Учебник Основы квантовой механики
.pdf102
где мы учли, что H21 = H12. Решая уравнение (10.39), находим два корня
|
1 |
)(H11 |
|
|
|
* , |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||
En1 = |
2 |
+ H22) + |
|
(H11 − H22)2 + 4|H12|2 |
(10.40) |
|||
|
|
)(H11 + H22) − |
|
* . |
|
|||
En2 = |
|
(H11 − H22)2 + 4|H12|2 |
|
|||||
2 |
|
|||||||
Эти формулы можно записать в другом виде, если вспомнить выражение (10.9)для гамильтониана. Так как обе функции ψn(0)1 и ψn(0)2 являются собственными функци-
ˆ (0) |
(0) |
, то |
|
ями H |
и соответствуют одному и тому же уровню энергии En |
|
|
|
H11 = En(0) + W11, H22 = En(0) + W22, H12 = W12. |
(10.41) |
|
Последнее равенство следует из того, что функции ψn(0)1 и ψn(0)2 ортогональны друг к другу. Подстановка выражений (10.41) в (10.40) дает
|
|
|
1 |
)(W11 |
|
|
|
|
* , |
|
|
En1 |
= En(0) |
+ |
+ W22) + (W11 |
− W22)2 |
+ 4|W12|2 |
|
|||||
|
|
||||||||||
2 |
(10.42) |
||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
En2 |
= En(0) |
+ |
)(W11 |
+ W22) − (W11 |
− W22)2 |
+ 4|W12|2 |
* . |
|
|||
2 |
|
||||||||||
Эти формулы упрощаются в двух случаях. |
Во-первых, если среднее значение |
|||||
возмущения в каждом из состояний ψ(0) |
и ψ(0) |
равно нулю, т. е. W |
11 |
= W |
22 |
= 0, то |
n1 |
n2 |
|
|
|
||
En1 = En(0) + |W12|, En2 = En(0) − |W12|, (W11 = W22 = 0). |
|
(10.43) |
||||
Во-вторых, может оказаться, что матричный элемент W12 равен нулю. |
Тогда |
|||||
из (10.42) находим, что |
|
|
|
|
|
|
En1 = En(0) + W11, En2 = En(0) + W22, (W12 = 0). |
|
|
(10.44) |
|||
Эти выражения — частный случай общей формулы (10.38) для расщепления вырожденного уровня, когда равны нулю недиагональные матричные элементы оператора возмущения.
Упражнения
10.1.Получить выражения (10.19) из уравнений (10.18) и (10.22).
10.2.Проверить равенство (10.25). Доказать, что для любого эрмитового опера-
тора ˆ справедливо аналогичное равенство , где матричные элементы
A Amn = Anm
вычисляются по любой системе функций {ϕn}.
10.3. Проверить выражения (10.41) для матричных элементов гамильтониана. 10.4. Используя выражения (10.43) и (10.44) для корней секулярного уравнения, показать, что правильными волновыми функциями нулевого приближения
для двукратно вырожденного уровня являются a) а случае W11 = W22 = 0:
1 |
(0) |
|
W21 |
|
(0) |
|
1 |
(0) |
|
W21 |
|
(0) |
|
|
||
ψ1 = √ |
|
ψn1 |
+ |
|
|
ψn2 |
, |
ψ2 = √ |
|
ψn1 |
− |
|
|
ψn2 |
; |
(10.45) |
|
|W12 |
| |
|W12 |
| |
||||||||||||
2 |
2 |
|||||||||||||||
103
б) в случае W12 = 0:
ψ1 = ψn(0)1 , |
ψ2 = ψn(0)2 . |
(10.46) |
Указание: Из однородных уравнений (10.34) можно найти лишь связь между коэффициентами a1 и a2. Если выразить, например, a2 через a1, то коэффициент a1 находится затем из условия, чтобы каждая из функций ψ1 и ψ2 была нормирована на единицу.
