Омский государственный технический университет

Кафедра

«Средства связи»

Лабораторная работа №1-6 по курсу

«Теория электрической связи»

«ИССЛЕДОВАНИЕ СПЕКТРА СИГНАЛОВ С ФАЗОВОЙ МОДУЛЯЦИЕЙ»

100000000000000000000000000000000000000000000

Выполнил: студент

группы РП-210

Китов Евгений

Проверил: с.н.с., д.т.н.,

доцент Хазан В.Л.

Омск 2002

ЦЕЛИ РАБОТЫ:

1. Исследование посредством имитационного моделирования состава спектра сигнала при модуляции фазы несущего колебания гармоническим колебанием;

2. Исследование зависимости амплитуд спектральных составляющих модулированных по фазе сигналов от индекса угловой модуляции;

3. Исследование посредством имитационного моделирования характера спектра манипулированных по фазе сигналов от периода манипулирующей периодической последовательности прямоугольных импульсов типа "меандр";

4. Сравнение результатов имитационного моделирования с результатами аналитических расчетов.

Теоретические сведения.

Модулированные по фазе сигналы.

Р ассмотрим наиболее простой случай, когда модулирующий сигнал является низкочастотным гармоническим колебанием. На рис. 1-6.1(а) приведена осциллограмма такого рода колебания. На рис. 1-6.1(b) показана осциллограмма высокочастотной (не модулированной) несущей. На рис.1-6.1(с) изображено модулированное по фазе (ФМ) колебание.

Рис. 1-6.1.

На рис. 1-6.1 обозначено: Um(t) - модулирующее колебание; Am - амплитуда модулирующего колебания; Т - период модулирующего колебания; Un(t) - несущее колебание; Аn - амплитуда несущего колебания; t - период несущего колебания.

Высокочастотное модулированное колебание, показанное на рис. 1-6.1 (с), при положительных полуволнах модулирующего колебания опережает по фазе несущее (не модулированное) колебание, а при отрицательных полуволнах отстает от него по фазе. При этом на интервалах времени, соответствующих скатам с положительной крутизной модулирующей функции, наблюдается увеличение частоты модулированного колебания а на интервалах времени, соответствующих скатам с отрицательной крутизной - уменьшение частоты модулированного колебания.

Сигналы с угловой модуляцией описываются выражением:

(1-6.1)

(1-6.2)

В случае фазовой модуляции гармоническим колебанием с частотой F_m и начальной фазой Ф_m имеем:

(1-6.3)

В результате модулированное по фазе колебание можно описать выражением

(1-6.4)

Здесь m - индекс угловой модуляции.

Для простоты, считая начальные фазы модулирующего и несущего колебаний равными нулю (Фm = 0 и jn = 0), и раскрывая при этом условии выражение (1-6.4), имеем:

(1-6.5)

Функции cos[mcos(2F_mt)] и sin[mcos(2F_mt)]являются периодическими и могут быть представлены в виде рядов Фурье:

(1-6.6)

(1-6.7)

Здесь J_n(m) - функции Бесселя (цилиндрические функции) 1-го рода n-го порядка от действительного аргумента. ( Буква J читается как "йот" или "жи").

Графики такого рода функций Бесселя 0-го, 1-го, 2-го и 3-го порядков изображены на рис. 1-6.2 сплошными линиями. На этом же рисунке пунктирной линией приведен график функции Бесселя 16-го порядка. Из рис. 1-6.2 видно, что начиная со второго порядка чем больше порядок функции Бесселя, тем при больших значениях аргумента эта функция становится заметно отличной от нуля. Например, J₁₆(11) = 0,005, J₁₆(12) = 0,014 и т. д.

Рис. 1-6.2

Выражение (1-6.5) с учетом (1-6.6) и (1-6.7) можно преобразовать к виду:

(1-6.8)

Из выражения (1-6.8) следует, что амплитуда k-ой (по отношению к нулевому компоненту на частоте несущего колебания) составляющей спектра ФМ сигнала, как и в случае ЧМ, равна произведению амплитуды несущего колебания An на функцию Бесселя J_k(m).

