Учебник Основы квантовой механики

222

соотношением (16.25). В самом деле, r | p = ψp (r ) есть не что иное как волновая

функция свободной частицы с импульсом p в координатном представлении. Для нее мы имеем явное выражение (5.47). Поэтому

Вспоминая (16.59), находим связь между волновыми функциями частицы в координатном и импульсном представлениях:

где d3p = dpx dpy dpz и интегрирование по каждой проекции импульса ведется от

−∞ до +∞. Преобразование волновой функции, обратное к (16.61), имеет вид (проверьте!)

Найдем матричные элементы наиболее важных операторов: ˆ и ˆ. Проще начать

r p

с оператора ˆ, так как для него импульсное представление является собственным p

и, следовательно,

Как и следовало ожидать, матрица оператора импульса в этом представлении диагональна. Подставляя выражение (16.66) в формулу (16.64), приходим к заключению, что действие оператора импульса на волновую функцию в своем собственном представлении сводится к умножению, т. е. можно пользоваться правилом

Все это очень похоже на свойства оператора ˆ в координатном представлении.

r

224

Например, у частицы, движущейся в центральном поле, гамильтониан коммути-

ˆ . Кроме того, все эти операторы коммутируют друг с другом. Таким образом,

Sz

стационарные состояния частицы в центральном поле |n ≡ |n0 l m ms нумеруются сложным индексом n, включающим четыре квантовые числа, которые определяют значения всех перечисленных динамических переменных1. Для системы, состоящей из N частиц, обладающих спином, количество квантовых чисел в индексе n равно 4N . Некоторые из этих квантовых чисел могут принимать непрерывный набор значений.

Иногда в качестве базисных состояний бывает удобнее использовать не собственные состояния гамильтониана и коммутирующих с ним динамических переменных, а их ортонормированные линейные комбинации. В качестве примера напомним, что в разделе 11.4. для электрона в водородоподобном атоме вводились стационарные состояния, которые характеризовались не l, m, ms, а квантовыми числами l, j, mj , где j определяет значение квадрата полного момента частицы, а mj — значение его проекции на ось квантования.

Роль “волновой функции” в энергетическом представлении играет набор амплитуд вероятности n|Ψ(t) обнаружить систему в любом из базисных стационарных состояний, а разложение произвольного вектора состояния |Ψ(t) имеет вид

n

При решении конкретных задач энергетическое представление используется только для достаточно простых систем, так как для построения базисных состояний |n нужно точно решить стационарное уравнение Шредингера.

16.4.Представление чисел заполнения для осциллятора

Модель гармонического осциллятора очень часто встречается в приложениях квантовой механики. Например, в разделе 14.2. мы выяснили, что этой моделью описываются колебания молекул. Важную роль играет модель квантового осциллятора и в физике твердого тела, поскольку колебания атомов кристаллической решетки около положений равновесия также удается описать на языке связанных друг с другом квантовых осцилляторов. Ввиду практической ценности модели желательно иметь наиболее простое и удобное представление для квантовых состояний осциллятора и относящихся к нему операторов. В этом разделе мы построим такое представление; по причинам, которые станут ясны чуть позже, его обычно называют представлением чисел заполнения, хотя стоит сразу же сказать, что оно совпадает с энергетическим представлением.

Чтобы избежать удаленных ссылок на формулы из раздела 6.3., приведем еще раз наиболее важные факты и соотношения. Гамильтониан квантового гармонического осциллятора имеет вид

1Мы обозначили главное квантовое число буквой n0, чтобы не спутать его со всем сложным индексом n.

226

x|Ψ(t) и ψn(x) = x|n . Идея, реализацию которой мы дальше рассмотрим, состоит в том, чтобы вместо операторов xˆ и pˆx ввести новые основные операторы, действующие непосредственно на базисные векторы состояния |n и обладающие простыми свойствами.

В качестве первого шага рассмотрим действие операторов xˆ и pˆx на волновые функции стационарных состояний осциллятора (16.76). Начнем с оператора координаты. Используя свойство (16.77) полиномов Эрмита, легко проверить (см. упражнение 16.9.), что

На языке векторов состояния это означает, что

В самом деле, вычисляя матричные элементы n |xˆ|n с помощью формул (16.80) и (16.81), мы получим одинаковые результаты.

