ГЛАВА7. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИГР

7.1. Понятие игры

Игра задается матрицей

Здесь

аij – платежи столбцевого игрока при выборе им j - й стратегии строчному, если последний выбирает i-ю стратегию;

аij > 0 – столбцевой игрок платит строчному; аij < 0 – строчный игрок платит столбцевому; аij = 0 – никто никому не платит.

Для выбора оптимальной стратегии строчный игрок сначала в каждой строке выбирает минимальный элемент

αi = min аij.

j

За оптимальную стратегию он выбирает ту, для которой αi наибольшее

α = max αi.

i

α – нижняя цена игры.

Аналогично столбцевой игрок сначала в каждом столбце выбирает наибольшее число

β j = max аij

i

и оптимальную стратегию выбирает по

β = min β j,

j

53

где β – верхняя цена игры. Всегда α ≤ β .

Если α = β , то игра называется игрой с седловой точкой. Элемент, для которого аlk = α = β , называется седловым элементом.

Не всякая игра имеет седловую точку. Но если седловая точка имеется, то стратегии игроков определяются однозначно. Разработаны методы определения оптимальных стратегий и для игр, не имеющих седловых точек.

Пример 7.1. Найти седловую точку в матричной игре.

Следовательно, α = β = 3 и а34 = 3 – седловой элемент.

7.2. Игры с природой

Рассмотрим игру, в которой один из игроков ’’неживая природа“. В этом случае задача усложняется, так как в предыдущем случае каждый из игроков, выбирая оптимальную стратегию, думает и за противника. В данном случае неизвестно, как поведет себя природа.

54

Прежде всего, введем число, которое характеризовало бы не только выигрыши игроков, но и удачность выбора стратегии.

Игра с природой задается матрицей

Риском rij игрока при пользовании стратегией хi в условиях θj называется разность между выигрышем, который он может получить, зная условия θj, и выигрышем, который он получает, не зная их и выбирая стратегию хi:

rij =β j − аij.

Пример 7.2. Найти матрицу рисков для игры с природой (табл. 7. 2).

Таблица 7. 2

Жирным шрифтом (затененным) выделены выигрыши игрока. В последней строке выписаны значения β j (например, β 2 = max (4, 8, 6) = 8). Остальные числа –значение рисков (например, r32 = 8 − 6 = 2). Число 7, к примеру, показывает, что стратегия х3 в условиях θ4 плохая, игрок может получить 9, выбирая в этих условиях стратегию х1.

7.3. Критерии оптимальности

55

Для выбора оптимальных стратегий в игре с природой пользуются различными критериями. Рассмотрим некоторые из них.

Критерий Байеса. Если имеется статистическая неопределенность, то есть известны вероятности р1, р2,...,рn, с которыми принимаются состояния природы θ1, θ2 ,..., θn, то за оптимальную стратегию выбирают ту, для которой максимальное среднее значение выигрыша по строке

mвi = ∑ pjaij → max

j

или минимальный средний риск по строке

mri = ∑ p jrij → min.

j

Если вероятности неизвестны, то можно считать все состояния равновозможными, то есть pj = 1/n. В этом случае критерий Байеса называется критерием Лапласа.

По критерию Вальда (крайнего пессимизма) оптимальная стратегия выбирается по нижней цене игры:

По критерию Сэвиджа (также крайнего пессимизма по риску) оптимальную стратегию выбирают по

Число κ задается на свое усмотрение из отрезка [0,1]. Если κ = 1, то имеет место крайний пессимизм, а если κ = 0, то крайний оптимизм.

Пример 7.3. Рассмотрим игру с природой. Выбрать оптимальную стратегию, пользуясь критериями: Лапласа; Байеса (по выигрышам и рискам), если состояния природы принимаются, соответственно, с вероятностями 0,6; 0,1; 0,3; Вальда; Сэвиджа; Гурвица с κ = 0,6 (табл. 7. 3).

56