МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ

ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Энергетический институт

Кафедра электроснабжения промышленных предприятий

 

 

СИНТЕЗ АНАЛОГОВЫХ ФИЛЬТРОВ С ЗАДАННЫМИ

ХАРАКТЕРИСТИКАМИ И АНАЛИЗ ИХ РАБОТЫ

^{Наименование лабораторной работы}

Отчет по лабораторной работе № 3

по курсу «Дополнительные главы математики»

^{Наименование учебной дисциплины}

Вариант №13

Выполнил студентка гр. 5АМ24 ________ Е.В. Ивашова

^{Подпись Дата И.О.Фамилия}

Проверил доцент______ _______ _________ А.С. Глазырин

^{должность Подпись Дата И.О.Фамилия}

Томск – 2012

Содержание

Цели работы:

1. Научиться выводить системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), описывающих динамику элементов автоматических устройств (ЭАУ), на примере нагруженного LCR-фильтра низких частот (ФНЧ).

2. Научиться определять переходные функции ЭАУ с применением прямого и обратного преобразований Лапласа на примере нагруженного LCR-ФНЧ.

3. Научиться определять показатели качества по переходным функциям ЭАУ на примере нагруженного LCR-ФНЧ с применением различных методов решения нелинейных уравнений.

4. Научиться выводить аналитические выражения для частотных характеристик ЭАУ на примере нагруженного LCR-ФНЧ.

5. Научиться определять показатели качества по частотным характеристикам ЭАУ на примере нагруженного LCR-ФНЧ.

6. Закрепить полученные знания и умения – исследовать самостоятельно нагруженный LCR-ФВЧ (фильтр верхних частот).

Таблица 1. Исходные данные

Вариант	L, мГн	C, мкФ	Метод решения нелинейных уравнений
13	500	600	Метод секущих

Часть 1:

1. Анализ характеристик фильтра

Исходя из данных варианта, рассчитаем основные характеристики фильтра низких частот (ФНЧ) второго порядка представленном на рис.1

Рисунок 1. - Аналоговый ФНЧ второго порядка

Передаточное уравнение для ФНЧ имеет вид (1)

На первом этапе необходимо составить систему дифференциальных уравнений, описывающих состояние ФНЧ. На вход ФНЧ подаётся гармони­ческий сигнал. Будем использовать следующие обозначения переменных:

U_ВХ (t) - входное напряжение;

UВых (t) - выходное напряжение;

i_L (t) - ток катушки индуктивности;

i_C (t) - ток конденсатора;

i_H (t) - ток нагрузки.

По второму закону Кирхгофа входное напряжение уравновешивается

как

(1)

Согласно первому закону Кирхгофа ток катушки индуктивности i_L расщепляется на ток конденсатора i_C и ток нагрузки i_H :

(2)

Известно, что ток конденсатора определяется как

(3)

а ток нагрузки по закону Ома выразим как

(4)

Система дифференциальных уравнений, описывающих состояние ФНЧ с учётом (1) - (4), выглядит следующим образом:

(5)

Применим к выражению (5) прямое преобразование Лапласа, получим систему алгебраических уравнений в изображениях и проведём алгебраиче­ские преобразования:

(6)

где s - оператор Лапласа.

Подставим второе уравнение системы (6) в первое и проведём алгебраические преобразования

(7)

Операторной передаточной функцией ФНЧ W (s) называется отноше­ние изображение выходного сигнала U_Bы_X (s) ко входному U_BX (s):

(8)

С учётом (7) и (8) запишем выражение для операторной передаточной функции ФНЧ:

(9)

Запишем выражение для выходного напряжения:

(10)

где - операторная форма входного напряжения, прикладываемого ступенчато при коммутации ключа

Упростим в MathCAD выражение (10) с применением оператора упро­щения выражений simplify для R_нагр = 1000 • R

