Предмет, цель, задачи и содержание читаемого курса лекций.
Предметом читаемого курса являются функциональные и формальные системы логики: алгебры логики (высказываний и предикатов), классические и неклассические исчисления высказываний и предикатов, метатеория логических исчислений.
Целого преподавания дисциплины будущим инженерам в области ВТ является овладение студентами основами синтеза и анализа дискретных структур методами алгебры логики и логических исчислений.
Задачи дисциплины:
освоение предметных языков логики высказываний и логики предикатов;
приобретение навыков использования дедуктивных методов вывода заключений из посылок;
умение работать с различными моделями формального уточнения понятия “алгоритм”.
Содержание читаемого курса представим следующим деревом:
Математическая
логика F.S=<L,
D> Прикладные
исчисления п=<
L(в),
D(в)> B=<
L(B),
D(B)> Классическое
п
Классическое
В
неклассическое
п
неклассическое
В
Многозначное
В Логическое
исчисление
АB АП А=<F, Метатеория
логических исчислений
Здесь:
А=<F, - функциональная система (т.е. построение математической логики, как теории, является содержательной):
F.S=<L, D> - формальная система (т.е. построение математической логики, как теории, является чисто синтаксическим объектом);
- исчисление ( в - исчисление высказываний; п - исчисление предикатов);
L – язык (L(в) – язык исчисления высказываний, L(п) – язык исчисления предикатов), т.е. множество синтаксически правильно построенных выражений(формы F).
D – дедуктивные средства (D(в) – дедуктивные средства исчисления высказываний, D(п) – дедуктивные средства исчисления предикатов);
АB = < B, B2 - алгебра логики высказываний;
АB = < Р(Х1, …, Хn), ,B2, - алгебра логики предикатов.
Примечание. В том случае, если между морфологическими элементами формальной системы F.S. и элементами содержательной системы А существует функциональная биекция, то все исходные
положения F.S. получают интерпретацию. Говорят, что интерпретированная F.S. есть язык, описывающий ту или иную предметную область.
Место читаемого курса о законах и формах правильного мышления.
Логика
Диалектическая
логика Дедуктивные
(достоверные) логики Металогика
(методология дедуктивных наук) Формальная
логика (наука о законах выводного
знания) Индуктивные
(правдоподобные) логики Математическая
(теоретическая) логика Нечеткая
логика Традиционная
(описательная)
логика
Античная
логика Четкая
логика Классическая
логика Конечнозначные логика
Неклассические
логики Бесконечнозначные
логика Счетнозначная
логика Вероятностная
логика Функциональные
системы Формальные
системы Алгебра
логики предикатов Алгебра
логики высказываний метатеории исчисления
Пояснения к этому дереву сделаем следующие:
Предмет логики (по Аристотелю – средство обоснования истины) отличается от предмета всех других наук тем, что она(логика) исследует не закономерности объективного мира (природы, общества), чем занимаются естественные науки (физика, химия, биология) и общественно-политические науки (история, социология), а законы и формы логического мышления, оставляя в стороне описание фактического процесса протекания мышления по законам причинного следования (это предмет психологии).
Для уяснения приведенного выше отметим, что следует отличать мышление человека как объект изучения и как среду познания окружающего мира, т.е.
Мышление
человека Мышление
как объект изучения. Науки,
изучающие мышление логика Мышление
как познание объективного мира Науки,
изучающие объективный мир Естественные
науки Общественно-политические
науки Философия,
физиология, психология, кибернетика.
Умозаключения в логике делят на дедуктивные и индуктивные.
Дедукция – переход от общего к частному по правилам логического вывода, позволяющие получить из истинных посылок(известных знаний) истинное заключение (новое знание, т.е. выводное знание).
Индукция – переход от частного к общему. В отличии от дедуктивных рассуждений(построений) индукция не гарантирует истинного заключения при истинности посылок. Принято дедуктивную логику называть достоверной, а индуктивную логику – правдоподобной (проблемотичой). Деление выводов(умозаключений в традиционной логике) в современной логике на правильные и неправильные означает различие отношения логического следования на два вида – дедуктивные и индуктивные.
Формальная логика – наука о законах выводного знания, т.е. знания, полученного из раннее установленных и проверенных истин (без обращения в каждом конкретном случае к опыту) только с помощью законов и правил логического мышления. В соответствии с основным принципом логики правильность рассуждения (умозаключения, доказательства, вывода) зависит только от его формы и не зависит от его конкретного содержания.
Традиционная (описательная) логика, как совокупность………….., изучает общечеловеческие законы правильного построения и сочетания мыслей в рассуждениях, общечеловеческие формы мыслей (понятия, суждения) и формы умозаключений, а также средства мысли (определения, как отношения между понятиями; принципы образования понятий; суждений, умозаключений),необходимых для рационального (языкового) познания в любой области человеческой деятельности.
Математическая логика (как современный этап развития формальной логики) изучает логику содержательных теорий (т.е. множество взаимосвязанных понятий и высказываний, замкнутое относительно логической выводимости) средствами математики, а логику самой математики – с помощью различного рода исчислений.
Замечание. Отличие математики от логики поясним вопросами, ответы на которые они ищут.
Вопросы
математики Сколько? Как
далеко? Как
долго? (т.е.
вопросы о количественных отношениях) Вопросы
логики Что
это значит? Есть
ли противоречие в этом суждении? Каковы основания
этого доказательства? (т.е.
вопросы о неколичественных отношениях)
Нечеткая логика – логика, истинностные значения высказывания которой интерпретируются нечетким подмножеством заданного множества значений.
Четкая логика – логика, в которой для интерпретации высказываний используется множество истинностных значений М. Говорят, что логика называется:
классической (двузначной), если |M|=2, т.е. М={0,1} или М={U,};
неклассической (многозначной), если |M|>2;
бесконечнозначной, если |M|=N (это т. н. счетнозначные логики) или |M|=D (это т.н. логики);
вероятностной, если истинностные значения М представляются вероятностями; степенями правдоподобия высказываний);
темпоральной(временной), если элементы М зависят от времени;
модальной, если алфавит ее языка включает связки, интерпретируемые как “возможно, что…”
Формальная система – уточнение понятия аксиоматической теории, характеризующееся представлением последней в виде исчисления.
Исчисление – дедуктивная система, т.е. способ задания того или иного множества путем указанных аксиом и правил вывода, каждое из которых описывает, как строить новые элементы из исходных и уже построенных.
Функциональная система – множество функций с некоторым набором операций, применяемых к этим функциям и приводящих к получению других функций из этого множества.