29. Теорема о разности эквивалентных бесконечно малых и о замене на эквивалентные в пределах.

 Предел отношения двух бесконечно малых функций не изменится, если каждую или одну из них заменить эквивалентной ей бесконечно малой.

Теорема. Разность двух эквивалентных бесконечно малых функций есть бесконечно малая более высокого порядка, чем каждая из них.

Справедливо и обратное утверждение: если разность б.м.ф. α и ß есть бесконечно малая высшего порядка, чем α или ß, то α и ß — эквивалентные бесконечно малые.

Действительно, так как

  т. е.   Отсюда    т. е. α~ß. Аналогично,   если то α~ß.

Теорема о замене функции на эквивалентную под знаком предела

Под знаком предела

числитель или знаменатель можно заменить на эквивалентные.Доказательство. Пусть в точкех = х₀имеемf(x) ~ α(x). В этом случае

,

что и требовалось доказать.

При .

1)	.
2)	.
3)	.
4)	.
5)	.
6)	( ).
)	.
7)	( ).
)	.

30. Понятие о порядке и главной части функции. Примеры. Запись замечательных пределов в разных видах.

Выделение главной части функции - мощный приём при решении задач на вычисление пределов. Основная цель выделения главной части - получение более простой функции, которая в окрестности предельной точки ведёт себя также, как исходная громоздкая. Тогда по теореме 2 о замене бесконечно малых на эквивалентные мы можем заменить громоздкие функции в числителе и знаменателе на эквивалентные простые); основной инструмент при выделении главных частей - табл. эквивалентных бесконечно малых.

Как следует из определений, утверждения "при ха 

1. f(x)~g(x);

2. f(x)-g(x)=o(g(x)) =o(f(x));

3. g(x) есть главная часть f(x)" эквивалентны.

Так как для f(x) может существовать бесконечно много главных частей при ха (например, при х0  ~  ~  ~ ~  ~  ~ …..), при выделении главных частей указывается их вид; при решении задач на вычисление пределов при ха обычно это С₀(х-а)^k для бесконечно малых и  для бесконечно больших, при х¥ - это  для бесконечно малых и  для бесконечно больших, где С₀ = const¹0, k =const>0 – порядок малости или роста функции f(x) относительно функции (х-а) (или относительно  при х¥). Для главных частей такого вида бесконечно малых при ха функций равносильны следующие утверждения:

1.  ;

2.  , где a(х) – БМ при х®а;

3.  ;

4.  , где  ;

f(x) ~  .

Таким образом, в простейших случаях рецепт для выделения главной части вида С₀(х-а)^k БМ при ха функции f(x) состоит в следующем: f(x) надо представить в виде f(x)=  , где  . Тогда  , и  - главная часть функции f(x) при ха.

Аналогично изложенному выше, с заменой (х-а)^k на  , формулируются утверждения и правило для выделения главной части функции, бесконечно малой при х¥.

Рассмотрим ряд примеров на выделение главной части и определение порядка малости функций (в скобках указываются применённые формулы табл. экв.):

 

1.  . Представим f(x) в виде  . Если  , то  , поэтому   , k=1 – порядок малости f(x) при х0.

2.  . Представим f(x) в виде  . Если  , то  , поэтому   , k=2 – порядок малости f(x) при х¥ по сравнению с  .

3.  . С помощью формул 4,6 таблицы экв.представим f(x) в виде  . Здесь  ,  , поэтому   , k=1 – порядок малости f(x) при х0.