11.Спин микрочастиц
В1920-30 годы было экспериментально установлено, что электрон, протон и нейтрон обладают моментом импульса, не связанным с их движением в пространстве. Этот момент импульса называется собственным моментом импульса или спином1. Гипотеза о существовании у электрона собственного момента импульса была высказана английскими физиками Д. Уленбеком и С. Гаудсмитом в 1925 году для объяснения расщепления энергетических уровней атомов в магнитном поле. В дальнейшем, по мере открытия новых микрочастиц, выяснилось, что большинство из них также обладают спином. Спин — явление чисто квантовое2, поэтому наглядные классические модели типа “вращающегося” электрона к спину неприменимы. Спин следует рассматривать как фундаментальное свойство микрочастицы, данное ей “от рождения” подобно массе или электрическому заряду.
11.1.Спиновые состояния электрона
Наличие спина у микрочастиц, прежде всего у электрона, определяет многие важные свойства атомов и молекул и, в конечном счете, многие свойства вещества. Чтобы применить квантовую механику в изучению этих свойств, нужно иметь математическое описание квантовых состояний, связанных со спином, и, кроме того, нужно построить оператор спина. Эта задача облегчается тем, что некоторые формальные свойства спина аналогичны свойствам орбитального момента импульса, хотя между этими динамическими переменными имеются и важные различия.
Как и орбитальный момент импульса , спин — векторная динамическая пере-
L
менная; обычно спин обозначается символом . Напомним, что собственные зна-
S
чения квадрата орбитального момента импульса и его проекции на произвольную ось квантования (ось z) даются формулами (8.9). Спин квантуется аналогичным образом, т. е. его квадрат S2 и проекция Sz могут принимать значения
S2 = 2s(s + 1), Sz = ms , |
(11.1) |
|
|
где s — спиновое квантовое число, а ms — спиновое магнитное квантовое число. В отличие от азимутального квантового числа l, которое определяет L2, квантовое число s для данной частицы во всех состояниях имеет одно и тоже
1Термин “спин” происходит от английского слова “spin”, которое означает “веретено” или “вращение”.
2Когда в 1928 году английскому физику Полю Дираку удалось обобщить квантовую механику на релятивистский случай, оказалось, что наличие спина у микрочастиц неизбежно следует из принципов квантовой теории и теории относительности.
104
значение. В частности, для электрона, протона и нейтрона s = 1/2. Есть частицы, у которых s = 0; они называются бесспиновыми. Спином обладают не только элементарные частицы, но и составные частицы, например, атомы или их ядра. У составных частиц спиновое число s может быть как целым, так и полуцелым (скажем, s = 1 или s = 3/2 ). Обычно, когда говорят, что частица обладает спином s, имеют в виду значение спинового квантового числа. По этой терминологии электрон имеет спин 1/2.
Спиновое магнитное квантовое число ms может принимать значения
ms = −s, −s + 1, . . . , s − 1, s , |
(11.2) |
т. е. всего 2s + 1 значений. В частности, для частиц со спином 1/2 проекция спина на ось квантования может принимать только два значения: Sz = /2 или Sz = − /2. В дальнейшем нас прежде всего будет интересовать спин электрона, однако все сказанное относится к любой частице со спином 1/2.
Раньше мы считали, что квантовое состояние электрона можно описать волновой функцией ψ(r, t), зависящей от координат и времени1. Ясно, что с учетом спина такое описание является неполным, так как нужно еще указать, в каком спиновом состоянии находится электрон. Если зафиксирована некоторая ось квантования (ось z), то электрон может быть обнаружен в одном из двух независимых спиновых состояниях, которые характеризуются значениями магнитного спинового числа ms = 1/2 или ms = −1/2. Таким образом, в общем случае для полного описания состояния электрона требуется задать две волновые функции ψ1/2(r, t) и
ψ−1/2(r, t). Нижний индекс указывает на значение квантового числа ms. В первом
случае ms = 1/2, а во втором ms = −1/2. Иногда для наглядности используют индексы ↑ и ↓ и говорят, что ψ1/2 ≡ ψ↑ — волновая функция электрона со спином,
направленным вдоль оси z, а ψ−1/2 ≡ ψ↓ — волновая функция электрона со спином, направленным противоположно оси z.
