Учебник Основы квантовой механики

232

Символ Кронекера имеет тот же смысл, что и в (12.24): величина δ{nl},{nl} равна

единице, если наборы чисел заполнения совпадают, и равна нулю, если nl = nl хотя бы для одного |l .

К сожалению, волновые функции (17.2) зависят от огромного числа переменных, если число частиц N в системе велико. Поэтому желательно избежать их использования при вычислении средних значений физических величин, матричных элементов операторов и т. д. Все это несколько напоминает ситуацию с осциллятором. Напомним, что там оказались очень удобными операторы рождения и уничтожения, которые действовали непосредственно на базисные состояния и меняли число квантов возбуждения. Удивительно, но факт: тот же прием срабатывает и для системы из одинаковых частиц, подчиняющихся статистике Бозе-Эйнштейна.

Итак, попытаемся действовать по аналогии с осциллятором. Введем операторы уничтожения и рождения частиц в одночастичных состояниях |l .

Обозначим их aˆl и aˆ†l . Договоримся, что эти операторы действуют на базисные состояния (17.1) по правилам [ср. (16.85)]

aˆl | . . . , nl, . . . = √nl | . . . , nl − 1, . . . ,

(17.4) aˆ†l | . . . , nl, . . . = nl + 1 | . . . , nl + 1, . . . .

Точками обозначены числа заполнения остальных одночастичных состояний |l с

l = l. Они не меняются при действии операторов aˆl и aˆ†l на вектор состояния системы.

Соотношения (17.4) полностью определяют операторы рождения и уничтожения. В самом деле, с их помощью легко вычислить матричные элементы в пред-

ставлении чисел заполнения {nl}|aˆl|{nl} и {nl}|aˆ†l |{nl} , а затем, если нужно, — в любом другом представлении, следуя правилам, изложенным в разделе 16.2. В теории многочастичных квантовых систем важную роль играют операторы

Они эрмитовы (проверьте!) и, согласно (17.4), действуют на базисные векторы состояния следующим образом:

Операторы nˆl называются операторами числа частиц в состояниях |l или операторами чисел заполнения.

Докажем, что операторы рождения и уничтожения aˆ†l и aˆl удовлетворяют коммутационному соотношению

которое аналогично соотношению (16.86) для осциллятора. Так как любой вектор состояния системы, состоящей из одинаковых бозонов, можно записать в виде суперпозиции базисных состояний (17.1), т. е.

|Ψ(t) = C ({nl}, t) | . . . , nl, . . . , (17.8)

{nl}

то достаточно доказать, что для любого базисного состояния

aˆlaˆ†l − aˆ†l aˆl | . . . , nl, . . . = | . . . , nl, . . . .

233

Это равенство легко проверить, используя правила (17.4).

Операторы рождения и уничтожения, относящиеся к разным одночастичным состояниям, коммутируют друг с другом:

Доказательство этих почти очевидных соотношений мы оставляем читателю (см. упражнение 17.1.). Объединяя формулы (17.7) и (17.9), запишем основные коммутационные соотношения для операторов рождения и уничтожения в виде

где l и l — произвольные индексы одночастичных состояний. В квантовой механике операторы рождения и уничтожения, удовлетворяющие коммутационным соотношениям (17.10), принято называть бозе-операторами. Такие операторы встречаются не только в теории систем, состоящих из “обычных” частиц с целым спином. Например, операторы рождения и уничтожения для квантового осциллятора (см. раздел 16.4.) также являются бозе-операторами. Другой физически интересный пример относится к квантовой оптике, т. е. к фотонной теории электромагнитного излучения. Для описания квантовых состояний электромагнитного поля также удается построить представление чисел заполнения и определить операторы рождения и уничтожения фотонов в состояниях |p, α , где p — импульс фотона, а α характеризует поляризацию фотона (см. стр. 214). Соответствующие

операторы рождения фотонов aˆ†p α и aˆp α также являются бозе-операторами. Отметим, что сами по себе операторы рождения и уничтожения не соответству-

ют каким-либо наблюдаемым величинам. Зачем же они нужны? Дело в том, что

оператор любой физической величины для системы из одинаковых бозонов можно выразить через операторы рождения и уничтожения.

