Учебники / Ter-Krikorov_Kurs_matematicheskogo_analiza_2015

5) (sin ж)' =

cos ж,

ж е R.

6) (cos ж)' =

—sin ж,

ж € R.

7) (tgx)' =

1

Ж

7Г

п

е Z.

---

5—,

Ф —+ Жп ,

c o s - ж

2

8) (й^ж)' = ----- — ,

ж ф ж п,

п

е Z.

s in - ж

9) (arcsin ж)' =

VI —ж2, |ж| <

1.

10) (агссовж)' = —

, |ж| < 1 .

1 1) ( arctg ж)' =

VI — ж2

г, ж е R.

1 + ж-

1 2) (ага^ ж )' =

1 +

ж е R.

13) (вЬж)'

х 1

= сЬж, ж

е R.

14) (сЬж)'

= вЬж, ж

е R.

15) (йж)' =

А

, ж е R.

с п 2ж

16) ( cthж)' =

— А - » ж ф 0.

в п 2ж

— дифференцируемая в точке ж

Пр и м е р 5. Доказать, что если

функция и ifi(x) ф 0, то

(Ь |Ф ) |) '

=

^ .

(27)

Пр име р

6. Найти /'(ж), если функция /(ж) задана следующей

формулой:

2 в т 2ж;

а)

/(ж) =

б)

/(ж) = (Г'1-2 1п(1 + ж3);

arcsin(cosж)

0 ^ ж < 1 ;

в) /(ж) = —А1 , Х с,

г) /(ж) = arctg ~ Г Т 2tg 3 sh4а^ .

А а)

/ '( ж) =

(вт2ж)' = 2сов2ж;

б)

/'(ж) =

^ 2же-ж2 1п(1 + ж3) + еГ*2- ^ - ^ ;

1 + X s

A

arcsin(cos ж) —Vl —ж2 , 1 ---- (—этж)

В)

=

=

(аГСвиДсОвЖ))-

§15. Правила дифференцирования

141

г)

/'(ж)

=

--------- ---------_ _

^

o t g 3(sh4a;)

7

W

1 + / ^ j V (« + 1 )2

\х + I,

+ a r c , g ^ 2 « ’<-h‘*'3 l„ 2 .6 »(sh4 x 1 ^

^

=

=

nte3(sh4x1 (

1

,

121n2tg2(sh4*) сЬ4ж

,

х —1

2

s ^sh4j:)

——

+

---------69; . , (

arctg ——-

V1 + ® 2

cos2( sh 4x)

x + 1

Пр име р

7. Найти производную показательно-степенной функ­

ции г = u{x)v^

, где и, v — функции, дифференцируемые в точке х,

причем «(ж) > 0.

г1

и1

(

In z = v(x) In «(ж), получаем — = и' In и + v —, откуда г' =

z{ v' lnu +

vu'\

Z

и

\

I

или

H

U /

(28)

(uv)' = uv lnu • v' + vuv~1 u'. ▲

f(~x)

= f(x),

х £ (—а,а).

Дифференцируя это тождество, получаем

- f ( - x )

= /'(ж),

ж е

(-а ,а ).

142

Гл. IV . Производная и ее приложения

3.

Дифференцирование параметрически заданных и неяв­

ных функций.

а)

Функции, заданные параметрически. Пусть функции x(t) и y(t)

в точке Хо = x(to), причем

^/1 m

=

m4' -

(29)

(-t’.X1

«X1£

dy

— v' -

v't'

dx

"t xi

Итак, справедлива формула (29). •

Пр име р

10. Найти ^4, если

ах

+ е

),

у = arctge

х = 1п(1

,2

*\

А Так как

х( =

2еп

5т, y't

е*

5т, то

по формуле (29) находим

-----

=-------

1 + е

'

1 + е

dy _

У± _

е*

1

+ e2t

dy _

dx

x't

1 + e2t

2e2t ’

' '

dx

2 '

4 + 4 =

1

(зо)

а2

Ъ2

в некоторой его точке Мо(хо,Уо), где |жц| < а.

(—а, а) одну из

А Точка Мо однозначно определяет

на интервале

§16. Производные и дифференциалы высш их порядков

143

Дифференцируятождество

(30),в

котором у = /(ж),получаем

Ч

+ ^‘

/

= 0.

(31)

а1

¥

1

и

\

Ь2 х о

« = У (х о) = — т — •

а2 уо

Следовательно, уравнение касательной имеет вид

у -

Уо = к(х -

х0),

или

у - уо =

—(х - х0).