Величина |ψ1/2(r, t)|2 dV есть вероятность того, что электрон в момент времени t находится в объеме dV с проекцией спина Sz = /2, а |ψ−1/2(r, t)|2 dV — вероятность
обнаружить электрон в объеме dV с проекцией спина Sz = − /2. Таким образом, должно выполняться соотношение
|ψ1/2(r, t)|2 + |ψ−1/2(r, t)|2 dV = 1, |
(11.3) |
которое играет роль условия нормировки с учетом двух возможных спиновых состояний электрона.
Вместо того, чтобы каждый раз упоминать о двух независимых волновых функциях ψ1/2 и ψ−1/2, описывающих квантовое состояние электрона и других частиц
со спином s = 1/2, удобно объединить эти волновые функции в один математический объект. Это можно сделать, например, если считать, что волновая функция электрона ψ(r, σ, t) зависит не только от непрерывных переменных — координат x, y, z, но и от дискретной (спиновой) переменной σ, которая принимает всего два
1В этом параграфе все “обычные” волновые функции мы обозначаем строчной буквой ψ. Заглавная буква Ψ будет использована для нового математического объекта, который вскоре появится.
105
значения, например, σ = 1/2 и σ = −1/2, причем
ψ(r, σ = 1/2, t) = ψ1/2(r, t), |
(11.4) |
||||
ψ(r, σ = −1/2, t) = ψ−1/2(r, t). |
|||||
|
|||||
В новых обозначениях условие нормировки (11.3) запишется так: |
|
||||
1/2 |
|
|
|||
|
|
|
|||
σ= |
− |
1/2 |
dV |ψ(r, σ, t)|2 = 1. |
(11.5) |
|
|
|
|
|
||
При обсуждении общих вопросов теории часто используют еще более сокращенные обозначения. Введем набор переменных q = (x, y, z, σ), включающий координаты электрона и спиновую переменную. Координаты являются непрерывными переменными, а спиновая — дискретной переменной, принимающей всего два значения. Квантовое состояние электрона будет описываться волновой функцией ψ(q, t). Договоримся также, что для функций, зависящих от q, символ + . . . dq означает интегрирование по непрерывным переменным (координатам) и суммирование по
дискретной спиновой переменной. Тогда формулу (11.5) можно записать в очень компактном виде
|ψ(q, t)|2 dq = 1. (11.6)
Все сказанное выше легко переносится на частицы со спином s = 1/2. В общем случае спиновая переменная σ пробегает 2s + 1 значений. При этом все формулы будут выглядеть совершенно одинаково для частиц с любым значением спина.
Приведем еще одно популярное обозначение для волновой функции электрона (и других частиц со спином s = 1/2). Объединим функции ψ1/2(r, t) и ψ−1/2(r, t) в
матрицу, имеющую две строки и один столбец:
Ψ(r, t) = |
ψ1/2(r, t) |
. |
(11.7) |
ψ−1/2(r, t) |
В квантовой механике такая двухкомпонентная волновая функция называется спинором. Введем также сопряженный спинор Ψ†(r, t) — матрицу с одной строкой и двумя столбцами:
Ψ† = ψ1/2 ψ− |
1/2 |
. |
1 |
(11.8) |
Умножая Ψ† слева Ψ по правилу умножения матриц, получим |
|
|
||
Ψ†Ψ = |ψ1/2|2 + |ψ−1/2|2.
Вспоминая соотношение (11.3), видим, что условие нормировки для спинора (11.7) выглядит как
Ψ†Ψ dV = 1. (11.9)
1В результате такого умножения получается матрица с одной строкой и одним столбцом, т. е. всего с одним элементом. Матрицу (a), где a — единственный элемент, принято считать числом a.