Наиболее важные операторы динамических переменных для многочастичной системы имеют вид

оператор, действующий на координаты частиц с номерами i и j. Динамическая пе-

ременная, оператор которой ˆ(1) есть сумма операторов для отдельных частиц, на-

A

зывается аддитивной динамической переменной; динамические переменные

с операторами ˆ(2) обычно называются динамическими переменными бинар-

A

ного типа. В некоторых задачах квантовой механики встречаются операторы более сложной конструкции, но мы не будем здесь ими заниматься.

В качестве иллюстрации приведем простые примеры динамических переменных вида (17.11). Аддитивной динамической переменной является кинетическая

динамических переменных относятся к аддитивным переменным и к переменным бинарного типа.

235

Для иллюстрации того, насколько представление чисел заполнения для многочастичных систем удобнее, чем координатное представление, рассмотрим идеальный квантовый газ, состоящий из N одинаковых бозонов. Эту модель принято называть бозе-газом.

В идеальном квантовом газе частицы не взаимодействуют друг с другом, поэтому гамильтониан системы совпадает с оператором кинетической энергии:

Сам гамильтониан, конечно, очень прост, но в координатном представлении квантовое состояние системы описывается симметризованной волновой функцией Ψ(s)(q1, q2, . . . , qN , t), зависящей от огромного числа переменных. Найдем гамильтониан (17.17) в представлении чисел заполнения, где квантовое состояние газа определяется набором амплитуд вероятности C ({nl}, t) в разложении (17.8), а все динамические переменные выражаются через операторы рождения и уничтожения.

Прежде всего нужно выбрать одночастичные состояния |l , с помощью которых строится представление чисел заполнения. В принципе, эти состояния можно выбрать как угодно, лишь бы они образовывали полный набор состояний для одной частицы. Желательно, однако, выбрать состояния |l так, чтобы гамильтониан выглядел попроще. Заметим, что гамильтониан идеального квантового газа (17.17)

относится к аддитивным динамическим переменным типа ˆ(1) [см. (17.11)], при-

A

чем роль одночастичного оператора ˆ(1) играет оператор кинетической энергии

A

pˆ2/2m. Поэтому гамильтониан (17.17) выражается через операторы рождения и уничтожения формулой (17.13). Естественно выбрать одночастичные состояния |l так, чтобы матрица l |pˆ2|l была диагональной. Легко сообразить, что подходящими одночастичными состояниями, образующими полный и ортонормированный набор, являются состояния |l = |p, ms , где p — импульс частицы, а ms — магнитное квантовое число, которое определяет проекцию спина частицы (если он не равен нулю) на ось квантования z. Таким образом, основными операторами, с помощью которых можно записать гамильтониан и все интересующие нас операто-

ры динамических переменных, являются операторы рождения aˆ†p, ms и операторы

уничтожения aˆp, ms

Здесь, правда, нужно сделать одно замечание. Как мы видели в разделе 5.7., спектр значений импульса частицы может быть непрерывным (если область движения не ограничена) и дискретным (если частица движется в конечном объеме V ). Наши предыдущие рассуждения относились к случаю, когда базисные одночастичные состояния |l нумеруются дискретным индексом l. Действительно, всюду мы писали суммы по l, а это можно делать только тогда, когда этот индекс дискретный. В принципе, можно было бы обобщить всю схему на случай непрерывного набора базисных одночастичных состояний, но это не обязательно. Более того, само предположение о том, что объем, занимаемый газом (или любой другой системой частиц), бесконечен, физически абсурдно, поскольку средняя плотность частиц в бесконечном объеме равна нулю! Обычно поступают так. Объем системы V считается большим, но конечным. Тогда спектр импульса частицы является дискретным и дается формулами (5.62). В конце вычислений, если необходимо, можно перейти от суммирования по возможным проекциям импульса к интегрированию согласно правилу (5.63).

