Классическая логика высказываний.

Содержательно пропозициональную логику определяют как раздел математической логики, формализующей употребление логических связок, служащих для образования сложных высказываний из простых. Как и любая другая логическая теория, логика высказываний решает две задачи:

• выделяет среди класса формул множество своих законов;

• устанавливает логические отношения между формулами.

В этом плане формально логику высказываний понимают как определенное на множестве формул языка логики высказываний отношение логического следования |= и законов, т.е. < F,|= >, с привлечением таблиц истинности.

а) Законы классической логики высказываний.

Определение. Формула, которая при любых распределениях истинностных значений ее параметров принимает значение “истина”, называется общезначимой.

Определение. Денотат (т.е. объект обозначения) метевысказывания об общезначимости пропозициональной формулы называется логическим законом.

Для метавысказывания “А есть логический закон” принять обозначение |=A (здесь А – метаформула). Так, принцип исключенного третьего выражается метавысказыванием |= ( , говорящим о том, что общезначимой является пропозициональная формула ( , а принцип противоречивости выражает метавысказывание |=(  , говорящее о том, что общезначимой является формула (  , (где  - пропозициональная переменная, |= - оператор логического следования). При подстановке вместо  любых конкретных высказываний (как истинных, так и ложных) из формул (  и  (  получаются только истинные высказывания.

Замечание.

1. Факт общезначимости пропозициональной формулы устанавливается с привлечением таблицы истинности (пассивный метод) или эквивалентным преобразованием (активный метод).

2. Каждый закон логики имеет бесконечное множество вариантов формульного представления. Так принцип исключенного третьего может быть записан следующими аналитическими выражениями:

|=x x; |=(ху) (ху); |=((xz) (yp)  ((хz)(yp));

3. Тождественно-ложная формула (т.е. формула, имеющая значение “ложь” на всех значениях истинности ее переменных) являются отрицанием закона логики.

б) Отношения логического следования и логической эквивалентности.

1. Из множества формул T логики следует формула В (символическая запись T |=B, или R(F₁, F₂,…, F_n , F_n+1=B), где T ={ F_1, F₂,…, F_n }) в логической теории, если и только если в теории не существует интерпретации нелогических символов, входящих в T и В, при которой каждая формула из T принимает значения “истина”, а формула В - значение “ложь”. Иначе, логическое следование ₁₂ - отношение между пропозициональными формулами ₁ и ₂ такое, что ₁ ₂. В противном случае, т.е. когда формулы T истинны, а В – ложны, то В не следует из T (символически запись T |В). В логике высказываний эффективной процедурой (алгоритмом) выявления отношения логического следования между конечным множеством формул T и формулой В является таблица истинности.

Пример 1. Проверить правильность умозаключения “Если тело движеися равномерно и прямолинейно, то на него не действуют силы. Тело движется равномерно, но не прямолинейно. Следовательно, на тело действуют силы”. Логическая форма заданного умозаключения имеет вид:

(

посылки T

(рq) z)

(

заключение

рq)

z

здесь р – “тело движется равномерно”

q – “тело движется прямолинейно”

z – “на тело действуют силы”

Таблица истинности умозаключения имеет вид:

Пропозициональные переменные			посылки					заключение
p	q	z	((рq) z)			(рq)		z
U U U U    	U U   U U  	U  U  U  U 	 U U U U U U U				  U U   U U	U  U  U  U 

В четвертой строке этой таблицы посылки истинны, а заключение – ложно. Поэтому из ((рq) z), (рq) не следует логически z и, следовательно, умозаключение является неправильным.

Напоминание. Следует различать правильность умозаключения и истинность заключения. В общем случае ложное заключение может быть получено в результате следующих умозаключениях:

• все посылки T истинны, а само умозаключение не правильно;

• умозаключение правильно, но в нем есть ложная (ложные) посылки;

• умозаключение не правильно и в нем есть ложная посылка. В этом плане следует отметить, что если к истинным посылкам T применяется правильное умозаключение, то с логической неотвратимостью будет получено истинное заключение В, т.е. T |=В.

Пример 2. Согласно легенде обоснования сожжения книг Александрийской библиотеки :

- если ваши книги согласны с Кораном (р), то они излишни (q), (рq)

- если же ваши книги не согласны с Кораном (р), то они вредны (z), (рz)

- но вредные (z) или излишние(q) книги следует уничтожать(у), (qz) y

Поэтому ваши книги следует уничтожать.

Покажем, что это рассуждение правильно, но заключение ложно. Действительно, логическая форма рассуждения имеет вид:

р

посылки

q

рz

(

заключение

qz) y

y

Построив таблицу истинности, заключаем, что (рq), (рz), ((qz) y) |= y.

Аналитически этот результат можно получить, если учесть, что согласно теореме дедукции:

|=( F₁…(F_nВ)…)F_1, F₂,…,F_n|=В,в нашем случае: надо показать, что

|=(( рq)((рz)(((qz)y))), т.е. ((рq)((рz)(((qz)y)y)))=

Пример 3Рассуждение “Если на данное движущееся тело не действуют никакие силы или равнодействующая всех действующих сил равна нулю, то оно движется равномерно. Данное тело движется неравномерно, следовательно, равнодействующая всех действующих сил не равна нулю”. Это умозаключение, логическая форма которого

((рq) r)

r

q

правильно, т.е.((рq)z),r |=q

действительно:

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

(((рq)r)(rq))(pqr)(rq)(prqrrq)(prqrrqrqr)(prr

_

 r )=u

II. Формулы А и С логически эквивалентны (логически равнозначны), если и только если из А логически следует С и из С логически следует А, т.е. имеет место двустороннее логическое следование:

A|=C и C|=A

Из этого определения вытекает, что в каждой строке совместной таблицы истинности обе логически эквивалентные формулы принимают одинаковые значения, что можно записать следующим образом АС(АС)(СА). Если АС и СА тождественно истинны, то АС есть закон, т.е. |= АС.

Примечание. Таблично алгебраическим вариантом логики высказываний является алгебра логика, имеющая большое прикладное значение в синтезе комбинационных автоматов. Однако, если в логике высказываний формула рассматривается как логическая форма высказывания, то в алгебре логики формула является аналитическим способом представления логической функции f:{0,1}ⁿ {0,1}, где {0,1} заменяют истинностные значения {, И} логики высказываний.