106
Заметим, что спинор (11.7) можно записать в виде суммы двух спиноров
Ψ(r, t) = ψ1/2(r, t) |
1 |
+ ψ−1/2(r, t) |
0 |
. |
(11.10) |
0 |
1 |
Это позволяет рассматривать спиноры
χ1/2 ≡ χ↑ = |
1 |
, |
χ−1/2 ≡ χ↓ = |
0 |
|
(11.11) |
0 |
1 |
как спиновые “волновые функции”, соответствующие двум возможным значениям проекции спина электрона на ось квантования z.
Следует иметь в виду, что цель введения перечисленных выше обозначений состоит лишь в упрощении формул. В конкретных расчетах все выражения приходится записывать, в конце концов, через волновые функции ψ1/2 и ψ−1/2.
11.2.Операторы спина
Согласно общим принципам квантовой механики, спину, как динамической пе-
ˆ
ременной, должен соответствовать некоторый векторный оператор спина с про-
S
екциями ˆ , ˆ , ˆ . Главное отличие оператора спина от операторов других ди-
Sx Sy Sz
намических переменных, с которыми мы имели дело раньше, состоит в том, что
он действует на волновые функции ψ(r, σ, t), зависящие от дискретной спиновой переменной σ. Зависимость волновой функции от координат оператор спина не меняет. В связи с этим обстоятельством мы будем часто опускать аргумент r и записывать волновую функцию просто как ψ(σ).
С математической точки зрения каждый из операторов ˆ , ˆ и ˆ преобразует
Sx Sy Sz
любую функцию Φ(σ) дискретной переменной σ в некоторую новую функцию. На-
пример, оператор ˆ , действуя на преобразует ее в ≡ ˆ , причем
Sx Φ(σ) Φ (σ) (SxΦ)(σ)
каждое значение новой функции Φ (σ) может зависеть от значений Φ(σ ) при всех
σ . Как уже не раз отмечалось, в квантовой механике оператор любой динамической переменной должен быть линейным (см. раздел 4.1.). В данном случае операторы проекций спина действуют на функции дискретной переменной, поэтому правила преобразования должны иметь вид
(SˆxΦ)(σ) = |
|
|
|
|
(Sx)σσ Φ(σ ), |
|
|||
|
σ |
|
|
|
(Sˆ Φ)(σ) = |
|
|
Φ(σ ), |
|
(S ) |
σσ |
(11.12) |
||
y |
y |
|
||
|
σ |
|
|
|
(Sˆz Φ)(σ) = |
|
|
Φ(σ ), |
|
(Sz )σσ |
|
|||
σ
где (Sx)σσ , (Sx)σσ , (Sx)σσ — числовые коэффициенты, которые не зависят от вида функции Φ. Оставляем читателю в качестве упражнения проверку того, что операторы проекций спина, действие которых определено формулами (11.12), действительно являются линейными операторами, т. е. выполняются соотношения (4.2).
