- •19. Критерий Коши существования предела функции.
- •20. 4 Теоремы о функциях, имеющих предел.
- •21.Теоремы о бесконечно малых функциях.
- •22. Теоремы о непрерывности арифметических операций.
- •23. Свойства бесконечно больших функций. Примеры.
- •24. Теорема об односторонних пределах.
- •25. Теорема о втором замечательном пределе.
- •26. Теорема о замене переменной в пределах. Следствие из теоремы о втором замечательном пределе.
- •27. Следствия 2-4 из теоремы о втором замечательном пределе.
- •28. Теорема о первом замечательном пределе.
- •29. Теорема о разности эквивалентных бесконечно малых и о замене на эквивалентные в пределах.
- •30. Понятие о порядке и главной части функции. Примеры. Запись замечательных пределов в разных видах.
- •31.Определение и свойства непрерывных функций.
- •32. Точка разрыва функции. Примеры.
- •33. Теоремы Коши о промежуточном значении функции. Следствие.
- •34. Теоремы Вейрштрасса о непрерывности функций. Следствие. Контр-пример.
- •35. Теорема Кантора.
22. Теоремы о непрерывности арифметических операций.
Теорема. Если две функции f (x) и g (x) определены в одном и том же промежутке Р и обе непрерывны в точке х0, то в этой же точке будут непрерывны и функции f (x) ± g (x), f (x)·g (x), , последняя при условии, что g(x) не равна 0.
Это непосредственно вытекает из теорем о пределе суммы (разности), произведения и частного двух функций, имеющих порознь пределы.
Остановимся для примера на частном двух функций. Предположение о непрерывности функций f (x) и g (x) в точке х0 равносильно наличию равенств
.
Но отсюда, по теореме о пределе частного (так как предел знаменателя не нуль), имеем:
,
а это равенство и означает, что функция непрерывна в точке х0.
Следствия.
1. Линейная комбинация непрерывных функций есть функция непрерывная.
2. Произведение конечного числа непрерывных функций есть функция непрерывная.
3. Если f (x) непрерывна, то непрерывна и |f (x)|.
23. Свойства бесконечно больших функций. Примеры.
функция f(x), определенная в окрестности точки х0, наз. бесконечно большой функцией при х, стремящемся к x0, если для любого числа М > 0 найдется такое число δ = δ (М) > 0, что для всех х ≠ х0 и таких, что |х - х0 | < δ, выполняется неравенство |f(x)| > M.
Пример. Функция есть бесконечно большая функция при .
Если стремится к бесконечности при и принимает лишь положительные значения, то пишут ; если лишь отрицательные значения, то .
Функция двух переменных в окрестности точки (начало координат) является бесконечно большой функцией, так как .
24. Теорема об односторонних пределах.
Под односторонним пределом числовой функции подразумевают «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левосторонним пределом (или пределом слева) и правосторонним пределом (пределом справа).
Число называется правым пределом функции в точке , если для такое, что для любого и , выполняется неравенство (рис. 1). Правый предел обозначается
Число называется левым пределом функции в точке , если для такое, что для любого и , выполняется неравенство (рис. 2). Левый предел обозначается
Теорема. Функция имеет предел в точке тогда и только тогда, когда существуют равные между собой односторонние пределы в этой точке. В этом случае их общее значение является пределом функции в точке
Доказательство Необходимость. Пусть в точке существует конечный предел, то есть из чего следует, что этот же предел существует на промежутках . Следовательно односторонние пределы существуют и равны между собой. Достаточность. Пусть в точке существуют односторонние пределы, равные между собой и из чего следует, что теорема доказана. |
Пример.
|
|
|
|
Дана функция Выяснить существует ли предел в точке
|
|
Рассмотрим поведение функции в окрестности точки . Как видно и Пределы справа и слева не равны. Согласно вышеприведенной теореме, можно сделать вывод, что предел функции в точке не существует. |