Министерство образования Российской Федерации

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ

(ТУСУР)

Кафедра физики

УТВЕРЖДАЮ Заведующий кафедрой физики

________________Е.М. Окс

________________

Физика

ИЗУЧЕНИЕ ВЫНУЖДЕННЫХ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ КОЛЕБАНИЙ

Руководство к компьютерной лабораторной работе

Разработчики: доценты каф. физики

___________Л.А. Троян

___________В.А. Бурдовицин

______________2003г.

Томск 2003

Введение

Целью данной работы является изучение вынужденных электромагнитных колебаний и явления резонанса в последовательном колебательном контуре.

1 Краткая теория

Чтобы в реальной колебательной системе получить незатухающие колебания, надо компенсировать потери энергии. С этой целью в колебательный контур включают источник внешней периодически изменяющейся э.д.с.

Колебания, возникающие под действием периодически изменяющейся э.д.с., называются вынужденными колебаниями.

Рассмотрим вынужденные колебания в последовательном контуре (Рис. 2.1), состоящем из R, L, C, возникающие под действием внешнего источника, э.д.с. которого изменяется по закону

E = Em cosωt

R L C

E

Рис. 2.1. Колебательный контур

Будем считать, что в контуре протекают квазистационарные токи, так как выполняется

условие

l<<λ ,

где l - размеры контура;

λ- длина волны распространяющихся электромагнитных колебаний.

Сучетом выше сказанного, на основании второго правила Кирхгофа можно запи-

сать

Уравнение (2.3) является дифференциальным уравнением вынужденных электрических колебаний в контуре. Данное уравнение является неоднородным. И как следует из теории дифференциальных уравнений решение его равно сумме общего решения, соответствую-

Общее решение однородного уравнения известно из теории затухающих колебаний и может быть записано в виде

где ω - частота изменения внешней э.д.с.;

ϕ - отстаивание по фазе вынужденного колебания от обусловливающей его вынуж-

дающей силы.

Слагаемое (2.8) играет существенную роль в начальной стадии процесса, при установлении колебаний.

Следовательно, вклад (2.8) в установившиеся колебания очень мал, и им можно пренебречь. Поэтому установившиеся вынужденные колебания будут определяться частным решением неоднородного уравнения

стоящих в левой части уравнения. Для нахождения значений qm и ϕ воспользуемся ме-

тодом векторных диаграмм, который заключается в том, что гармонически изменяющаяся величина изображается вектором, вращающимся с частотой ω вокруг своего начала

против часовой стрелки. Длина этого вектора равна амплитуде колебаний соответствующей физической величины.

Если изобразить функцию ω02 qm cos(ωt+ϕ) вектором, длина которого ω0 qm ,

лось, сумма трех перечисленных векторов должна совпадать с вектором, изображающим функцию U m cosωt .

Такое совпадение возможно, как видно из рис. 2.2, если

Рис.2.2. Векторная диаграмма

Продифференцировав выражение (2.17) по t , найдем силу тока в контуре при установившихся колебаниях:

Разделив выражение (2.10) на емкость, получим напряжение на конденсаторе

ωC

Сопоставляя выражения (2.21), (2.22), (2.23) видим, напряжение на емкости отстает по фа-

лебания с частотой, равной частоте внешней э.д.с. Для данной колебательной системы амплитуда вынужденных колебаний зависит от частоты вынуждающей э.д.с. ω и при

определенных значениях ее достигает максимального значения. Это явление называется

резонансом, а соответствующая частота резонансной частотой.

Чтобы определить резонансную частоту ωРЕЗ , любую из выше перечисленных гармонически изменяющихся величин, нужно исследовать функцию, определяющую данную величину на максимум. Так из (2.14) видно, что максимальное значение gm будет

при минимальном значении подкоренного значения знаменателя. Продифференцировав подкоренное выражение по ω и приравняв нулю, получим условие, определяющее

ωРЕЗ :

−4(ω02−ω2)+8δ2ω=0

Данное уравнение имеет три решения ω=0 и ω=± ω02−2δ 2 .

Решение ω=0 соответствует максимальному значению знаменателя, а отрицательное значение не имеет смысла. Т.о. резонансная частота для g и напряжение U C определя-

ются выражением:

Отдельные кривые на графике соответствуют различным значениям коэффициента затухания δ . Чем меньше δ , тем выше и правее лежит максимум кривой. При боль-

шом затухании, когда 2δ2 >ω02 , резонанс не наблюдается, с увеличением частоты амплитуда вынужденных колебаний монотонно убывает (см. нижнюю кривую при δ4 ). При

(δ2 <<ω02 ) резонансную частоту можно брать равной ωРЕЗ =ω0 .

Резонансные кривые для силы тока приведены на рис. 2.4. Как видно из выражения

ω0 ω

Рис. 2.4. Резонансные кривые для силы тока

(2.20), амплитуда тока будет иметь максимальное значение при постоянном R , если

Lω=ω1C

Следовательно, резонансная частота для силы тока совпадает с собственной частотой контура ω0

При ω=0 , ток в цепи равен нулю, т.к. при постоянном напряжении ток в цепи с кон-

денсатором протекать не может.

При таком соединении элементов как рис. 2.1, когда ωРЕЗ ≤ω0

сти ни индуктивности. Иначе говоря, при этой частоте напряжения на емкости и индуктивности полностью компенсируют друг друга, будучи равными по величине и противо-

положными по фазе. При этом напряжения U L и U C могут значительно превышать напряжение, приложенное к цепи U m .