Формулы (11.12) справедливы для произвольного значения спина частицы s. В дальнейшем мы ограничимся случаем s = 1/2, поскольку в практических приложениях квантовой механики особую роль играет спин электрона. В этом случае
|
|
|
|
107 |
|
|
|
ˆ |
ˆ |
ˆ |
характеризуется четырьмя коэффициентами, ко- |
||||
каждый из операторов Sx, Sy, Sz |
|||||||
торые можно записать в виде матриц операторов спина |
|
||||||
(Sk) = |
(Sk) 1 , 1 |
(Sk) 1 , |
1 |
|
|
||
(Sk) |
21 |
,21 |
(Sk) 21 |
,− 21 , |
k = x, y, z. |
(11.13) |
|
|
|
− 2 |
2 |
− 2 |
− 2 |
|
|
По существу, эти матрицы полностью определяют действие операторов ˆ , ˆ ˆ
Sx Sy Sz
на произвольную волновую функцию частицы, поэтому для краткости они сами часто называются операторами спина. Матричная запись особенно удобна при
использовании спинорной формы волновой функции (11.7). Легко проверить (см. упражнение 11.2.), что формулы (11.12) эквивалентны равенствам
ˆ |
Ψ = (Sx)Ψ, |
ˆ |
Ψ = (Sy)Ψ, |
ˆ |
Ψ = (Sz )Ψ, |
(11.14) |
Sx |
Sy |
Sz |
где справа стоят выражения, образованные по правилу умножения матриц. Рассмотрим теперь произведения спиновых операторов. Выясним, например,
|
ˆ ˆ |
|
|
|
что означает символ SxSy. Применяя дважды формулы (11.12), запишем |
||||
(SˆxSˆy |
Φ)(σ) = (Sx)σσ |
(Sˆy |
Φ)(σ ) = |
(Sx)σσ (Sy)σ σ Φ(σ ). |
|
|
|
|
|
|
σ |
|
|
σ ,σ |
|
ˆ ˆ |
соответствует матрица |
||
Отсюда видно, что оператору SxSy |
||||
|
|
|
|
|
|
(SxSy)σσ = |
(Sx)σσ (Sy)σ σ , |
||
σ
которая, по математическому определению, есть произведение матриц (Sx) и (Sy). Используя это правило, находим, что оператору квадрата спина
ˆ2 |
ˆ2 |
ˆ2 |
ˆ2 |
(11.15) |
S |
= Sx |
+ Sy |
+ Sz |
|
соответствует матрица |
|
|
|
(11.16) |
(S2) = (Sx)2 + (Sy)2 + (Sz )2, |
||||
вид которой легко найти, если, конечно, известны выражения для элементов мат-
риц (Sx), (Sy) и (Sz ).
Как должно быть известно читателю из курса линейной алгебры, произведение матриц в общем случае зависит от порядка сомножителей. В применении к тео-
рии спина это означает, что операторы ˆ , ˆ и ˆ могут не коммутировать друг с
Sx Sy Sz
другом. Возникает вопрос о том, каковы коммутаторы для операторов проекций
спина. Это очень важный вопрос, так как ответ на него должен определить — могут ли в одном и том же квантовом состоянии электрона или другой частицы все три проекции спина иметь определенные значения. Из весьма общих принципов квантовой механики, которые, к сожалению, мы не сможем здесь обсудить, следует, что операторы проекций спина обязаны удовлетворять точно таким же коммутационным соотношениям, что и проекции орбитального момента импуль-
ˆ |
ˆ |
ˆ |
(см. формулы (4.17) в разделе 4.3.). Таким образом, при любом s |
||||||||||
са Lx |
, Ly |
, Lz |
|||||||||||
коммутаторы операторов спина имеют вид |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
ˆ |
ˆ |
ˆ |
ˆ |
ˆ |
, |
ˆ |
ˆ |
ˆ |
(11.17) |
|
|
|
[Sx |
, Sy |
] = i Sz , |
[Sy |
, Sz |
] = i Sx |
[Sz |
, Sx |
] = i Sy. |
||
108
Между прочим, из них следует, что оператор квадрата спина (11.15) коммутирует
с каждым из операторов ˆ , ˆ и ˆ (см. упражнение 11.3.).
Sx Sy Sz
Формулы (11.17) приводят к некоторым соотношениям между элементами матриц спиновых операторов. В сочетании с другими требованиями к операторам спина, они позволяют найти матрицы (Sx), (Sy) и (Sz ). В важном случае s = 1/2
это двухрядные матрицы (11.13). Приведем их в явном виде:
|
|
|
0 |
1 |
|
|
|
0 |
i |
|
|
|
|
1 |
0 |
|
|
|||
(Sx) = |
|
|
|
1 |
0 |
, |
(Sy) = |
|
|
i |
−0 |
, |
(Sz ) = |
|
|
|
0 |
−1 |
. |
(11.18) |
2 |
2 |
2 |
||||||||||||||||||
Эти матрицы (без множителя /2) называются матрицами Паули в честь немецкого физика В. Паули, который внес крупный вклад в теорию спина.
