Омский государственный технический университет

Кафедра

«Средства связи»

Лабораторная работа №1-8 по курсу

«Теория электрической связи»

«ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОРРЕЛЯЦИОННЫХ ФУНКЦИЙ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ И КВАЗИСЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ»

100000000000000000000000000000000000000000000

Выполнил: студент

группы РП-210

Китов Евгений

Проверил: с.н.с., д.т.н.,

доцент Хазан В.Л.

Омск 2002

ЦЕЛЬ РАБОТЫ:

Ознакомление с методом корреляционного анализа и практическое определение корреляционных функций детерминированных сигналов (видеоимпульсов и радиоимпульсов), а также корреляционных функций квазислучайных дельта-корелированных и марковских процессов.

Теоретические сведения.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОРРЕЛЯЦИОННЫХ ФУНКЦИЙ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ И КВАЗИСЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

Функция корреляции.

Для определения степени похожести двух процессов u₁(t) и u₂(t) служит функция корреляции:

(1-8.1)

Здесь t -время задержки сигнала u₂(t).

Н а рис. 1-8.1 приведена блок-схема коррелометра, алгоритм которого соответствует (1-8.1).

Рис. 1-8.1

Здесь ЛЗ - линия задержки. Роль интегратора при практической реализации коррелометра может играть фильтр низких частот (ФНЧ).

Первый вариант входных воздействий (u₁(t) - на вход №1, а u₂(t - ) - на вход №2 перемножителя) полностью соответствует формуле (1-8.1). Второму варианту входных воздействий (u₁(t - ) - на вход №2, а u₂(t) - на вход №1 перемножителя) соответствует формула:

(1-8.2)

Таким образом функция корреляции существует на всей оси t времени задержки от t = - ∞ до t = + ∞.

Если u₁(t) и u₂(t) два различных процесса, то функцию корреляции для определенности часто называют взаимокорреляционной функцией (ВКФ).

Если u₁(t) = u₂(t) = u(t), как в случае, изображенном на рис. 1-8.2, то функцию корреляции называют автокорреляционной функцией (АКФ). АКФ характеризует похожесть функции u(t) и ее копии, задержанной на различное время t. В отличие от предыдущего случая смена местами самой функции и ее копии не придает нового качества результату на выходе интегратора. Поэтому функция автокорреляции в отличие от взаимокорреляционной функции является функцией четной.

Т.е. В_u(t) = В_u(-t), но Bu₁u₂(t)  Bu₁u₂(-t).

Рис. 1-8.2

Энергетический спектр и АКФ сигнала связаны преобразованием Фурье:

(1-8.3)

(1-8.4)

Из (1-8.1) следует, что для t = 0:

Таким образом максимальное значение АКФ равно энергии сигнала.

Практических примеров использования функций корреляции достаточно много.

Например, коэффициенты ряда Фурье a_m и b_m с точностью до множителя являются не чем иным, как значениями ВКФ при t = 0 разлагаемой в ряд Фурье периодической последовательности и гармонических колебаний (соответственно косинуса и синуса) с частотой m/T.

Другой пример: часто при определении энергетического спектра процесса удобнее вначале измерить АКФ, а затем с помощью преобразования Фурье найти собственно энергетический спектр.

Далее ограничимся рассмотрением только АКФ процессов.

Корреляционные функции детерминированных сигналов.

Р ассмотрим наиболее простой случай, когда сигнал - прямоугольный импульс U(t). На рис. 1-8.3 приведено построение корреляционной функции B_u(t) (рис. 1-8.3(d)) для одиночного прямоугольного импульса (рис. 1-8.3(а)). На рис. 1-8.3(b) изображен задержанный на время t прямоугольный импульс U(t-t), а на рис. 1-8.3(с) результат перемножения U(t)U(t-t). Заштрихованная площадь на рис. 1-8.3(с) соответствует численному значению функции корреляции прямоугольного импульса. Сама функция корреляции прямоугольного импульса имеет форму равностороннего треугольника.

Рис. 1-8.3

На рис. 1-8.4 показаны функции корреляции для некоторых других видов сигналов:

(а) - гармонического;

(b) - радиоимпульса;

(с) - пачки прямоугольных импульсов.

АКФ гармонического сигнала является также гармонической функцией (косинусом), имеющей такой же период как и сам сигнал. АКФ радиоимпульса имеет период несущей и огибающую, которая по форме является АКФ огибающей радиоимпульса. АКФ пачки прямоугольных импульсов состоит из отдельных компонентов, каждый из которых имеет треугольную форму, соответствующую АКФ одиночного прямоугольного импульса.

Рис. 1-8.4

Корреляционные функции случайных сигналов.

Если на вход коррелометра, блок-схема которого изображена на рис. 1-8.2 ,подать случайный эргодический процесс u(t) (эргодическим считается случайный процесс, если усреднение по множеству реализаций эквивалентно усреднению по времени), то результатом измерений будет ковариационная функция этого случайного процесса: K_u(t) = M[u(t)u(t - )], где М[x] - математическое ожидание (МО) х. Чтобы измерить корреляционную функцию случайного процесса Ru(t), необходимо в соответствии с алгоритмом:

R_u() = M[(u(t) – M[u])(u(t - ) – M[u])] (1-8.6)

определить МО произведения только случайных составляющих процесса u(t) (без его матожидания M[u]), отсчеты которых взяты с интервалом времени t. Если случайный процесс в достаточной степени высокочастотный, то для получения его функции корреляции достаточно последовательно с входом коррелометра включить емкость, которая пропустит через себя на входы перемножителя и линии задержки только колебательный компонент случайного процесса. На рис. 1-8.5 изображена блок-схема такого рода коррелометра.

Рис. 1-8.5

R(0) по определению является дисперсией процесса, т. е., если u(t)- напряжение, то R(0)- его средняя мощность, выделяемая в сопротивлении 1 Ом.

Часто используют нормированную корреляционную функцию (коэффициент корреляции): r(t) = R(t)/R(0). Очевидно, что всегда модуль r(t) меньше, или равен единице.

Согласно теореме Винера –Хинчина, ковариационная функция случайного процесса К_u(t) и его средняя спектральная плотность мощности W_u() связаны преобразованиями Фурье:

; (1-8.7)

Для случайного процесса с нулевым средним значением:

; (1-8.8)

Таким образом, чем шире спектр случайного процесса, тем меньше интервал корреляции, и наоборот - чем больше интервал корреляции, тем уже спектр процесса. Для "белого шума" с равномерной средней спектральной плотностью мощности имеем:

(1-8.9)

Следовательно корреляционная функция "белого шума" является -функцией. Такого рода процессы называются -коррелированными.

ХОД РАБОТЫ.