Согласно (1-6.8) в самом общем случае спектр модулированного по фазе гармоническим колебанием сигнала содержит бесконечно большое число компонентов. Однако с учетом того, что функции Бесселя больших порядков для малых аргументов фактически не отличаются от нуля, спектры реальных сигналов располагаются практически на ограниченных интервалах оси частот. Так, например, для частного случая, когда m<<1, с учетом того, что J1(m) = m/2 и J_o(m) = 1, можно записать следующее приближенное равенство для модулированного по фазе колебания:

(1-6.9)

То есть при очень малых индексах угловой модуляции заметными остаются всего три компонента из общего числа всех составляющих спектра модулированного по фазе гармоническим колебанием сигнала. Таким образом, в этом случае количественно спектр ФМ сигнала не будет отличаться от спектра АМ сигнала, исследуемого в лабораторной работе 1-4. Однако фазы нижней и верхней боковых составляющих спектра ФМ сигнала отличаются от фаз нижней и верхней боковых составляющих спектра АМ сигнала на 90 градусов.

С увеличением индекса угловой модуляции m спектр ФМ сигнала в соответствии характером поведения функций Бесселя (см. рис. 1-5.2) расширяется и содержит число компонентов приблизительно равное удвоенному значению индекса модуляции m. Т. е. можно считать, что полоса частот F, занимаемая спектром ФМ сигнала, может быть приближенно оценена следующим образом: DF"2m/T=2mFm. Отсюда следует вывод о том, что при больших значениях индекса угловой модуляции m полоса частот DF, занимаемая спектром ФМ сигнала, приблизительно равна удвоенному произведению индекса угловой модуляции и частоты модулирующего колебания.

Н а рис. 1-6.3 приведены спектрограммы, которые соответствуют сигналам, изображенным на рис. 1-6.1.

Рис. 1-6.3.

Манипулированные по фазе сигналы.

Н а рис. 1-6.4(а) приведена осциллограмма манипулирующей последовательности прямоугольных видеоимпульсов. На рис. 1-6.4(b) показана осциллограмма высокочастотной (не манипулированной) несущей. На рис. 1-6.4(с) изображено фазо-манипулированное колебание.

Рис. 1-6.4

Отношение периода последовательности импульсов Т к длительности одного импульса Т_и называется скважностью: q=T/T_и.

Манипулированные по фазе сигналы называют часто ФТ-сигналами, потому что они используются в фазовой телеграфии.

Определим спектр манипулирующей последовательности.

Постоянная составляющая периодической последовательности видеоимпульсов U_o равна площади одного импульса, усредненной на периоде:

(1-6.10)

Коэффициенты ряда Фурье можно определить с помощью известных выражений:

(1-6.11)

Амплитуда n-ой гармоники периодической последовательности видеоимпульсов равна:

(1-6.12)

Разница частот f соседних спектральных составляющих обусловлена периодом последовательности T и равна f = 1/T. Из выражения (1-6.12) следует, что первый минимум огибающей спектра зависит от длительности видеоимпульсов и имеет значение f₁ = 1/Tи.

Количество спектральных гармонических компонентов, расположенных в пределах основного лепестка sinc-функции, равно скважности манипулирующей периодической последовательности.

Частотно-манипулированный сигнал описывается выражением:

(1-6.13)

Очевидно, что этот сигнал можно представить как два амплитудно-манипулированных колебания, одно из которых манипулировано по амплитуде последовательностью Um(t), а второе - инвертированным колебанием [1- Um(t)]:

(1-6.14)

С учетом результатов исследования, полученных в лабораторной работе 1-4 можно утверждать, что спектр модулирующего колебания переносится на частоту fo дважды, но с различными начальными фазами.

В случае, когда манипуляция по фазе осуществляется периодической последовательностью вида "меандр", спектральная составляющая на частоте несущей будет отсутствовать (у двух совмещаемых АТ колебаний несущие имеют противоположные фазы). Остальные спектральные составляющие ФТ сигнала будут иметь удвоенные амплитуды по сравнению с обычным АТ сигналом.

Н а рис. 1-6.5 приведены спектрограммы, которые соответствуют сигналам, изображенным на рис. 1-6.4.

Рис. 1-6.5

Имитационные модели.

На рис. 1-6.6 приведена блок-схема имитационной модели, посредством которой проводятся исследования при частотной модуляции гармоническим колебанием. Анализатор спектра реализован на принципах дискретного преобразования Фурье.

На рис. 1-6.6 приведена блок-схема имитационной модели, посредством которой проводятся исследования при манипуляции фазы сигнала периодической последовательностью видеоимпульсов типа "меандр".

Рис. 1-6.6

Рис. 1-6.7