237

а каждое из np , m может принимать любое целое значение от нуля до N . Итак,

s

стационарные состояния бозе-газа отличаются друг от друга тем, что частицы по-разному распределены по одночастичным состояниям |p, ms , причем энергия всей системы в стационарном состоянии равна сумме энергий свободно движущихся частиц. Это вполне согласуется с нашими интуитивными представлениями об “идеальном газе”.

Отметим одно важное обстоятельство. В основном состоянии бозе-газа все N частиц имеют минимальную энергию ε(p ) = 0, которая соответствует нулевому значению импульса. Как мы увидим в следующем разделе, для идеального квантового газа из одинаковых фермионов это не так.

Произвольное квантовое состояние бозе-газа описывается вектором состояния

где суммирование ведется по всем наборам чисел заполнения, удовлетворяющим

условию (17.25). Величины w({np , ms }; t) = |C({np , ms }; t)|2 есть вероятности различных наборов чисел заполнения в состоянии |Ψ(t) .

Найдем, как меняются со временем средние числа заполнения одночастичных состояний

В принципе, это уравнение справедливо для системы с любым гамильтонианом. В случае идеального квантового газа, когда гамильтониан имеет вид (17.22), правая часть уравнения (17.28) равна нулю, так как операторы чисел заполнения коммутируют друг с другом (см. упражнение 17.2.). Таким образом, если частицы не взаимодействуют друг с другом, то средние числа заполнения одночастичных состояний не зависят от времени и равны их значениям в некоторый начальный момент времени.

Напомним, однако, фундаментальный физический принцип, который гласит, что в любой многочастичной системе со временем устанавливается равновесное макроскопическое состояние или, как часто говорят, — тепловое равновесие. В

тепловом равновесии должно существовать некоторое распределение частиц n¯p , m

s

по одночастичным квантовым состояниям, которое не зависит от начального распределения и определяется лишь внешними условиями (например, температурой газа). Может ли уравнение (17.28) описать процесс установления теплового равновесия? Оказывается, что может, но для этого в гамильтониане нужно учесть оператор взаимодействия2.

1При использовании формулы (4.32) нужно учесть, что операторы чисел заполнения

nˆp , m не зависят от времени.

s

2Если взаимодействие частиц с номерами i и j описывается энергией взаимодействия U (|ri −rj |), то оператор взаимодействия всех частиц относится к динамическим переменным бинарного типа [см. (17.14)].

238

Изучением неравновесных процессов в квантовых системах и их равновесных макроскопических свойств занимаются специальные разделы квантовой теории:

квантовая кинетика и квантовая статистическая механика. По понятным причинам мы не можем здесь углубляться в эти интересные, но довольно сложные науки. Отметим только, что представление чисел заполнения играет в них исключительно важную роль. В частности, уравнение (17.28) служит прообразом так называемых квантовых кинетических уравнений, описывающих неравновесные процессы в кристаллах, плазме и других макроскопических системах, где необходимо учитывать квантовые эффекты.

17.2.Представление чисел заполнения для фермионов

Если система состоит из N одинаковых фермионов, т. е. частиц с полуцелым спином, подчиняющихся статистике Ферми-Дирака, то в изложенную выше схему нужно внести изменения.

Прежде всего напомним, что в координатном представлении любая волновая функция системы фермионов должна быть антисимметрична относительно перестановки любой пары частиц. Поэтому нужно исходить из разложения (12.36) волновой функции по антисимметризованным произведениям одночастичных волновых функций (12.32). Как и в случае бозонов, квантовое состояние системы

Представление чисел заполнения для фермионов строится примерно так же, как и в предыдущем разделе. Расположим значения индекса одночастичных состояний l в некотором порядке и введем базисные векторы состояния системы (17.1), где {nl} — наборы чисел заполнения, удовлетворяющие дополнительному условию (12.23). Отметим еще раз, что для фермионов {nl} — последовательность нулей и единиц. В координатном q-представлении базисные состояния системы описываются антисимметричными волновыми функциями (12.32), т. е.