К выражению, полученному в результате упрощения, применим обрат­ное преобразование Лапласа с учётом нулевых начальных условий (до ком­мутации токи и напряжения ФНЧ равны нулю)

Получаем переходную функцию ФНЧ в ненагруженном режиме

Аналогично получим и для остальных:

В ненагруженном режиме:

В нормальном режиме:

В нагруженном режиме:

Рисунок 2. - Переходные характеристики фильтра с различными нагрузками

Найдём величину перерегулирования, для этого определим первую точку экстремума, определим производную по h(t):

Рисунок 3.- Зона допустимых отклонений

Найдём время завершения переходного процесса, последний переход функции через нуль, определив начальное приближение времени графически.

Рисунок 4. - Время завершения переходного процесса

Рисунок 5.- Метод секущих

Для более точного решения воспользуемся методом секущих.

Если итерации Х_к и Х_к+1 расположены достаточно близко друг к другу, то в методе Ньютона можно заменить производную первой конечной разностью, найденной по двум последним итерациям, т.е. заменить касательную секущей.

Для начала итерационного процесса необходимо задать два начальных приближения х₀ и х₁. Скорость сходимости метода секущих несколько ниже, чем метода касательных, однако он не требует вычисления производной левой части уравнения. Блок схема алгоритма метода секущих приведена на рисунке ниже.

Рисунок 6.- Алгиритм метода секущих

ПОСТРОЕНИЕ И АНАЛИЗ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК

В MATHCAD

Заменим в (9) оператор Лапласа s на комплексную переменную jw

Воспользовавшись процедурой избавления от мнимой единицы получим

Составим программу в MathCAD для определения корня нелинейного уравнения методом секущих

- вещественно-частотная характеристика (ВЧХ) ФНЧ

• мнимочастотная характеристика (МЧХ) ФНЧ,

- амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) ФНЧ

- фазочастотная характеристика (ФЧХ) ФНЧ

Для нахождения резонансной частоты ФНЧ необходимо АЧХ продифференцировать по частоте ю и ввести результат в соответствующую функцию

Приравняем производную к нулю и решим нелинейное уравнение с помощью процедуры solve

Отбросим первый и третий полученные корни, а второй корень пред­ставим в виде функции, затем определим резонансные частоты при трёх зна­чениях сопротивления нагрузки

Рисунок 7.- Амплитудно-частотные характеристики ФНЧ при разных сопротивле­ниях нагрузки.

Рисунок 8.- Фазочастотные характеристики (ФЧХ) ФВЧ при разных сопротивлениях нагрузки

Если повышать частоту входного сигнала ФНЧ, начиная от резонанс­ной, то амплитуда выходного напряжения при некоторой частоте снизится в

V2 раз, по сравнению с амплитудой, при частоте, стремящейся к нулю. Такая частота определяет полосу пропускания ФНЧ. Определим полосу пропуска­ния ФНЧ при ненагруженном режиме, решив нелинейное уравнение с помо­щью процедур solve. Результат представим в формате float (с плавающей точкой), взяв первые шесть значащих цифр результата.

Истинным решением будет первый корень, так как он является дейст­вительным положительным числом.

Определим полосу пропускания рассматриваемого фильтра при ненагруженном режиме, решив нелинейное уравнение при помощи метода секущих:

Рисунок 9.– АЧХ ненагруженного режима ФВЧ

Аналогичным образом определяем полосу пропускания фильтра для нагруженного и нормального режимов:

Рисунок 10 – АЧХ нормального режима ФВЧ

Рисунок 11 – АЧХ нагруженного режима ФВЧ

Для расчёта резонансной частоты, исходя из графика

Таблица1 – Результаты исследований динамики ФВЧ по частотным характеристикам

Показатель	Сопротивление нагрузки
	=1000*R	=100*R	=10*R
Резонансная частота , рад/с ;	9,184	8,993	0,025
Полоса пропускания , рад/с	14,274	14,085	3,958
Время переходно- го процесса, с	1,534	0,29	0,125