Мы уже выяснили, что произведению спиновых операторов соответствует произведение матриц, поэтому матрицы (11.18) должны удовлетворять точно таким же коммутационным соотношениям (11.17), как и спиновые операторы. Рекомендуем читателю самостоятельно убедиться в этом, непосредственно перемножая матрицы Паули.
Найдем теперь матрицу (11.16), которая соответствует оператору квадрата спина. Вычислим сначала матрицу (Sx)2:
(Sx)2 ≡ (Sx)(Sx) = |
2 |
|
0 |
1 |
|
0 |
1 |
= |
2 |
|
1 |
0 |
. |
|
4 |
1 |
0 |
1 |
0 |
|
4 |
0 |
1 |
||||||
Легко проверить, что точно такой же результат дает вычисление матриц (Sy)2 и (Sz )2. Итак, все три матрицы в правой части (11.16) пропорциональны единичной
матрице, которая соответствует единичному оператору ˆ, вообще не меняющему
1
волновую функцию. Мы приходим к заключению, что в случае s = 1/2 оператор квадрата спина равен
ˆ2 |
|
3 2 |
ˆ |
(11.19) |
S |
= |
4 |
1. |
Отсюда вытекает одно важное физическое следствие. Пусть Ψ — произвольный спинор вида (11.7). Тогда мы имеем равенство
ˆ2 |
|
3 2 |
(11.20) |
|
S |
Ψ = |
4 |
Ψ. |
|
Оно означает, что оператор ˆ2 имеет всего одно собственное значение, равное
S
3 2/4. Иначе говоря, в любом квантовом состоянии частицы c s = 1/2 квадрат ее спина точно равен 3 2/4. Заметим, что эта величина совпадает с 2s(s + 1), если s = 1/2. Этот вывод согласуется с первой из формул (11.1).
|
ˆ |
равны ± /2. Соглас- |
Проверим теперь, что собственные значения оператора Sz |
||
но общим правилам квантовой механики, мы должны рассмотреть уравнение |
||
|
ϕ1 |
|
Sˆz Ψ = Sz Ψ, |
Ψ = ϕ2 , |
(11.21) |
109
где Sz — искомые собственные значения, а ϕ1(r ) и ϕ2(r ) — пока неизвестные ком-
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
. В раз- |
поненты спиноров, играющих роль “собственных функций” оператора Sz |
|||||||||
вернутом виде уравнение (11.21) выглядит как |
|
|
|
|
|||||
|
|
1 |
0 |
ϕ1 |
|
ϕ1 |
|
|
|
|
|
|
0 |
−1 |
ϕ2 = Sz |
|
ϕ2 |
. |
|
2 |
|
||||||||
После вычисления произведения матриц в левой части мы приходим к двум обыч-
ным уравнениям |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ1 |
= Sz ϕ1, |
− |
|
ϕ2 |
= Sz ϕ2. |
(11.22) |
|
|
|
||||||
2 |
2 |
|||||||
Их анализ довольно прост. Есть только две возможности удовлетворить этим урав-
нениям. Первая возможность: Sz |
= /2, ϕ1 |
— произвольная функция координат, |
||||||
ϕ2 = 0. Вторая возможность: Sz = − /2, ϕ2 |
— произвольная функция координат, |
|||||||
ϕ1 = 0. Мы видим, что оператор |
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
Sz имеет всего два собственных значения ± /2. |
||||||||
Им соответствуют спиноры |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ψ1/2 |
1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
Ψ↑ = |
0 ≡ ψ1/2 0 , |
Sz = |
2 |
, |
|
|||
|
|
|
|
(11.23) |
||||
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
Ψ↓ = |
ψ−1/2 |
≡ ψ−1/2 |
1 , |
Sz = − |
|
, |
||
2 |
||||||||
где ψ±1/2(r) — произвольные волновые функции частицы в состояниях с ms =
±1/2.
