12. Ряд Дирихле и его сходимость.

Ряд Дирихле (обобщенный гармонический) – . Если , то – ряд расходится по необходимому признаку сходимости. Если , то по интегральному признаку Коши получаем, что при ряд Дирихле сходится, и расходится, при .

13. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.

. Теорема (признак Лейбница) – Если абсолютные величины членов знакочередующегося ряда монотонно убывают, т.е. , и общий член ряда стремится к 0, т.е. , то ряд сходится (.

14. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость.

(числа могут быть как >, так и <0, расположение знаков произвольно). – ряд из абсолютных величин. Теорема (достаточный признак сходимости) – Если сходится ряд из абсолютных величин, то сходится и знакопеременный ряд. Но, например, ряд по признаку Лейбница сходится, а ряд из абсолютных величин его членов, т.е. гармонический, расходится. Все сходящиеся ряды делятся на абсолютно и условно сходящиеся. Абсолютно – сходящиеся ряды, для которых ряды, составленные из модулей их членов также сходятся. Условно – сходящиеся ряды, для которых ряды, составленные из модулей их членов расходятся.

15. Функциональные ряды. Основные понятия. Область сходимости.

(U_n(x) – функции, определенные в некоторой области изменения аргумента х). Если вместо х положить х₀ из области U_n(x), то получим числовой ряд (может и сходится, и расходится). Если он сходится, то x₀ – точка сходимости функционального ряда, если же расходится, то x₀ – точка расходимости. Область сходимости – совокупность всех точек сходимости. Частичная сумма S_n(x) – функция переменной х, определенная в области сходимости. Если ряд сходится и имеет сумму S(x), то разность S(x)–S_n(x) – n-ый остаток (r_n(x)), причем . .

РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИЕСЯ ФР И ИХ СВОЙСТВА?!?!?!

16. Степенные ряды. Радиус и интервал сходимости. Теорема Абеля.

(c_n – коэффициент степенного ряда). Степенной ряд всегда сходится, по крайней мере в х=0 и х=х₀ соответственно. Теорема Абеля – Пусть степенной ряд сходится в точке , тогда он сходится абсолютно в любой точке х, удовлетворяющей неравенству и сходится равномерно в области Если же ряд расходится в некоторой точке x₁, то он расходится и во всех точках х таких, что . Теорема Абеля геометрически утверждает, что если x₀ – точка сходимости, то во всех точках на интервале ряд сходится абсолютно, а если x₁ – точка расходимости, то во всех точках вне интервала ряд расходится.

Если степенной ряд сходится не при всех значениях х, то существует число R>0 такое, что ряд абсолютно сходится при |x|<R и расходится при |x|>R. Интервал (-R; R) – интервал сходимости степенного ряда, где R – радиус. Любой степенной ряд имеет свой радиус сходимости и при ряд может либо сходится, либо расходится. Для отыскания радиуса, используют признак Коши ( – формула Коши-Адамара) или Даламбера (), при этом, если L=0, то ряд сходится на всей числовой прямой.

СВОЙСТВА?!?!?

17. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена.

Пусть f(x) в некоторой окрестности точки x₀ имеет производные всех порядков. Ряд Тэйлора функции f(x) в точке x₀ – . Если же х₀=0, то имеем ряд Маклорена – . Ряд Тейлора, составленный для f(x), может расходится или сходится, но не к f(x). Если же ряд сходится к f(x), то справедливо , где r_n – остаток ряда. Для сходимости ряда Тейлора к f(x) необходимо и достаточно выполнение условия . Остаточный член в форме Лагранжа . Теорема – Если производные любого порядка k=0,1,2,… функции ограничены в окрестности точки x₀ одной и той же k=const, то ряд Тейлора сходится к f(x) для любого х из этой окрестности. Теорема – Если f(x) разложится в ряд Тейлора, то это разложение единственно. f(x)=e^x, тогда Т.к. для любого х, то ряд сходится при любых х. Если же заменить х на –х, получим , также сходится на всей числовой прямой.