Решение. В данной ситуации задачи имеют однозначные решения, которые определяются формулами
|
|
х |
|
+ |
|
х |
|
|
|
= |
1, |
|
|
|
|
= |
|
0,6 − mP |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
0 |
|
|
|
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0,4 |
|
|
σ |
|
= (1− х |
|
σ) |
|
. |
|
||||||||
|
|
0,6х |
|
|
+ |
0,2х |
|
|
= |
m |
|
, |
|
|
|
|
|
p |
0 |
r |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
х1 = |
1− х0 , |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
0 |
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Результаты вычислений оформляем табл. 6.5. |
|
|
|
|
Таблица 6.5 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
Вло- |
Эффект. порт. |
|
|
Ожид. |
|
|
Структура портфелей |
|
|
|
СКО |
|||||||||||||||||||
N |
же- |
|
|
|
|
mP |
|
|
|
|
|
|
выиг- |
|
|
Доли |
|
|
|
Деньги |
|
|
|
σ Р |
|
||||||
|
ния |
Части |
|
|
|
% |
|
|
рыш |
0,6 |
|
0,2 |
|
|
|
0,6 |
|
0,2 |
|
|
|
|
|
||||||||
1 |
100 |
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
100 |
–0,5 |
|
1,5 |
|
|
|
–50 |
|
150 |
|
|
|
2 |
|
||||||
2 |
100 |
0,2 |
|
|
|
20 |
|
|
120 |
0 |
|
|
1 |
|
|
|
0 |
|
|
100 |
|
|
|
0 |
|
||||||
3 |
100 |
0,4 |
|
|
|
40 |
|
|
140 |
0,5 |
|
0,5 |
|
|
|
50 |
|
|
50 |
|
|
|
2 |
|
|||||||
4 |
100 |
0,6 |
|
|
|
60 |
|
|
160 |
1 |
|
|
0 |
|
|
|
100 |
|
0 |
|
|
|
4 |
|
|||||||
5 |
100 |
1 |
|
|
|
100 |
|
|
200 |
2 |
|
|
|
–1 |
|
|
|
200 |
|
–100 |
|
|
|
8 |
|
||||||
6 |
100 |
2 |
|
|
|
200 |
|
|
300 |
4,5 |
|
|
–3,5 |
|
|
|
450 |
|
–350 |
|
|
|
18 |
|
|||||||
7 |
100 |
10 |
|
|
1000 |
|
|
1100 |
24,5 |
|
|
–23,5 |
|
|
|
2450 |
|
–2350 |
|
|
98 |
|
|||||||||
8 |
100 |
100 |
|
10000 |
|
10100 |
249,5 |
|
–248,5 |
|
|
24950 |
|
–24850 |
|
|
998 |
|
|||||||||||||
Объяснение шестой ситуации. Имеется 100 гривен. В долг берется 350 гривен под 20%. Стало 450 гривен. 450 вкладывается под 60%. Получается
450 + 0,6 450= 720. Отдается кредит 350 + 0,2 350 = 420. Осталось
720–420=300. Эффективность финансовой операции равна (300–100)/100 = 2 или 200%. Из таблицы видно, что с ростом эффективности растет и риск
(СКО, σ ).
6.7. Нахождение оптимальной структуры портфеля с помощью компьютера
В случае допустимости "short sale" оптимальную структуру портфеля можно легко найти с помощью нахождения некоторой обратной матрицы, которую надо находить с помощью Excel.
а) Случай отсутствия безрисковых ценных бумаг.
Для определенности рассмотрим портфель из трех ценных бумаг. V = ∑ xi x j Vij → min,
33
m1x1 + m2 x 2 + m |
3 x 3 = mp , |
|
|
x1 + x 2 + x 3 |
= 1. |
|
||
Составляем матрицу Z и находим обратную матрицу Z-1. Способ нахождения обратной матрицы надо узнать. Он рассматривался в курсе эконометрии. Последовательность действий при нахождении обратной матрицы та-
кая: 1) Пуск, 2) Программы, 3) Office97, 4) Microsoft EXCEL, 5) Набрать квадратную матрицу, 6) Выбрать место (черным затенением) для обратной матрицы таких же размеров, как и исходная матрица, 7) f* , 8) Выделить МОБР, 9) ОК, 10) В центре выбрать массив, 11) Выделить пунктиром исходную матрицу, 12) Одновременно (два раза подряд) нажать три клавиши
[Control, , ]. Может быть и другая последовательность действий.