Мы отмечали в предыдущем разделе, что вместо спиноров можно использовать волновые функции, зависящие от координат и дискретной спиновой переменной σ.
Тогда формулы (11.23) для собственных функций оператора ˆ запишутся в виде
Sz
ψms (r, σ) = ψms (r) δσ,ms , ms = ± 1/2, |
(11.24) |
где δ — символ Кронекера.
В том, что ψ±1/2(r) — произвольные функции координат, нет ничего странного,
так как операторы спина не связаны с движением частицы в пространстве. В частности, эти функции могут быть собственными функциями других динамических переменных, операторы которых коммутируют с операторами спина1. Например,
могут быть собственными функциями оператора импульса ˆ. В этом слу-
ψ±1/2(r) p
чае они описывают свободное движение частицы и имеют вид
1 |
eip · r/ , |
||
ψ1/2(r ) = ψ−1/2(r ) = |
|
|
|
|
|
||
V |
|||
где p — импульс частицы, V — объем области движения. Таким образом, квантовым состояниям частицы с заданным значением импульса p и заданной проекцией
1К ним относятся все операторы, которые встречались ранее (проверьте!). Особого
рассмотрения требует гамильтониан ˆ , так как его вид меняется с учетом спина частиц.
H
110
спина на ось z (т. е. c заданным значением магнитного спинового числа ms), соответствуют волновые функции
1 |
eip · r/ δσ,ms . |
(11.25) |
ψp ms (r, σ) = V |
Произвольную волновую функцию частицы ψ(r, σ, t) можно представить в виде суперпозиции функций (11.25) с некоторыми комплексными амплитудами вероят-
ности ap m (t) (см. раздел 5.4.).
s
Внимательный читатель может задать законный вопрос: “Хорошо, я согласен, что наличие спина заставляет изменить способ описания квантовых состояний частицы, вводя дополнительную спиновую переменную σ в волновую функцию или используя спиноры. Но как быть с рассмотренными ранее задачами, в которых никакой спиновой переменной не вводилось, а состояние частицы задавалось одной волновой функцией ψ(r, t), зависящей только от координат и времени? На каком основании там ничего не говорилось о спине? ”. Ответим. Дело в том, что мы сознательно избегали рассматривать такие воздействия на частицу, которые влияют на ее спин. Поэтому неявно предполагалось, что спиновое состояние частицы оставалось неизменным . Если поведение частицы во внешнем поле не зависит от ее спинового состояния, то полную волновую функцию можно записать как произведение ψ(r, σ, t) = ψ(r, t) χ(σ). Координатная часть ψ(r, t) не зависит от переменной σ, а спиновая часть волновой функции χ(σ) определяется только начальными условиями. Например, для электрона
χ(σ) = c1/2 δσ,1/2 + c−1/2 δσ,−1/2, |
(11.26) |
где c1/2 и c1/2 — некоторые постоянные комплексные коэффициенты (амплитуды
вероятности спиновых состояний с Sz = /2 и Sz = − /2). Нас интересовала лишь координатная волновая функция ψ(r, t), поэтому постоянная спиновая часть волновой функции просто не выписывалась явно. Теперь, если это необходимо, в предыдущих параграфах можно восстановить множитель χ(σ) во всех волновых функциях.
Для завершения схемы описания квантовых состояний частицы с учетом спина нам осталось рассмотреть вопрос о вычислении средних значений. Кроме динамических переменных, операторы которых действуют на координатные волновые функции1, можно построить динамические переменные, операторы которых вклю-
чают ˆ , ˆ и ˆ . Простейший пример — сами операторы проекций спина.
