- •2. Двойные интегралы в полярной системе координат.
- •3. Тройные интегралы, их свойства и вычисление в декартовых координатах.
- •4. Тройной интеграл в цилиндрической и сферической системах координат.
- •5. Приложения двойных и тройных интегралов.
- •6. Определение криволинейного интеграла 1-го рода, свойства, вычисление, применение.
- •7. Определение криволинейных интегралов 2-го рода, свойства, вычисление, применение.
- •8. Формула Грина.
- •9. Числовые ряды. Сходимость ряда и его сумма.
- •10. Необходимый признак сходимости. Гармонический ряд.
- •11. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами: Даламбера, Коши, интегральный признак Коши, признаки сравнения.
- •12. Ряд Дирихле и его сходимость.
- •13. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
- •14. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость.
- •15. Функциональные ряды. Основные понятия. Область сходимости.
- •16. Степенные ряды. Радиус и интервал сходимости. Теорема Абеля.
- •17. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена.
- •18. Применение степенных рядов к приближенным вычислениям.
- •19. Элементы комбинаторики.
- •20. Основные понятия теории вероятностей.
- •21. Пространство элементарных событий. Алгебра событий.
- •22. Классическое и статистическое определение вероятности и ее свойства.
- •23. Теоремы сложения вероятностей.
- •24. Условная вероятность. Теоремы умножения вероятностей.
- •25. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
- •26. Схема испытаний Бернулли. Формула Бернулли.
- •27. Предельные теоремы в схеме Бернулли: Пуассона, Муавра-Лапласа.
- •28. Наивероятнейшее число появлений события при повторных испытаниях по схеме Бернулли.
- •29. Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях.
- •30. Дискретные случайные величины и законы их распределения.
- •31. Непрерывные случайные величины и законы их распределения.
- •32. Функция распределения вероятностей св и ее свойства.
- •33. Дифференциальная функция распределения непрерывной св (плотность распределения св) и ее свойства.
- •34. Математическое ожидание св и ее свойства.
- •35. Дисперсия св и ее свойства. Среднее квадратическое отклонение.
- •36. Биномиальное распределение и его числовые характеристики.
- •37. Равномерное и показательное распределения, их числовые характеристики.
- •38. Нормальное распределение и его числовые характеристики.
31. Непрерывные случайные величины и законы их распределения.
СВ, возможные значения которых заполняют целый конечный или бесконечный промежуток оси Ох – непрерывные СВ. .
32. Функция распределения вероятностей св и ее свойства.
Функция распределения – вероятность того, что СВ Х примет значение, меньшее, чем заданное х, т.е. F(x)=P(X<x). Свойства – 1) F(x) – вероятность, значит ; 2) Для любых х1 и х2 ϵ R, связанных соотношением x1<x2, F(x1)F(x2), т.е. F(x) – неубывающая функция; 3) Имеет место равенство ; 4) F(x) всегда непрерывна слева, т.е. ; 5), .
33. Дифференциальная функция распределения непрерывной св (плотность распределения св) и ее свойства.
НСВ можно задать функцией, которую называют плотностью вероятностей или дифференциальной функцией распределения – функция f(x)=F’(X). Свойства – 1) , F(X) неубывающая, значит ; 2) . Геометрически, вероятность f(x)=F’(X) = площади заштрихованной криволинейной трапеции.
3) Если f(x) – плотность вероятностей СВ Х, то ; 4) Имеет место соотношение – условие нормировки. График плотности распределения – кривая распределения – 1) Всегда лежит в верхней координатной полуплоскости; 2) Площадь, заключенная между этой кривой и осью Ох=1
34. Математическое ожидание св и ее свойства.
Математическое ожидание (среднее значение) ДСВ – сумма всех произведений, значений СВ на соответствующие им вероятности, . Свойства – 1) М(Х) постоянной величины = самой постоянной, т.е. М(С)=С, С=const; 2) Постоянный множитель можно выносить за знак МО, т.е. M(kX)=kM(X), k=const; 3) М(Х) алгебраической суммы конечного числа СВ = алгебраической сумме их М(Х), т.е. ; 4) М(Х) произведения независимых СВ = произведению их М(Х), т.е. M(XY)=M(X)M(Y); 5) М(Х) отклонения СВ от ее М(Х) всегда =0, т.е. М(Х-М(Х))=0. МО СВ характеризует ее в среднем, центр ее распределения 2-ая отличительная особенность СВ – степень разброса значений этой величины по отношению к ее центру.
35. Дисперсия св и ее свойства. Среднее квадратическое отклонение.
Дисперсия – оценка разброса, МО квадрата отклонения СВ от ее МО, т.е. . Если ДСВ Х, то . Дисперсия обладает тем недостатком, что ее размерность не совпадает с размерностью СВ, поэтому вводится еще и среднее квадратическое отклонение . Свойства дисперсии – 1) Дисперсия постоянно величины всегда =0, т.е. D(C)=0, C=const. Действительно, ; 2) Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, но сначала возведя в квадрат, т.е. ; 3) Дисперсия алгебраической суммы 2-х независимых СВ = сумме их дисперсий, т.е. ; 4) Дисперсия СВ = разности между МО квадрата СВ и квадратом ее МО т.е. .
36. Биномиальное распределение и его числовые характеристики.
Биномиальным называют распределение вероятностей, определяемое формулой Бернулли. Закон назван биномиальным потому, что правая часть равенства – общий член разложения бинома Ньютона – … Первый член разложения pn определяет вероятность наступления события n раз в n независимых опытах, 2-ой член npn-1q определяет вероятность наступления события (n-1) раз, … , qn – последний член определяет вероятность того, что событие не появится ни разу.
Теорема – МО биномиального распределения с параметрами n и р = произведению np, т.е. M(X)=np. Теорема – Дисперсия биномиального распределения с параметрами n и p = произведению npq, т.е. D(X)=npq.