Учебник Основы квантовой механики

242

зоваться соотношением (17.7).

17.3.Проверить антикоммутационные соотношения (17.38) для фермиоператоров.

Указание: Пример доказательства одного из этих соотношений приведен в тексте. Остальные доказываются аналогичным способом.

17.4.Проверить, что для бозе- и ферми-операторов

в представлении чисел заполнения легко проводится с помощью основных равенств (17.10) и (17.38). В качестве примера дадим вывод первого из соотношений (17.39). Запишем

[ˆal, nˆl ] = aˆlaˆ†l aˆl − aˆ†l aˆl aˆl.

Идея дальнейших преобразований в подобных задачах состоит в том, чтобы расположить операторы рождения слева от операторов уничтожения во всех слагаемых с учетом коммутационных (для бозе-операторов) или “антикоммутационных” (для ферми-операторов) соотношений. В данном примере сначала используем равен-

ство aˆlaˆ†l = ± aˆ†l aˆl + δll , где верхний знак относится к бозонам, а нижний — к фермионам. С его помощью находим, что

[ˆal, nˆl ] = δll aˆl ± aˆ†l aˆlaˆl − aˆ†l aˆl aˆl.

Два последних слагаемых отличаются друг от друга лишь порядком, в котором следуют операторы уничтожения. Учитывая, что aˆlaˆl = ± aˆl aˆl, видим, что эти два слагаемых точно сокращаются. Отсюда сразу следует первое равенство (17.39). Второе равенство проверяется аналогично.

18.Квантовая динамика

18.1.Матричная форма уравнения Шредингера

От квантовых состояний и операторов перейдем теперь к общему описанию квантовой динамики, т. е. к описанию изменения вектора состояния со временем. Исходной точкой служит, конечно, уравнение Шредингера, но, в общем случае, оно записывается не для волновой функции, а для вектора состояния:

Так как |Ψ(t) — вектор в бесконечномерном гильбертовом пространстве, решить уравнение Шредингера в векторном виде невозможно даже для очень простых систем. Какой же прок в таком уравнении? Дело в том, что уравнение (18.1) легко преобразовать в систему обычных дифференциальных уравнений в любом представлении1.

1В частности, в координатном q-представлении из (18.1) получается хорошо знакомое уравнение Шредингера для волновой функции Ψ(q, t) (см. упражнение 18.1.).

245

Это просто амплитуды стационарных состояний с энергиями E1 и E2. Вероятно-

сти w1 = |C1(t)|2 и w2 = |C2(t)|2 не зависят от времени и совпадают с их начальными значениями. Если одна из амплитуд в начальный момент времени была равна нулю, то у системы нет никакого шанса когда-нибудь попасть в это состояние. При этом вероятность обнаружить систему в другом состоянии будет все время равна единице.

Уравнения (18.11) это линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами, поэтому их нетрудно решить и при ненулевой амплитуде перехода A. Как известно из математики, решения таких уравнений всегда можно искать в виде экспонент. Положим

где c1 и c2 — постоянные, а ω — пока неизвестная частота. Подставляя эти выражения в (18.11), вычисляя производные, а затем сокращая на общий множитель exp(−iωt), приходим к системе однородных уравнений

Ненулевые решения для c1 и c2 существуют лишь тогда, когда определитель, составленный из коэффициентов, равен нулю, т. е.

Раскрывая определитель, получаем квадратное уравнение для ω, которое имеет два решения (элементарные выкладки оставляем читателю):

C1(t) = a1 e−i(ω0+Ω)t + b1 e−i(ω0−Ω)t,

(18.17)

C2(t) = a2 e−i(ω0+Ω)t + b2 e−i(ω0−Ω)t.

Эти формулы дают решение задачи о динамике любой квантовой системы с двумя базисными состояниями, гамильтониан которой не зависит от времени. Решение содержит четыре комплексных постоянных: a1, b1, a2, b2. Для их определения нужны дополнительных условия. Прежде всего, имеем два начальных условия

248

т. е. частоты в формулах (18.17) для амплитуд вероятности пропорциональны значениям энергии стационарных состояний.

Построим теперь векторы |I и |II стационарных состояний, каждый из кото-

Вектор состояния |II строится аналогичным способом. Полагаем в уравнениях (18.23) E = EII , а затем выражаем α1 через α2 с помощью первого уравнения. После этого приходим к выражению

Требуя, чтобы этот вектор был нормирован на единицу, получаем

нальны друг к другу. Впрочем, результат очевиден заранее, так как эти векторы соответствуют различным значениям энергии системы.

Состояния |I и |II можно использовать в качестве базисных вместо исходных состояний |1 и |2 . Тогда произвольный вектор состояния системы в момент

1Можно, конечно, воспользоваться и первым уравнением. Результат будет тем же (проверьте!).

249

и легко решаются:

CI (t) = CI (t = 0) e−iEI t/ ≡ CI (t = 0) e−i(ω0+Ω)t,

(18.32)

CII (t) = CII (t = 0) e−iEII t/ ≡ CII (t = 0) e−i(ω0−Ω)t.