Sx Sy Sz
Сначала напомним правило вычисления средних значений без учета спина. Ес-
ли ˆ ˆ ˆ — оператор динамической переменной, составленный только из
A = A(r, p )
операторов координат и импульса, то среднее значение этой динамической переменной в момент времени t дается формулой
A t = |
ψ (r, t) (Aψˆ |
)(r, t) dV, |
(11.27) |
|
|
ˆ |
|
где ψ(r, t) — координатная часть волновой функции, Aψ — функция, которая по- |
|||
лучается из ψ при действии на нее оператора |
ˆ |
|
|
A. Как мы видели в разделе 11.1., |
|||
1К ним относятся операторы вида ˆ = (ˆ ˆ), составленные из операторов координат
A A r, p
и импульса.
111
квантовое состояние частицы со спином можно задать волновой функцией ψ(q, t), зависящей от составной переменной q = (r, σ). Поэтому естественным обобщением
ˆ |
ˆ ˆ |
ˆ |
|
|
|
будет выражение |
|
||
формулы (11.27) на операторы A = A(r, p, |
S ) |
|
||
A t = |
ψ (q, t) (Aψˆ )(q, t) dq. |
(11.28) |
||
Напомним, что символ интеграла по q включает интегрирование по координатам и суммирование по спиновой переменной. Действие спиновых операторов на волновую функцию сводится к линейным преобразованиям типа (11.12), поэтому в
развернутом виде формула (11.28) выглядит так: |
(11.29) |
||
A t = σ, σ |
|
ψ (r, σ, t) (Aˆ)σσ ψ(r, σ , t) dV, |
|
|
|
|
|
ˆ |
— матрица по отношению к спиновым индексам и оператор по отноше- |
|||
где (A)σσ |
||||
нию к координатной части волновой функции. В качестве иллюстрации запишем |
||||
выражение для средних значений проекций спина: |
i = x, y, z. |
(11.30) |
||
|
Si t = σ, σ |
ψ (r, σ, t) (Si)σσ ψ(r, σ , t) dV, |
||
|
|
|
|
|
В случае s = 1/2 входящие сюда матрицы спиновых операторов даются формулами (11.18).
Выражения для средних значений принимают более компактный вид, если в качестве волновой функции частицы со спином s = 1/2 использовать спинор (11.7). Легко проверить (оставляем это читателю), что в спинорном представлении фор-
мула (11.29) для произвольной динамической переменной эквивалентна формуле
A |
t |
= |
† ˆ |
(11.31) |
|
Ψ AΨ dV. |
Эта запись бывает очень удобна для математических преобразований средних значений, однако для практических вычислений приходится, конечно, все выражения записывать в развернутом виде через компоненты спиноров. Применим, например,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
: |
|
|
формулу (11.31) к проекции оператора спина Sx |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
ψ1/2 |
|
|
|
|||
Sx t = |
|
|
ψ1/2 ψ−1/2 1 |
0 |
ψ−1/2 |
dV = |
|
|
||||||
|
2 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ψ−1/2 |
dV = |
|
|
|
|
||
= |
|
|
ψ1/2 ψ− |
1/2 |
ψ1/2 |
|
,ψ1/2 ψ−1/2 + ψ− |
1/2 ψ1/2 |
- dV. |
|||||
2 |
2 |
|||||||||||||
Вспоминая теперь определение скалярного произведения функций (5.9), получаем
Sx t = |
|
ψ1/2|ψ−1/2 + ψ−1/2|ψ1/2 = Re ψ1/2|ψ−1/2 . |
(11.32) |
2 |
На последнем этапе мы учли свойство (5.11) скалярного произведения функций, согласно которому ψ−1/2|ψ1/2 = ψ1/2|ψ−1/2 . Если координатные волновые функ-
ции ψ1/2(r, t) и ψ−1/2(r, t) ортогональны, т. е. их скалярное произведение равно
нулю, то в таком квантовом состоянии Sx = 0. Предлагаем читателю самостоятельно найти Sx в случае, когда ψ1/2 = ψ−1/2 (см. упражнение 11.5.).