Посмотрим теперь, что дает действие оператора pˆx = −i ∂/∂x на волновую функцию ψn(x). Здесь помогает свойство (16.78) полиномов Эрмита. После простых преобразований (см. упражнение 16.9.) получаем

Они обладают некоторыми важными свойствами. Во-первых, с помощью (16.81) и (16.83) находим действие этих операторов на базисные состояния |n :

Таким образом, оператор aˆ† переводит стационарное состояние осциллятора с номером n в состояние с номером на единицу б´ольшим (с дополнительны множи-

телем n + 1 ), а оператор aˆ переводит |n в стационарное состояние с номером на единицу меньшим. Как видно из формулы (16.75), n есть число квантов возбуждения ω в состоянии |n , отсчитанное от основного уровня энергии. По этой

227

причине оператор aˆ† называется оператором рождения кванта возбуждения, а оператор aˆ — оператором уничтожения кванта возбуждения1.

Используя (16.74) и (16.85), легко убедиться, что aˆ и aˆ† удовлетворяют коммутационному соотношению

Как обычно, для упрощения формул пишем вместо единичного оператора ˆ.

1 1

Важную роль в теории осциллятора играет оператор числа квантов воз-

Действуя этим оператором на состояние |n и учитывая формулы (16.85), получаем

Отсюда видно, что стационарные состояния осциллятора являются собственными состояниями оператора числа квантов, а собственные значения равны числу квантов возбуждения n = 0, 1, 2, . . . По исторической традиции значения квантового числа n называются числами заполнения. Поэтому представление с базисными векторами состояния |n называется представлением чисел заполнения.

Все операторы, относящиеся к осциллятору, можно выразить через операторы рождения и уничтожения. В частности, из формул (16.84) легко находятся выражения для операторов координаты и импульса (выкладки оставляем читателю):

Операторы рождения и уничтожения очень удобны для вычисления всякого рода средних значений. В качестве иллюстрации найдем средние квадратичные отклонения (квантовые неопределенности) координаты и импульса в стационарном состоянии |n . Из общей формулы (4.21) следует, что

(∆x)2 = n|xˆ2|n − ( n|xˆ|n )2 , (∆px)2 = n|pˆ2x|n − ( n|pˆx|n )2 .

1Для краткости aˆ† называют просто оператором рождения, а aˆ — оператором уничтожения.

2Часто его называют просто оператором числа квантов.

228

Средние значения n|xˆ|n и n|pˆx|n равны нулю; это легко заметить, например, из формул (16.89), так как диагональные матричные элементы n|aˆ|n и n|aˆ†|n равны нулю. Вычислим теперь среднее значение n|xˆ2|n , которое можно представить в виде

Вычисление n|pˆ2x|n выполняется точно так же. Мы оставим его читателю в качестве упражнения и выпишем окончательные формулы для квантовых неопреде-

удовлетворяет фундаментальному неравенству Гайзенберга [см. (4.27)] и имеет минимальное значение при n = 0, т. е. в основном состоянии осциллятора.

Подведем итоги.

•Базисными состояниями квантового осциллятора в представлении чисел заполнения являются стационарные состояния |n .

•Все динамические переменные для осциллятора могут быть выражены через оператор уничтожения кванта возбуждения aˆ и эрмитово сопряженный ему оператор рождения aˆ†. Эти операторы удовлетворяют коммутационному соотношению (16.86) и действуют на базисные состояния по правилам (16.85).

•В представлении чисел заполнения отличны от нуля следующие матричные элементы операторов рождения и уничтожения:

•В представлении чисел заполнения матрица гамильтониана осциллятора диагональна, т. е.

Hnn = En δnn ,

где En — уровни энергии осциллятора (16.75).

В принципе, приведенных сведений достаточно для решения любой задачи, относящейся к квантовому осциллятору. При этом не нужно даже знать явного выражения для волновых функций ψn(x), которые соответствуют координатному представлению.

