3.3. Средняя арифметическая и ее свойства

Наиболее распространенным видом средних величин являет­ся средняя арифметическая, которая в зави­симости от характера имеющихся данных может быть простой или взвешенной.

Средняя арифметическая применяется, если известны значения признака x_i и число единиц f_i, обладающих этим признаком.

1. Если для каждого x_i известна только одна единица, обладающая этим признаком, применяется средняя арифметическая простая (невзвешенная). Эта форма средней используется в тех случаях, когда расчет осуществляется по несгруппированным данным.

, (11)

где n – число единиц изучаемой совокупности

Пример. Определить среднюю зарплату рабочих бригады по следующим данным:

Ф.И.О.	зарплата, руб
	x	f
Иванов И.И. Петров П.П. Николаев Н.Н. Семенов С.С.	600 500 700 400	1 1 1 1

Рабочий бригады получает в среднем 550 руб.

2. Если в исходных данных известны отдельные значения признака x_i и для каждого своя численность единиц f_i, применяется средняя арифметическая взвешенная.

,

Пример. Определить средний балл студентов по теории статистики:

группа студентов по баллам	число студентов, чел
x	f
5 4 3 2	5 10 12 2

На экзамене по теории статистики студенты получили в среднем 3,5 балла.

При нахождении средней по интервальному вариационному ряду используется следующий порядок расчета:

1. Закрываются открытые интервалы, приняв их равными ближайшим закрытым.

2. От интервального ряда переходим к дискретному – в каждом интервале находится середина x=(x_max+x_min)/2, где x_max – верхняя граница интервала, x_min – нижняя.

3. Расчет производится по средней арифметической взвешенной.

Пример. Определить средний возраст студентов в группе по данным таблицы:

группы студентов по возрасту		число студентов	доля студентов
x		f
17–18 18–19 18–20 свыше 20	17,5 18,5 19,5 20,5	5 15 10 2	0,156 0,469 0,313 0,062

Средний возраст студента в группе составляет 18,8 года.

В отд. случаях веса могут быть представлены не абсолютными величинами, а относительными (в % или долях единицы). В этом случае получаем формулу:

, (12)

Рассмотрим расчет средней способом моментов:

1. Из всех вариантов x_i выбирается какое-то одно за базу отсчета, которое обозначается x_о. Может быть выбрано любое x_i, но для упрощения расчетов лучше брать x_i, имеющее наибольшую частоту f_i.

2. От фактических вариантов x_i переходим к условным x _i ¹, которые вычисляются по формуле:

,

где h – ширина равного интервала.

3. Расчет средней по формуле:

– (начальный) момент 1-го порядка.

Пример. Имеется распределение предприятий по стоимости основных фондов (ОФ).

Определить средний размер стоимости ОФ данных предприятий:

1. по средней арифметической взвешенной;

2. способом моментов.

Группы предприятий по стоимости ОФ, тыс. у.е.		Число предприятий
xi		fi
1	2	3	4	5	6
1–3 3–5 5–7 7–9 9–11 11 и более	2 4 = xo 6 8 10 12	15 30 20 15 15 5	–2 0 2 4 6 8	–1 0 1 2 3 4	–15 0 20 30 45 20
Итого		100	–	–	100

1)

2) основные этапы расчета средней способом моментов представлены в графах 4–6.

Средний размер стоимости ОФ рассматриваемых предприятий составил 6 тыс. у.е.

Свойства средней арифметической.

1. Сумма отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической равна нулю:

Математическое доказательство:

2. Если все усредняемые варианты уменьшить или увеличить на постоянное число А, то средняя арифметическая соответственно уменьшится или увеличится на ту же величину:

3. Если все варианты значений признака уменьшить или увеличить в А раз, то средняя также соответственно увеличится или уменьшится в А раз:

4. Если все веса уменьшить или увеличить в А раз, то средняя арифметическая от этого не изменится:

Исходя из данного свойства можно заключить, что в случае равенства всех весов расчеты по средней арифметической взвешенной и средней арифметической простой приведут к одному и тому же результату.