Любой вектор состояния системы фермионов |Ψ(t) может быть представлен в виде разложения по базисным векторам, которое формально совпадает с формулой (17.8) для бозонов, но в данном случае аргументом амплитуды C({nl}, t) является последовательность нулей и единиц.

Теперь требуется определить операторы рождения aˆ†l и уничтожения aˆl частиц так, чтобы операторы динамических переменных типа (17.11) выражались через операторы рождения и уничтожения формулами (17.13) и (17.14). Легко заметить,

что для фермионов прежние правила действия (17.4) операторов aˆ†l и aˆl не годятся. Рассмотрим, например, второе правило. Если nl = 1, т. е. одночастичное состо-

яние |l “заполнено”, то в результате действия оператора aˆ†l получается состояние системы, в котором nl = 2. Это, однако, противоречит принципу Паули, согласно которому два тождественных фермиона не могут находиться в одном и том же одночастичном состоянии. Таким образом, пытаясь распространить правила (17.4)

239

на системы фермионов, мы получаем не существующие в природе состояния или, как обычно говорят, нефизические состояния.

Для того, чтобы правильно определить действие операторов рождения и уничтожения для систем фермионов, нужно рассмотреть матричные элементы операторов динамических переменных вида (17.12), но с антисимметричными волновыми функциями (12.32), а потом “угадать” правила действия операторов рождения

и уничтожения. Это впервые удалось двум физикам — П. Йордану и Е. Вигнеру в 1928 г. Мы не будем приводить соответствующие математические детали, а сразу выпишем правила действия операторов рождения и уничтожения на базисные векторы состояния системы фермионов:

k=1

ющих состоянию |l . Как видим, правила оказались более сложными, чем для бозонов. Впрочем, для практических вычислений сами эти правила используются очень редко. Обычно достаточно знать основные свойства операторов рождения и уничтожения, которые мы теперь рассмотрим.

Покажем, что оператор числа частиц в состоянии |l , как и в случае бозонов, имеет вид (17.5). С этой целью найдем, как действует оператор nˆl на базисные векторы состояния системы. Используя формулы (17.30), пишем

aˆ†l aˆl | . . . , nl, . . . = (−1)νl √nl aˆ†l | . . . , 1 − nl, . . . = nl | . . . , nl, . . . .

Итак, мы приходим к соотношению

которое показывает, что nˆl = aˆ†l aˆl действительно играет роль оператора числа частиц в состоянии |l .

Проверим теперь, что при действии операторами aˆl и aˆ†l на базисные состояния системы не возникает нефизических состояний с числами заполнения, превышающими единицу. Опять используя формулы (17.30), находим

Особо отметим последнее равенство. Благодаря ему нефизические состояния системы с nl > 1 не появляются в теории. Кроме того, из равенств (17.32) следует, что

Эти свойства операторов рождения и уничтожения фермионов несколько необычны; до сих пор не встречались операторы, квадрат которых был бы равен нулю.

240

Как и в случае бозонов, очень важны коммутационные соотношения для опе-

раторов рождения и уничтожения. Посмотрим, что дает действие оператора aˆlaˆ†l на базисные векторы состояния системы. Применяя правила (17.30), пишем

aˆlaˆ†l | . . . , nl, . . . = (−1)νl 1 − nl aˆl| . . . , 1 − nl, . . . = (1 − nl)| . . . , nl, . . . .

Итак,

Сравнивая это равенство с (17.31), видим, что коммутатор aˆlaˆ†l −aˆ†l aˆl не равен еди-

ничному оператору ˆ, как это было в случае бозонов. Заметим, однако, что можно

1

получить единичный оператор, если вместо коммутатора построить другую конструкцию из операторов рождения и уничтожения. Введем для любых двух опе-

Из (17.31) и (17.34) следует, что

aˆlaˆ†l + aˆ†l aˆl | . . . , nl, . . . = | . . . , nl, . . . .