229

Упражнения

16.1. Доказать, что соотношения (16.28) являются необходимыми и достаточными условиями того, чтобы набор векторов состояния (16.27) был полным и ортонормированным.

Указание: С помощью (16.27) скалярное произведение b|b записывается в виде

Таким образом, для выполнения равенства b|b = δbb необходимо и достаточно, чтобы выполнялось первое соотношение (16.28). Второе соотношение получается из требования, чтобы набор {|b} был полным. По предположению, исходный набор {|a} является полным, т. е. любой вектор состояния можно разложить по этим векторам. Значит, для полноты нового набора необходимо и достаточно, чтобы любой |a мог быть разложен по векторам |b . Записав

|a = |b b|a ,

b

а затем, вычислив с помощью этого равенства скалярное произведение a |a и приравняв его δaa , можно получить второе соотношение (16.28).

16.2. Используя определение (16.31) эрмитово сопряженного оператора, доказать, что среднее значение самосопряженного (эрмитового) оператора в любом квантовом состоянии является действительным числом.

16.3. Доказать, что матрица оператора ˆ ˆ ˆ в любом представлении есть

C = AB

произведение матриц операторов ˆ и ˆ:

A B

Остается воспользоваться формулой (16.21) для единичного оператора.

16.4. Показать, что уравнение (16.44) в произвольном a-представлении эквивалентно следующему матричному уравнению для волновой функции ψA(a) = a|A :

a

Указание: Умножить скалярно обе части (16.44) на базисный вектор |a , а затем

разложить вектор состояния ˆ по базисным векторам.

A

16.5. В волновой механике Шредингера гамильтониан частицы во внешнем по-

230

где 2 — оператор дифференцирования по проекциям вектора r. Определение производных дельта-функции приводится на стр. 221.

16.6. Рассматривается частица со спином s. В качестве базисных состояний частицы выбраны состояния |q ≡ |r , ms , где спиновое магнитное квантовое число (ms = −s, −s + 1, . . . , s) определяет значение проекции спина частицы Sz = ms на ось квантования z.

а) Записать условие нормировки для векторов состояния |q и условие полноты базиса;

б) Найти матричные элементы | ˆ| оператора радиуса-вектора и матричные q r q

элементы | ˆ| оператора импульса в -представлении; q p q q

в) Найти матричные элементы | ˆ | оператора ˆ в этом представлении; q Sz q Sz

г) Для случая найти также матричные элементы | ˆ | и | ˆ | . s = 1/2 q Sx q q Sy q

16.7. Проверить условие нормировки (16.62) для волновой функции частицы в импульсном представлении.

Указание: Если записать Φ (p, t) в виде интеграла, выполнив комплексное сопряжение в (16.61), то левая часть (16.62) приводится к виду

Выражение выглядит довольно сложным, но если первым вычислить интеграл по p, то возникает дельта-функция δ(r − r ) [см. (16.69)], которая затем “снимает” интеграл по r .

16.8.Используя формулу (6.40) для полиномов Эрмита, проверить равенства (16.77) и (16.78).

16.9.Вывести соотношения (16.80) и (16.82).

Указание: Удобно записать x = x0ξ и pˆx = (−i /x0)∂/∂ξ. Обозначим через An нормировочную постоянную в выражении (16.76) для ψn. Тогда, согласно свойству (16.77) полиномов Эрмита,

Отношения нормировочных постоянных легко находятся:

An/An−1 = 1/ 2n, An/An+1 = 2(n + 1).

С учетом приведенных формул сразу получается (16.80). Для вывода (16.82) нужно воспользоваться свойством (16.77) полиномов Эрмита.

16.10.Поверить, что оператор aˆ† [см. (16.84)] является эрмитово сопряженным оператору aˆ.

Указание: Учесть, что операторы xˆ и pˆx эрмитовы.

16.11.С помощью выражений (16.89) преобразовать гамильтониан осциллятора (16.73) к виду (16.90).

Указание: Прямая подстановка выражений (16.89) в (16.73) с учетом того, что

x0 = /mω, дает

ˆ ω , † † − − † − † -

H = (ˆa + aˆ )(ˆa + aˆ ) (ˆa aˆ )(ˆa aˆ ) . 4