34. Теоремы Вейрштрасса о непрерывности функций. Следствие. Контр-пример.

Теорема 1(первая теорема Вейерштрасса). Всякая непрерывнаяна отрезкефункция ограничена на этом отрезке.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим противное. Тога для любого натурального найдется такая точка , что

.

(1)

Так как последовательность ограничена (), то по теореме Больцано-Вейерштрасса она содержит сходящуюся подпоследовательность . Пусть

при .

Очевидно, что (для того, чтобы убедиться в этом достаточно в неравенствах перейти к пределу при ). Поэтому в силу непрерывности функции на отрезке 

Следовательно, последовательность ограничена, что, противоречит тому, что согласно (1) □

Пусть функция определена на множестве . Далее вместо символов и , служащих для обозначения точных верхней и нижней граней множества значений функции на множестве часто будем использовать символы

и , соответственно.

Теорема 2(вторая теорема Вейерштрасса). Всякая непрерывнаяна отрезкефункция достигает на нем своих точных верхней и нижней граней, т.е.существуют такие точки ,что

, .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Докажем, например, утверждение теоремы относительно точной верхней грани. Доказательство проведем от противного. А именно, положим и предположим, что

.

Тогда, очевидно, функция

будет непрерывной на отрезке . Поэтому по теореме 1 она будет ограниченной на этом отрезке. В частности, найдется такое , что

Следовательно

,

а это противоречит тому, что □ Замечание 1. Теорема 2 по сути гласит, что во множестве значений непрерывной на отрезке функции имеется наибольший и наименьший элементы. Они, соответственно, называются наибольшим и наименьшим значениями функции, при этом точки и , в которых функция принимает эти значения, называются, соответственно точкой максимума и точкой минимума функции на отрезке . Теорему 2, таким образом, можно рассматривать как теорему о существовании точек максимума и минимума непрерывной на отрезке функции.

Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке обычно обозначаются символами и 

С учетом следствия из второй теоремы Больцано-Коши, из второй теоремы Вейерштрасса вытекает такое:

Следствие. Множество значений непрерывной на отрезке функции является отрезком , где , .

Контрпример - ?

35. Теорема Кантора.

Если функция  определена и непрерывна на сегменте , то она равномерно непрерывна на .

Доказательство

Проведем доказательство методом от противного. Пусть  не равномерно непрерывна на , тогда

 ,  : .

Выберем последовательность , . Согласно допущению, найдутся такие последовательности , , что:

,  :  : .

Последовательность  ограничена и поэтому имеет подпоследовательность , которая сходится к элементу , причем что . Тогда для подпоследовательности   так же является пределом.

По условию теоремы  — непрерывна на , поэтому

.

Это противоречит тому, что , .

Это противоречие и доказывает теорему.

Решим таким же методом, каким было проведено доказательство теоремы, пример.

Пример

скрыть

Доказать, что ограниченная и непрерывная функция  не является равномерно непрерывной на .  — ограничена и непрерывна. Тогда   : . Выберем такие подпоследовательности .   .      .  можно выделить такие подпоследовательности  . : . Следовательно, функция не является равномерно непрерывной на . 36. Теорема об односторонних пределах монотонной функции. Если функция  определена и монотонна на отрезке , то в каждой точке  эта функция имеет конечные пределы слева и справа, а в точках  и  правосторонний и левосторонний пределы. Доказательство: Пусть, например, функция  монотонно возрастает на . Выберем произвольную внутреннюю точку . Тогда   ограничена сверху на . Согласно определению: а)  б)  обозначим . Если , то . Итог:    Итак , . Аналогично доказываем, что функция имеет в точке  предел справа причем , . Следствие. Если функция  определена и монотонна на интервале ,  предел справа и слева, причем если  возрастает, то  , если убывает, то  .