Вероятности обнаружить систему в базисных стационарных состояниях |I , |II

даются формулами wI = |CI (t)|2, wII = |CII (t)|2 и не зависят от времени.

В математическом отношении оба представления (18.7) и (18.31) для вектора состояния полностью эквивалентны. В этом легко убедиться, если подставить, например, выражения для |I и |II через исходные базисные векторы |1 и |2 в формулу (18.31). Возникает, однако, вопрос: есть ли различие между представлениями (18.7) и (18.31) с физической точки зрения? Покажем, что такое различие имеется и оно непосредственно связано с ролью измерения в квантовой механике.

Как известно, измерения производятся с помощью приборов. В квантовой механике прибором принято называть любой макроскопический объект, взаимодействующий с рассматриваемой квантовой системой (в этом и состоит “измерение”). В зависимости от ситуации, прибор выполняет две функции. Во-первых, он может служить для приготовления квантового состояния, после чего квантовое состояние изменяется со временем согласно уравнению Шредингера. Фактически начальные значения амплитуд вероятности, о которых мы упоминали выше, несут информацию о том, как было приготовлено квантовое состояние в результате взаимодействия системы с прибором. Вторая важная функция прибора — определение квантового состояния рассматриваемой системы в некоторый момент времени1.

Читателю уже известно, что если квантовое состояние есть суперпозиция нескольких ортогональных “базисных” состояний, то результат измерения не будет однозначным. При многократном повторении однотипных измерений прибор будет регистрировать систему в различных базисных состояниях с некоторыми вероятностями. Предсказание значений этих вероятностей и есть основная задача квантовой механики.

Заметим, однако, что для практической реализации процедуры измерения вероятностей прибор должен быть способен отличить одно базисное состояние от другого. Иначе говоря, любой прибор “настроен” на представление квантового состояния системы как суперпозиции некоторого набора базисных состояний. С этой точки зрения использование различных представлений вполне оправдано: каждое из них предназначено для определенного типа измерений.

Вернемся теперь к задаче о системе с двумя базисными состояниями. Запись вектора состояния в виде (18.7) удобно тогда, когда прибор различает базисные состояния |1 и |2 . С другой стороны, если при измерении можно различить стационарные состояния |I и |II , то для вектора состояния естественно использовать представление (18.31). Как было показано в разделе 16.1. и как мы убедились на примере системы с двумя базисными состояниями, имеются точные правила перехода от одного представления к другому. Существование таких правил совершенно необходимо. Иначе было бы невозможно связать и сопоставить результаты измерений различного типа над одной и той же системой.

1Обычно информация о квантовом состоянии содержится в физических величинах, которые измеряются приборами.

251

Поскольку недиагональные матричные элементы равны нулю, то состояния (18.35) являются стационарными1, причем H11 и H22 — соответствующие значения энергии атома. Впрочем, все это мы уже видели в разделе 13.7. [см. формулу (13.91)].

Если магнитное поле направлено, скажем, вдоль оси x, то

Теперь базисные состояния (18.35) уже не будут стационарными, так как недиагональные матричные элементы H12 и H21 будут отличны от нуля. Конечно, мы можем перейти к другим базисным состояниям, которые соответствуют заданным значениям проекции Jx и являются суперпозициями состояний (18.35). Эти новые базисные состояния уже будут стационарными. В принципе, схема, изложенная в предыдущем разделе, позволяет описать динамику магнитного момента атома при произвольном выборе оси квантования момента и произвольном направлении

магнитного поля , но здесь мы не будем углубляться в эту задачу.

B

Приведем еще один пример того, как динамика довольно сложной физической системы может быть сведена к модели с двумя базисными состояниями. Он относится к теории так называемых мазеров — квантовых усилителей электромагнитного излучения, которые в настоящее время широко применяются в различных технических устройствах. Мы кратко рассмотрим аммиачный мазер, принцип

если все эти квантовые числа фиксированы, остаются еще две возможности: атом азота может быть расположен либо по одну сторону плоскости атомов водорода, либо по другую (см. Рис. 18.2.). Назовем эти два состояния молекулы |1 и |2 и будем использовать их в качестве базисных состояний. Конечно, это всего лишь приближение; оно означает, что переход атома азота из одного положения в другое не сопровождается возбуждением электронов, колебаний или вращений.

Из соображений симметрии ясно, что диагональные матричные элементы гамильтониана H11 и H22 (т. е. средние значения энергии молекулы аммиака в состояниях |1 и |2 ) одинаковы. Что можно сказать о недиагональных матричных элементах H12 и H21? Как мы видели в предыдущем разделе, эти матричные элементы определяют вероятность переходов между базисными состояниями. В данном случае это вероятность перехода атома азота между двумя положениями относительно плоскости атомов водорода (см. Рис. 18.2.). С классической точки зрения такие переходы невозможны, так как атому азота нужно “протиснуться”

1То есть они совпадают с состояниями |I и |II из предыдущего раздела.