Язык классической логики предикатов (я.Л.П.).

Язык логики предикатов <A_n,, F_n > является расширением рассмотренного выше языка логики высказываний.

А. Синтаксис языка Л.П.

Синтаксис Я.Л.П. обусловлен алфавитом A_n и правилами образования из символов A_n языковых выражений термов  и формул F_n

1. Алфавит Я.Л.П. A_n

Множество символов A_n рассматриваемого формализованного языка состоит из трех подмножеств – дескриптивных терминов ₁, логических операторов ₂ и вспомогательных символов _3.

а)Дескриптивные термины _1. Дескриптивными (нелогическими) терминами редметные (индивидные) константы {a,b,c,d,…,a₁,b₁,c₁,d₁,…,a₂,…}, n-местные предметно-функциональные константы {f,g,h,…,f₁,g₁,h₁,…,f₂,…}, m-местные предикатные константы {P,Q,R,S,…,P₁,Q₁,R₁,S₁,…,P₂,…}, и предметные (индивидные) переменные {x,y,z,…,x₁,y₁,z₁,…,x₂,…} (это пропозициональные переменные)

Пояснение.

1. При переводе выражений естественного языка на Я.Л.П. объекты заменяются индивидными константами;

2. n-местные предметно-функциональные константы (n1) соответствуют предметным функторам естественного языка, таким как “ сложение”, “вычитание”, извлечение корня, дифференцирование, расстояние от…до…(вообще, n-местные предметный функтор обозначает n-местную предметную функцию).

3)m- местные предикаторные константы ( m  1) соответствуют предикатам естественного языка, т.е. знакам свойств ( например, горячий, электропроводный, зеленый) и отношений ( например, южнее, больше, старше). При этом свойства в ЯЛП являются одноместными предикаторными, а отношения многоместными.

4) Предикаторные символы синтаксически используют для образования формул, а семантически они обозначают предикаты ( например, xy, x Y)

Примеры:

1. Космонавт Гагарин – первопроходец космического пространства. По ЯПЛ- это субъектно-предикатное простое высказывание имеет вид P(f(a)), где P-означает логическое сказуемое,первопроходец космического пространства, f(a)- космонавт Гагарин ( т.е. а- Гагарин, f- космонавт).

2. Микросхема, диод и транзистор- множество с агрегатной точки зрения. Это высказывание на ЯЛП имеет вид P(a,b, c), где P- множество с агрегатной точки зрения, a,b,c- элементы множества- соответственно микросхема, диод, транзистор.

б) Логические операторы ( константы).

Логическими операторами в ЯЛП являются логические связи { , , ,  и кванторы , .

Пояснения:

1. Кванторам в естественном языке соответствуют кванторы слова типа « для всех» и «существует».

2. Иногда в ЯЛВ используют так называемый математический базис операторов, например , , , , , , , , , , , .

3. Связки и кванторы имеют следующий приоритет: , , , , , .

в) Вспомогательные символы

Вспомогательными ( разделительными) символами являются левая и правая круглые скобки, т.е. Р₃= , .

III. Языковые выражения , F.

В ЯЛП имеются два типа правильно построенных выражений из символов A_n- термы  и формулы F.

а) Термы .

Термы  являются символической записью предметов естественного языка.

Формально терм можно определить по инструкции:

• произвольная предметная константа является термом;

• произвольная предметная переменная является термом;

• если Ф – n-местная предметно-функциональная константа, а t₁…t_n- термы, то выражение Ф(t₁…t_n)- является термом;

• других термов нет, т.е. ничто не является термом ЯЛП;

Замечание:

1. предметные константы и предметные переменные называют простыми термами, а Ф(t₁…t_n)- сложными термами.

2. Символы, использованные в определении терма t_i , Ф – есть метасимволы ( это не символы объектного языка.

3. Терм называют замкнутым, если он не содержит предметных переменных.

Пример:

1) Записать на ЯЛП следующие выражения : 3, 5, 7+2.

Решение:

Пусть a, b, c, d – индивидные константы, соответствующие объектам 3, 5, 7, 2.

В этом случае a – простой терм, а f(b) и g(c, d)- сложные замкнутые термы, где f¹ – одноместная предметно-функциональная константа, соответствующая функтору  , а g²- двуместная предметно-функциональная константа, соответствующая функтору t.

2) С учетом обозначений объектов в примере 1 выражениям , ((7+3)), (7+7)+(2+2), 7+7+2+2 в ЯЛП соответствуют свободно замкнутые термы g²(f¹(а), х), f¹(g²(c, d)), g²(g²(c, c), g²(d, d)), g²(g²(g²(c, c), d),d)

3) Естественно-языковые выражения « Столица России», «Расстояние от Москвы до Тулы», «расстояние от столицы России до Тулы» в ЯЛП соответствуют замкнутые термы: f¹(а), g²(b,c), g²(f(а), c), где a,b,c- соответственно, Россия, Москва, Тула, f¹ «столица», g² «расстояние от… до…».

Предостережение

Символическая запись h²(g²(х, а)) не является термом, так как в скобках после двухместного предметно-функциональной константы h² стоит только один терм g²(х, а), а не два, как этого требует определение образования сложных термов. Не является термом и выражение Р¹(g²(х, а)), так как Р¹- предикаторная константа, а не функциональная.

б) Формулы F_n

Формулы ЯПЛ F_n являются символической записью логических форм высказываний и предикатов.

Индуктивное определение F_n:

1. Выражение Пⁿ (t₁…t_n) является формулой, если Пⁿ- n-местная предикаторная константа, а t₁…t_n- термы;

2. Если А- формулам, то  А- формула;

3. Если А и В – формулы, то (АВ), (АВ) и (АВ)- формулы;

4. Если А_(х)- формула, а х-свободная переменная, то х А(х) и  х А(х)- формулы;

5. Ничто иное не является формулой ЯЛП;

Пояснения:

1) В приведенном определении П, А, В являются символами метаязыка, значениями которых являются соответственно предикаторные буквы и формулы объектного ЯЛП.

2) Формула Пⁿ (t₁…t_n) называется элементарной (атомарной), а формулы пунктов 2, 3, 4 приведенного индуктивного определения принято называть сложными (молекулярными). Говорят, что сложная формула состоит из подформул (в пункте 3 это А и В, в 2 и 4 –А).

3) Одноместный предикат П(х) есть логическая формула высказываний «х есть П».