а-

уо

~

УУ() ,

ХХо

Vn

,

Это уравнениеможно

записать так: ^ —Н

—= тт Н— или в виде

УУо .

ххо

,

x i y

l

b

а2

Ъ

а1

=

1 . А

Н

Т- =

1 , так как

а2

¥

¥

а2

ют /"(жо), /( 2Цхо),

f хх(хо)• Таким образом, по определению

/"(*„) =

иш

+

J х J

д * - ю

Аж

/ (0)(ж) = /(ж).

Пр и м е р 1.

Найти /"(ж), если:

а) /(ж) = sin2 ж;

б) /(ж) =

е- ®2;

в) /(ж) = 1п(ж + л/х2 + 1 );

г) /(ж) = |ж|3.

А а) Так как

/'(ж) = 2 sin ж cos ж = sin 2ж,

то /"(ж) = 2сов2ж.

б) /'(ж) = - 2 х е ^ х2,'

/"( ж)

=

^ 2 e - ®2 +

( - 2 х ) 2е ^ х'2 = 2 е ^ х'2(2 х2 -

1).

в) Так как

/'(ж) =

1

. то

/"(ж) =

—ж(ж2 + I)-3/2.

г) Если ж ф 0, то

л / х 2 + 1

»/ /

\

Г

Зж2

при

ж

> 0,

/

W

(ж) = |

^Зж2

при

ж

< 0,

144

Гл. IV . Производная и ее приложения

а если ж = 0, то по определению производной

/ '( 0) = lim

~

=

lim

= 0.

(2)

ж-Ю

X

ж-Ю

X

Следовательно,

/'(ж)

= 3a;2signa;.

(3)

Из равенства (1) следует, что

f i ( x \ = /

6ж

при

ж > 0,

/" ( 0) = Ит

/ '( * ) - /'(°) = lim

=

ж-»О

X

ж-» О

X

Таким образом, /"(ж) =

6|ж|, т. е.

(|ж|)3)" =

6|ж|. ▲

скорость точки в момент времени t.

Av

S'(t + At) - S'(t)

л „

среднее

Отношение — = — ----- --------- —

представляет собой

V* * = {ьf ) \ bь

(4)

или

„ п _

Уих ь ~ Угх и

/ кл

_

(ж^)3

'

§16. Производные и дифференциалы

высш их порядков

145

где у'х = Щ-

(§ 15, (29)),

t'x =

откуда следует формула (4), которую

можно представить в виде (5). •

1

7Г

Пр име р 2.

Найти

у " ,

если х

0 < t

<

= ----- , у = tg t — t,

—.

л

m

,

sin t

,

1

cos t

i

Vt

■

2

sin21

у'

=

,

А

1ак как

xt

= — т—,

ul = — г-----1 =

— т—, то

- j =

sm t,

’

*

cos t

cos t

cos

t

Jx

x't

и по формуле (4) получаем

1

,,

,

cos31

▲

y~~ =

cos t

—r = —— .

xt

sint

w"(xQ) = z ”y(y'x )2 + z'yyxx,'

(6)

О Заметим

сначала, что в некоторой

окрестности точки XQ опре­

делена сложная функция w = z(y(x)),

так как функции у(х) и z(y)

непрерывны

соответственно в точках

XQ и уд, причем уд = у(хо).

ляемая уравнением

9

9

•г

^

1.

а 2

Ь2

А В § 15 (пример 11) было показано, что

I

Ь2х

._ч

Ух

=

агу

V )

х

Ь2

Ь2х

Дифференцируя тождество (7) по х, получаем ухх

= — -— I— — у'х,

а~у

&~У~

д и м

„

Ь4

У'хх =

А

146

Гл. IV .

Производная

и ее приложения

Пусть функция

/(ж)

имеет на

интервале (а, Ь) производные

Г ( Х ) , ..., /С""1) (ж).

Если в точке х £ (а,Ъ) существует производная

функции f in- ^(x),

то эту производную называют производной п-го

Т 6

/(»>(*) =

Нш

/ (^ 1)(^ + А ж ) ^ / (" - 1)(ж)^

J х ’

д*-ю

А х

порядка. Тогда функция

A f ( x ) + Вд(х),

где А и В — постоянные,

также имеет производную те-го порядка в точке х, причем

(Af(x) + Вд(х)){п) = A f {n) (ж) + Вд{п) (ж).

(8)

При вычислении производных любого порядка часто используют

следующие основные формулы.

