1 Оптимизационные модели. Основные понятия и определения
Под оптимизацией понимают процесс выбора наилучшего варианта среди всех возможных. Например, выбор наилучшего варианта конструкции, наилучшего способа раскроя материала, наилучшего режима работы оборудования, наилучшего графика перевозок и т.п.
Если
в конкретной задаче обозначить независимые
параметры через x
,
x
,
…, xn, а зависимый параметр
через P, то величину P можно
представить как функцию:
P = f(x
,
x
,
…, x
).
(51)
Процесс оптимизации будет заключаться в том, чтобы найти такие значения аргументов х1, х2, …, хn из области определения функции Р, при которых эта функция достигает наибольшего или наименьшего значения. Функцию Р называют целевой функцией. Параметры x , x , …, x в инженерной практике называют проектными параметрами (при решении экономических задач – параметрами плана), область изменения проектных параметров – областью проектирования. Количество n проектных параметров, подлежащих учёту, определяет размерность задач и позволяет разделить их на одномерные (n = 1) и многомерные (n 1).
При решении конкретных задач, как правило, возникает необходимость учитывать дополнительные ограничения, налагаемые на проектные параметры, а также связи между параметрами, отражающие законы природы, сырьевые и материальные ресурсы, спрос и предложения рынка и т.п. Такие задачи называются условными.
Связи и ограничения можно описать в виде ограничений-равенств, ограничений-неравенств, или их совокупности:
Ограничения – равенства: Ограничения – неравенства:
f1(x1,
x2,
…, xn)
= 0 a1
q1(x1,
x2,
…, xn)
b1
f2(x1, x2, …, xn) = 0 a2 q2(x1, x2, …, xn) b2 (52)
…………………… ……………………..
fm(x1, x2, …, xn) = 0 ak qk(x1, x2, …, xn) bk
Ограничения сужают область проектирования и иногда позволяют выразить одни проектные параметры через другие, что позволяет уменьшить размерность решаемой задачи и сокращает время, затрачиваемое на решение.
Пример. Необходимо сконструировать контейнер в форме прямоугольного цилиндра, так, чтобы при заданном объёме длина сварных швов была наименьшей.
Целевой функцией (величиной, подлежащей оптимизации) является длина швов L. Она зависит от двух параметров: высоты контейнера H и радиуса R, и определяется по формуле:
L = F (H, R) = 4R + H,
где R, H – проектные параметры. Ограничение на объем банки
V0 = R2H
является ограничением-равенством. Воспользуемся им для уменьшения количества проектных параметров. Этого можно достичь, выразив R через V0 и H или выразив H через V0 и R.
В первом случае:
и
L = F(H) = 4
+
H.
Во втором:
H =
и
L = F(H) = 4
.
Во втором случае оптимизируемая функция оказалась проще, поэтому возьмём её в качестве целевой при естественных ограничениях: H > 0, R > 0.
Теперь можем сформулировать задачу в стандартной форме:
Задача: одномерная.
Проектный параметр: R.
Целевая функция, минимум которой надо найти: L(R)=4R+V0/R2 .
Основываясь на данном примере, можно заключить, что для разработки математической модели задачи оптимизации необходимо:
По смысловому содержанию выделить проектные параметры.
Записать целевую функцию.
Записать систему ограничений и с помощью ограничений-равенств максимально снизить количество проектных параметров (размерность задачи).