26. Схема испытаний Бернулли. Формула Бернулли.

Последовательные опыты независимые, если вероятность осуществления любого исхода в каждом n-ом опыте не зависит от реализации исходов предыдущих испытаний. Серию независимых испытаний с одной и той же вероятностью успеха р=Р(А) называют испытаниями или схемой Бернулли. Формула Бернулли – . Вероятность того, что при n испытаниях событие А наступит m раз, значит не появится (n-m) раз.

27. Предельные теоремы в схеме Бернулли: Пуассона, Муавра-Лапласа.

Формула Бернулли при больших n приводит к сложным вычислениям. Теорема (Пуассона, при большом n и очень маленьком р) – Пусть вероятность события А при каждом испытании в серии из n независимых опытов = – постоянная независящая от n, значит вероятность P_n(m) при и фиксированном m стремится к . Теорема (локальная теорема Муавра-Лапласа при больших n) – Пусть вероятность события А в n независимых опытах = p (0<p<1), то P_n(m) того, что в этих опытах событие А наступит m раз удовлетворяет при соотношению . Или же при достаточно больших n и если р не слишком близка к 0 или 1, имеем . Теорема (интегральная теорема Муавра-Лапласа при больших n) – Пусть m – числа наступлений события А в серии из n независимых испытаний, р – вероятность наступления события А при каждом опыте (0<p<1), значит того, что в этих опытах событие А появится не менее m₁ и не более m₂ раз удовлетворяет при соотношению . Или же .

28. Наивероятнейшее число появлений события при повторных испытаниях по схеме Бернулли.

При некотором числе m₀ вероятность P_n(m), как функция целочисленного аргумента m, достигает своего наибольшего значения. m₀ – наивероятнейшее число появления события А в серии из n испытаний и удовлетворяет неравенству .

29. Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях.

Пусть n – число опытов, р – вероятность появления события А в каждом опыте, – относительная частота появления события А. Найдем вероятность ) того, что отклонение относительной частоты от постоянной вероятности не превосходит ε.. Из интегральной формулы следует, что . X₂ – искомая вероятность.

30. Дискретные случайные величины и законы их распределения.

СВ – величина, которая в результате опыта со случайным исходом принимает то или иное значение. Закон распределения – любое правило, устанавливающее связь между возможными значениями СВ и их вероятностями. CВ называется дискретной, если возможные значения могут быть перечислены, т.е. пронумерованы одно за другим, или же если множество значений конечно или счетно. Простейшая форму закона распределения ДСВ – ряд распределения, таблица, в верхней строке которой перечислены все значения СВ в порядке возрастания, а в нижней – соответствующие вероятности. Сумма всех вероятностей =1. Функция распределения ДСВ по Х есть неразрывная ступенчатая функция, скачки которой соответствуют возможным значениям х_n СВ Х и равны вероятностям этих значений.

Закон распределения Пуассона вероятностей массовых (n велико) и редких (p<0,1) событий – . МО закона распределения Пуассона P_k=P(X=k) – .