- •Елементи теорії функцій комплексної змінної
- •1. Функції комплексної змінної.
- •1.1. Основні поняття
- •1.2 Границя і неперервність функції комплексної змінної
- •1.3. Основні елементарні функції комплексної змінної
- •1.3.1. Показникова функція
- •1.1.3.2. Логарифмічна функція
- •1.3.5. Тригонометричні функції
- •1.3.6. Гіперболічні функції
- •1.3.7. Обернені тригонометричні і гіперболічні функції
- •1.4. Диференціювання функції комплекснї змінної. Умови Ейлера-Даламбера.
- •1.5. Аналітична функція. Диференціал
- •2. Інтегрування функції комплексної змінної
- •2.1 Означення, властивості і правила обчислення інтеграла
- •2.2. Теорема Коші. Первісна , невизначений інтеграл. Формула Ньютона-Лейбніца.
- •2.3. Інтеграл Коші. Інтегральна формула Коші
- •3. Ряди в комплексній площині
- •3.1. Числові ряди
- •3.2. Степеневі ряди
- •3.3. Ряд Тейлора
- •3.4. Нулі аналітичної функції
- •3.5. Ряд Лорана
- •Ряд Лорана для функції
- •○ Скористаємося відомим розкладом
- •3.6. Класифікація особливих точок.
- •Усувні особливі точки
- •Істотно особлива точка
- •4. Лишок функції
- •4.1. Поняття лишка і основна теорема про лишки
- •4.2. Обчислення лишків. Застосування лишків в обчисленні інтегралів
- •4.3.Теорема Коші про лишки
- •Доведення
1.5. Аналітична функція. Диференціал
Фундаментальним поняттям у теорії функцій комплексної змінної є поняття аналітичної функції.
Однозначна функція f(z) називається аналітичною (голоморфною) у точці z, якщо вона диференційовна (виконані умови Ейлера-Даламбера) у деякому околі цієї точки. Функція f(z) називається аналітичною в області D, якщо вона диференційовна в кожній точці .
Як видно з цього означення, умова аналитичності в точці не збігається з умовою диференційовності функції в цій же точці (перша умова більш сильніша).
Точки площини z, у яких однозначна функція f(z) аналітична, називаються правильними точками f(z). Точки, у яких функція f(z) не є аналітичною, називаються особливими точками цієї функції.
Нехай функція w=f(z) аналітична в точці z. Тоді . Звідси випливає, що , де при , а приріст функції можна записати так: . Якщо , то перший доданок являється при нескінченно малою того ж порядку, що і ; другий доданок є нескінченно мала вищого порядку, ніж . Отже, перший доданок складає головну частину приросту функції w=f(z).
Диференціалом dw аналітичної функції w=f(z) у точці z називається головна частина її приросту, тобто , або , тобто похідна функції дорівнює відношенню диференціала функції до диференціала незалежної змінної.
Зауваження. Якщо функція аналітична в деякій області D, то функції u(x;y) і v(x;y) задовольняють диференціальному рівнянню Лапласа ( ).
Дійсно, диференціюючи першу з рівностей Ейлера-Даламбера по y, а другу по x, отримаємо:
, ,
звідси .
Функції u(x;y) і v(x;y) називаються гармонічними функціями.
Приклад 3. Перевірити, чи є функція аналітичною. Знайти її похідну.
○ Знаходимо дійсну і уявну частини функції:
.
Таким чином, , . Перевіряємо умови Ейлера-Даламбера (1.5):
, ;
, .
Умови (1.5) виконуються у всіх точках комплексної площини z. Функція диференційовна, отже, аналітична у всіх точках цієї площини. Її похідну знайдемо за однією з формул (1.6), наприклад за першою:
,
тобто .
Замітимо, що похідну функції можна знайти, скориставшись означенням похідної (1.4):
. ●
Приклад 4. Знайти аналітичну функцію w=u+iv за її заданою дійсною частиною .
○ Відзначимо, що функція u є гармонічною функцією ( , , отже, ).
Для визначення уявної частини v скористаємося умовами Ейлера-Даламбера (1.5). Оскільки , то, згідно першій умові, . Звідси, інтегруючи по y, знаходимо:
.
Для визначення функції скористаємося другою умовою Ейлера-Даламбера. Оскільки
,
,
то . Звідси і , де C = const. Тому . Знаходимо функцію w=u+iv:
●
2. Інтегрування функції комплексної змінної
2.1 Означення, властивості і правила обчислення інтеграла
Нехай у кожній точці деякої гладенької кривої L з початком у точці z0 і кінцем у точці z визначена неперервна функція f(z).
Розіб'ємо криву L на n частин (елементарних дуг) у напрямку від z0 до z точками z1, z2,…,zn-1 (див. рис. 6).
Рис. 6
У кожній «елементарній дузі» zk-1zk (k = 1,2,…,n) виберемо довільну точку Ck і складемо інтегральну суму , де .
Границя такої інтегральної суми при прямуванні до нуля довжини найбільшої з елементарних дуг, якщо вона існує, називається інтегралом від функції f(z) по кривій (по контуру) L і позначається символом .
Таким чином,
(2.1)
Покажемо, що якщо L – гладка крива, а f(z) – неперервна й однозначна функція, то інтеграл (2.1) існує.
Дійсно, нехай , , . Тоді
,
.
Тому
= .
Обидві суми, що знаходяться в правій частині останньої рівності, є інтегральними сумами для відповідних криволінійних інтегралів.
При зроблених припущеннях про криву L і функцію f(z) границі цих сум існують. Тому після переходу до границі (в останній рівності) при одержимо:
(2.2)
Формула (2.2) показує, що обчислення інтеграла від функції комплексної змінної зводиться до обчислення криволінійних інтегралів від дійсних функцій дійсних змінних.
Формулу (2.2) можна записати в зручному для запам'ятання вигляді:
(2.3)
Якщо x=x(t), y=y(t), де -параметричні рівняння кривої L, то z=z(t)=x(t)+iy(t) називають комплексним параметричним рівнянням кривої L; формула (2.3) перетвориться у формулу
(2.4)
Дійсно, вважаючи z(t) неперервною і диференційовною функцією, одержуємо:
Наведемо основні властивості інтеграла від функції комплексної змінної.
, a – комплексне число.
, тобто при зміні напрямку шляху інтегрування інтеграл змінює свій знак на протилежний (в інших позначеннях кривої: ) .
, де L=L1+L2, тобто інтеграл по всьому шляху L дорівнює сумі інтегралів по його частинах L1 і L2.
Оцінка модуля інтеграла. Якщо у всіх точках кривої L, то , де l – довжина кривої L.
Дійсно,
,
де - довжина ламаної z0z1z2…zn, вписаної в криву L.
Всі наведені властивості інтеграла функції комплексної змінної безпосередньо випливають з його означення (2.1) і подання (2.2).
Приклад 7. Обчислити , де L – півколо , (див. рис.7).
Розв’язання: Використовуючи формулу (2.3), маємо:
○
.
Рис. 7
Використовуючи формулу (2.4), маємо :
●