|
|
2V |
2V |
2V |
m |
1 |
1 |
|
|
|
− |
− |
− |
d |
14 |
d |
15 |
|
|
|
|
11 |
12 |
13 |
|
|
|
|
|
|
− |
− |
− |
|
|
|
|||
|
|
2V21 |
2V22 |
2V23 |
m2 |
1 |
|
|
|
|
d 24 |
d 25 |
|
||||||
Z = |
|
2V |
2V |
2V |
m |
3 |
1 |
|
, Z− 1 |
= |
|
− |
− |
− |
d |
34 |
d |
35 |
. |
|
|
31 |
32 |
33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
m1 |
m2 |
m3 |
0 |
0 |
|
|
|
|
− |
− |
− |
− |
− |
|
|||
|
|
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
− |
− |
− |
− |
− |
|
|||
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В обратной матрице используются только шесть чисел
a =
|
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
d14 |
|
|
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда |
|
x*2 |
|
= a mp + |
b = |
|
d24 |
|||
|
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
d34 |
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
d14
d24
d34
mp + mp + mp +
|
|
|
|
|
|
d |
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
b = |
d |
|
|||||
|
|
25 |
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
d |
35 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
d15 d25 ,
d35
x* = |
d |
14 |
m |
p |
+ |
d |
15 |
, |
x* |
= |
d |
24 |
m |
p |
+ |
d |
25 |
, |
x* |
= |
d |
34 |
m |
p |
+ |
d |
35 |
. |
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
В рассмотренном выше примере
34
|
|
16 |
2 |
− |
4 |
10 |
|
1 |
|
|
|
|
− |
|
− |
− |
|
|
0.159 |
|
− 0,580 |
|
|
|||
|
|
2 |
4 |
− |
2 |
|
5 |
|
1 |
|
|
|
|
|
− |
|
− |
− |
|
− |
0.057 |
|
0,529 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Z = |
|
− 4 |
− 2 |
|
2 |
|
3 |
|
1 |
|
, Z− 1 = |
|
− |
|
− |
− |
|
− |
0.102 |
|
1,051 |
|
, |
|||
|
|
10 |
5 |
|
3 |
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
− |
|
− |
− |
|
|
|
− |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
1 |
1 |
|
1 |
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
− |
|
− |
− |
|
|
|
− |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,159 |
|
|
|
|
− |
0,580 |
|
|
|
0,376 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
x* = |
|
− |
0,057 |
|
6 |
+ |
|
|
0,529 |
|
= |
|
0,185 |
|
, |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
0,102 |
|
|
|
|
|
1,051 |
|
|
|
0,439 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
x1* = 37,6%, x*2 |
= |
18,5%, x*3 = |
43,9%, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
V* |
= |
8 0,3762 + 2 1 0,185 0,376 + |
2 0,1852 |
− 2 2 0,376 0,439 − |
|
|
||||||||||||||||
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 2 0,185 0,439 + |
1 0,4392 = |
0,709, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
σ *p |
= |
0,709 = |
0,842 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
б) Случай наличия рисковых ценных бумаг. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
V = |
∑ |
xi x jVij → |
min, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
m1x1 + |
m2 x2 + m3x3 + r0 x0 = mp , |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 + x2 + x3 + x0 = 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Снова составляем новую матрицу Z и находим обратную к ней. |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
2V11 |
2V12 |
2V13 |
m1 |
1 |
|
0 |
− |
− |
− |
d14 |
d15 |
− |
|
|||||||
|
|
2V21 |
2V22 |
2V32 |
m2 |
1 |
|
0 |
|
|
− |
− |
− |
d24 |
d25 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
− |
|
||||||||||||||||
Z = |
|
2V |
2V 2V m |
|
1 |
|
0 |
|
|
− |
− |
− |
d |
|
d |
|
− |
|
||||
|
31 |
32 |
33 |
|
3 |
0 |
|
|
, Z− 1 = |
− |
− |
− |
|
34 |
|
35 |
|
|
||||
|
|
m1 |
m2 |
m3 |
0 |
r0 |
|
− |
− |
− |
|
|||||||||||
|
|
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
|
1 |
|
|
− |
− |
− |
− |
− |
− |
|
|||||
|
|
0 |
0 |
0 |
r0 |
1 |
|
0 |
|
|
− |
− |
− |
d64 |
d65 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
− |
\ |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Чтобы найти оптимальную структуру рисковой части, достаточно вы- |
||||||||||||||||||||||
писать только три числа |
|
= |
(d15 , d25 , d35 ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Тогда
35
x*r1 |
= |
|
d15 |
|
, |
x*r 2 = |
d25 |
|
, |
x*r3 = |
d35 |
|
|
, |
d15 |
+ d25 + |
|
d15 + d25 + |
|
d15 + d25 |
+ |
|
|||||||
|
|
d35 |
|
d35 |
|
d35 |
||||||||
m*r = x*r1m1 + x*r 2m2 + x*r3m3 .
