Тема: Нелінійні моделі

1. Нелінійні регресії

Використання лінійних моделей для моделювання економічних залежностей у багатьох випадках дають цілком за­довільні результати, які можуть бути використані для аналізу й прогнозу досліджуваних економічних систем (процесів). Але внаслідок багатогранності й складності за своєю структу­рою економічних процесів обмежуватися розглядом лише ліній­них моделей стає неможливим, оскільки економічні залежності переважно не можуть бути описані лінійними рівняннями. Якщо між економічними показниками існують нелінійні співвідношення, то вони описуються за допомогою нелінійних математичних функцій.

• Так, наприклад, якщо досліджується залежність попиту на пев­ний товар Y від ціни X на нього, то можна обмежитися лінійними залежностями у вигляді рівнянь регресії

Y_р = â₀ + â_1·Х, де коефіцієнт â₁ буде характеризувати абсолютну зміну в серед­ньому попиті Y при зміні ціни на нього X на одиницю.

Якщо ж метою дослідження є аналіз еластичності залеж­ності попиту від ціни, то описати лінійним рівнянням співвідношення між змінними Y та X виявляється неможливим. У цьому випадку доцільно використати модель типу Y = a₀ Х^а1, яка після логарифмування набирає вигляду ln Y = ln a₀ + a₁ ln Х.

• При аналізі витрат Y від обсягу виробництва X буде використовуватися поліноміальна модель Y = â₀ + â_1·Х + â_2·Х ² + â_3·Х ³ +…+ â_m·Х^m .

• Для дослідження виробничих функцій використання лінійних моделей взагалі є нереальним. В цьому випадку використовується виробнича функція Кобба – Дугласа. Нехай Y - обсяг виробленої продукції, F - фінансові витрати, L - вартість робочої сили, тоді Y = a F^α L^β, 0 < α<1, 0< β<1.

• Для характеристики зв’язку витрат сировини із обсягом виробленої продукції, часу обігу товару від величини товарообігу використовується модель оберненої залежності

Y = â₀ + â₁/Х.

Розрізняють два класи нелінійних регресій:

1) нелінійні регресії 1-го класу (квазілінійні) – нелінійні щодо пояснюючих, незалежних змінних моделі, але лінійні відносно параметрів (коефіцієнтів) моделі

2) нелінійні регресії 2-го класу – нелінійні щодо параметрів (коефіцієнтів) моделі.

2. Нелінійні регресії 1-го класу

2.1. Поліноміальна модель

Степенева функція виду Y = а₀ + а₁ Х₁ + а ₂ Х ² + ... + а _т Х ^т + u (1)

часто характеризує ту чи іншу економічну залежність. Модель (1) можна звести до лінійної регресійної моделі. Заміняючи X на Х₁ , X² на Х₂, ..., Х_т на Х^т, одержимо замість (1) модель множинної лінійної регресїі із т змінними Х₁, Х₂, …, Х_т :

Y = а₀ + а₁ Х₁ + а₂ X₂ + ... + а _mX_m + u, (2)

параметри якої знаходяться за МНК ( за допомогою статистичної функції «ЛИНЕЙН»).

При цьому для оцінювання тісноти лінійного зв’язку можна використовувати лінійний коефіцієнт кореляції.

• Кубічна функція Y = а₀ + а₁X + а₂ Х ² + а ₃ Х ³ + u у мікроекономіці моделює залежність загальних витрат ТС від об'єму випуску Q (рис. ,а).

• Аналогічно квадратична функція Y = а₀ + а₁Х + а₂ Х ² + u може характеризувати залежність між об'ємом випуску Q і середніми (АС)або граничними (МС) витратами (рис. , б); або між витратами на рекламу C і прибутком π (рис. , в) тощо.

Рис.3