1)

(ха){п) = а ( а ^ 1 ) . . . ( а ^ ( п ^ 1 ) ) х а- п.

(9)

В частности, если а = тег, где тег £ N, то

ж

(

n

) f m!

при

те =

тег,

’

'

’

1 0

при

те >

тег.

'

2)

{ах){п) = а х \пп а,

а >0,

а ф 1 .

(1 1)

В частности,

{ех){п) = ех.

(1 2)

3)

( 1У " * -

(^ 1 Г " !

(13)

'

\ж + а /

(ж +

а ) п+1 ’

1

'

4)

(1п|ж + а|)(") =

(х + а)п

(14)

;

i

l

l

/

к

J

5)

(ш ж )1" 1= sin (ж + те-

(15)

(совж)^ = cos ^ж + те •

.

(16)

§16. Производные и дифференциалы высш их порядков

147

(sinа х )

= a ” sin (ах

7Г '

П ' 9,

(17)

(cos аж) ^

= а ” cos [ах ■ п '

2 ,

Пр и м е р 4. Найти /^ (ж ), если:

a)

f(x) = sin3 х;

б) f(x) =

А

а)

Из равенства

sin3 х

х 2 —Зх + 2

следует,

что

sin3 х =

= 3 sin х —4 sin3 х

=

3

1

- si nx —-sin3x. Применяя формулы (8) и (17), получаем

, . 3

Ч(п )

3

. /

,

7Г\

3 ” ■

/ о

,

(sm

жу 1

= -

sm I x + те

■—J

— — sm I Ax + n ■—J.

б) Так как ——

------- =

—----------— , то, применяя формулу (13),

получаем

ж2 — Зж + 2 ж — 2 ж — 1

( ____ 1

V ") = ( -l)" n !(r___ -__________ -

V

▲

Vх" — З.г — 2 /

ч(ж —2)”+1

(ж — 1)п +1)

в)

Формула Лейбница.

Те оре ма .

Если

функции и

и v

имеют

в

точке

х

производ­

ные п-го порядка, то функция uv также имеет

в точке х произ­

водную п-го порядка, причем

... + C

£

-

+ u{n)v, (18)

,

n(n —l)...(n —(k —1 ))

,

. , .

где

C„ = —------------ — ------- —,

1

< k < n.

n

kl

Формулу (18) называют формулой Лейбница и записывают в виде

П

(uv)in) = Y

CnU{k)v{n- k),

(19)

k = О

где и(°) = и, i/°) = v, С® = 1 .

О

Докажем формулу (18) методом индукции. При ri = 1 эта формула

верна, так как

(uv)' = uv1 + vu'.

Пусть

формула Лейбница верна для

производной

те-го порядка.

(u (k)v ( n - k ) y = u (k+l)v (n-k) +

u (k)v (n+l-k) ^

получаем

п

п

(uv){n+1) = Y

Cknuik+1 )vin- k) + Y

Cknuik)vin+1- k).

(20)

k= 0

k= 0

П

П

C£_1 u(fc)vin+1- k\

Y Cku{k+1 )vin- k) = uin+1)v + Y

k=0

к= 1

П

П

Y

Cl u(k)v(n+1- k) = u(n+1) + Y

Cl u(k)v(n+1- k).

k=0

k= 1

Следовательно,

n

П + 1

(■uv)in+1) = Y

Cn+lu{k)v{n+1~k) ’

k=0

т. e. формула Лейбница справедлива для производных

(те + 1)-го по­

рядка. •

Пр и м е р 5. Найти f ( n\ x ) при те > 2, если:

а) f(x) = (х —I )2 sin х sin(a: —1 );

б) f(x)

= (1 —2ж2) 1п(1 —Зх)3.

А а) Так

как sina: sin(a: —1) =

-(cosl —cos(2a: —1)),

то, применяя

((ж-

1 )2) « = 0

при к > 2, получаем (при те > 2)

/(») (ж) = _ (ж -

1 )22” - 1 cos ( 2х - 1 +

- те(ж -

1 )2^

х

х cos ( 2х -

1 + iH zIlA )

_ п [п _ i) 2 » - 3cos ( 2а: -

1 + С71" 2)71-) .

б)

Применяя формулы (18) и (14), получаем (те > 2)

Ап),

ч /02

-Г

з”+1(п —1)!

+

/' '(.т) = (2.т

, ,

3”(п —2)!

,

лч3”_1(п —3)!

+ 4жте -—-—

+ 2те те —1

---- -—г— V- А

(1 - Зж)” -1

v

; (1 -

Зж)«-2