Поскольку это равенство справедливо для любого базисного вектора состояния, имеем

Нетрудно доказать, что операторы рождения и уничтожения фермионов, относящиеся к разным одночастичным состояниям |l и |l , антикоммутируют друг с другом, т. е.

Идея доказательства всех этих равенств одна и та же, поэтому мы ограничимся

равенством {aˆ†l , aˆ†l } = 0. Доказательство остальных равенств оставляем читателю в качестве упражнения.

Так как любой вектор состояния системы записывается в виде суперпози-

ции (17.8), то достаточно проверить, что при действии операторов aˆ†l aˆ†l и aˆ†l aˆ†l на любой базисный вектор состояния | . . . , nl, . . . , nl , . . . результаты различаются лишь знаком. Предположим сначала, что l < l . Тогда, следуя правилам (17.30), находим

aˆ†l aˆ†l | . . . , nl, . . . , nl , . . . =

= (−1)νl +νl 1 − nl 1 − nl | . . . , 1 − nl, . . . , 1 − nl , . . . .

Изменив порядок операторов в произведении, получим соотношение

aˆ†l aˆ†l | . . . , nl, . . . , nl , . . . =

= (−1)νl +νl+1 1 − nl 1 − nl | . . . , 1 − nl, . . . , 1 − nl , . . . .

241

Во втором случае появляется дополнительный множитель (−1). Каково его происхождение? Дело в том, что оператор aˆ†l изменяет число заполнения nl. Если

в исходном базисном состоянии системы nl = 0, то после действия aˆ†l получается состояние с nl = 1. Так как мы предположили, что l < l , то в состоянии системы,

на которое действует aˆ†l , число заполненных одночастичных состояний, предшествующих |l , возросло на единицу. Это и приводит к появлению дополнительного множителя (−1) в результате. Если l > l , рассуждения проводятся совершенно аналогично, поэтому мы не будем их повторять1.

Итак, операторы рождения и уничтожения фермионов удовлетворяют “антикоммутационным” соотношениям

Они заменяют коммутационные соотношения (17.10) для бозонов. В квантовой механике операторы рождения и уничтожения, удовлетворяющие соотношениям (17.38), принято называть ферми-операторами. С помощью фермиоператоров описывается, например, система электронов в кристаллах. В качестве одночастичных состояний |l обычно выбираются стационарные состояния элек-

спиновое число. Эти состояния подробно обсуждались в параграфе 15.

Важным обстоятельством является то, что операторы динамических пе-

частности, для аддитивных динамических переменных и переменных бинарного

типа [см. (17.11)] получаются выражения (17.13) и (17.14), где теперь aˆl и aˆ†l — ферми-операторы. Таким образом, тип статистики частиц в рассматриваемой системе автоматически учитывается алгебраическими свойствами соответствующих операторов рождения и уничтожения, а многие формулы имеют совершенно одинаковый вид как для бозонов, так и для фермионов. Это значительно упрощает исследование свойств многочастичных квантовых систем с помощью представления чисел заполнения.

Упражнения

17.1. Доказать коммутационные соотношения (17.9).

Указание: Достаточно проверить, что любой из коммутаторов (17.9) при действии на любой базисный вектор состояния |{nl} дает нуль.

17.2. Доказать, что операторы чисел заполнения nˆl для бозонов коммутируют друг с другом.

Указание: Достаточно проверить, что коммутатор [ˆnl, nˆl ] при действии на любой базисный вектор состояния |{nl} дает нуль. Для этого проще всего восполь-

1Случай, когда в исходном базисном состоянии системы nl = 1, можно не рассматри-

вать, так как оба оператора aˆ†l aˆ†l и aˆ†l aˆ†l при действии на такое базисное состояние дают нуль.

2Можно, конечно, характеризовать состояние электрона не волновым вектором , а k

квазиимпульсом = . p k