%-;Ут) и такие, что

т

Воспользовавшись тем, что дифференцируемая в точке функция непрерывна в этой точке, а также теоремой о непрерывности сложной функции, получаем, что функции

непрерывны в точке х°, причем

Подставив в (10) yi = ipi(x), ..., ут = (рт(х) и воспользовавшись обозначениями (1 1), получаем

3=1

Но функции (flj(x), j = 1, то, дифференцируемы в точке х°, поэтому найдутся такие непрерывные в точке х° функции <ру(ж), что

Подставляя выражения (14) в (13), получаем

Так как функции ipj(x) и Pij(x) непрерывны в точке х°, то и функции ФДж) непрерывны в точке х°. А это означает, что сложная функция Ф(ж) дифференцируема в точке х° (теорема 1 ).

Дифференцируемая функция Ф(ж) может быть записана в виде (9) с коэффициентами Ai, равными, в силу (12) и (14),

З а м е ч а н и е . Вторая из формул (9) дает правило нахождения частных производных сложной функции, аналогичное соответствующему правилу для функций одной переменной.