Полностью выписывать восемь чисел c, d надо, если требуется найти структуру портфеля с эффективностью mp. В этом случае
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
14 |
m |
p |
+ |
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
15 |
||||
|
* |
|
|
|
|
|
|
d24mp |
d25 |
|
||||||
x |
= c mp + |
d = |
||||||||||||||
|
|
d34mp |
+ |
d |
35 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
d64mp |
+ |
d |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
65 |
|
|||||||
В рассмотренном выше примере
x1*
=x*
2 .
x*3
x*0
|
|
16 |
2 |
− 4 10 |
|
1 |
0 |
|
− |
|
− |
|
− |
− |
− 0,113 |
− |
|
|||||||
|
|
2 |
4 |
− |
2 |
5 |
|
1 |
0 |
|
|
|
− |
|
− |
|
− |
− |
− |
0,211 |
− |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Z = |
|
− 4 − |
2 |
|
2 |
3 |
|
1 |
0 |
|
|
|
− |
|
− |
|
− |
− |
− |
0,462 |
− |
|
||
|
10 |
5 |
|
3 |
0 |
|
0 |
2 |
, Z− 1 |
= |
− |
|
− |
|
− |
− |
|
− |
− |
. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
1 |
1 |
|
1 |
0 |
|
0 |
1 |
|
|
|
− |
|
− |
|
− |
− |
|
− |
− |
|
||
|
|
0 |
0 |
|
0 |
2 |
|
1 |
0 |
|
|
|
− |
|
− |
|
− |
− |
|
− |
− |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x*r1 = |
|
|
− |
0,113 |
|
|
|
= |
0,144, |
x*r 2 |
= |
|
|
|
− |
0,211 |
|
= 0,268, |
||||||
|
− 0,113 − |
0,211− |
0,462 |
− |
0,113 − |
0,211− 0,462 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x*r3 |
= |
|
|
|
− |
0,462 |
|
|
|
|
= |
0,588. |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
− |
0,113 − |
0,211− |
|
0,462 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x*r1 = 14,4%, |
|
|
|
|
|
x*r2 |
= |
26,8%, |
|
|
|
|
|
x*r3 |
= 58,8%. |
|
|
|||||||
При этом |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
mr |
= |
0,144 10 + |
0,268 5 + |
0,588 3 = |
4,544, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
36
V* |
= |
8 0,1442 + |
2 1 |
0,268 |
0,144 + 2 0,2682 − 2 2 0,144 0,588 − |
r |
|
|
|
|
|
− 2 0,268 0,588 + 1 |
0,588 |
2 = 0,0786, |
|||
σ*r = 0,0786 = 0,28.
Влитературе иногда структуру рисковой части находят с помощью
уравнения касательной. На рис 6.6 это касательная r0K . Но так решать относительно громоздко и поэтому неудобно.
Все вычисления значительно упрощаются при использовании программы QSB+. Она помещается на одну дискету и поэтому ей удобно пользоваться. Ее можно перенести на свою дискету в учебном классе.
Пользоваться программой QSB+ надо следующем образом. В QSB+ выбираем Qsb. exe и программу „квадратичное программирование“. В случае отсутствия безрисковых ценных бумаг выбираем опции min, количество переменных – 3, количество ограничений – 2 и т.д. то есть по столбцу: (2,3,2,- ,1,0,1).
Потом вносим данные в компьютер:
0 |
0 |
0 |
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
V11 |
V12 |
V13 |
|
|
|
|
||||
|
|
8 |
1 |
− 2 |
|
|
||||
V21 |
V22 |
V23 |
|
|
1 |
2 |
− 1 |
|
|
|
V31 |
V32 |
V33 |
|
|
− 2 − 1 1 |
= |
6 |
|||
m1 |
m2 |
m3 |
= |
mp |
10 |
5 |
3 |
|||
1 |
1 |
1 |
= |
1 |
||||||
1 |
1 |
1 |
= |
1 |
||||||
|
|
|
|
|
||||||
Выбираем <<решение>> и получаем ответ: (0,375; 0,184; 0,441).
В случае наличия рисковых ценных бумаг с эффективностью r0 выбираем min, количество переменных – 4, количество ограничений – 2 и т. д. Потом вносим данные
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
V11 |
V12 |
V13 |
0 |
|
|
8 |
1 |
− 2 0 |
|
|
||
V21 |
V22 |
V23 |
0 |
|
|
1 |
2 |
− 1 |
0 |
|
|
|
|
|
− 2 |
− 1 |
1 |
0 |
|
|
|||||
V31 |
V32 |
V33 |
0 |
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
10 |
5 |
3 |
2 |
= |
6 |
|
m1 |
m2 |
m3 |
r0 |
= |
mp |
|||||||
1 |
1 |
1 |
1 |
= |
1 |
|||||||
1 |
1 |
1 |
1 |
= |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
37