Задача 14. Нахождение острых углов между осями х, у, z и главным осями

Вычислить направляющие косинусы осей х, у, z в главной системе координат. Найти острые углы между осями х, у, z и главными осями , , .

Обозначим направляющие косинусы осей х, у, z в главной системе координат так:

(39)

Формула для напряжений в главных осях:

а квадрат касательного напряжения равен:

Добавляя к формулам уравнение I² +т² +п² =1, получим систему трех уравнений, решая которую найдем квадраты направляющих косинусов.

Направляющие косинусы оси х в главной системе координат, т. е. l_x, m_x, n_х найдем по формулам:

(40)

Обратим внимание на то, что формулы (40) получается одна из другой круговой заменой индексов 1, 2, 3. Извлекая квадратные корни, берем положительные значения l_x, m_x, n_х.

Направляющие косинусы оси у в главной системе координат, т. е. l_y, m_y, n_у найдем по тем же формулам (40), заменив в них предварительно все индексы х на индексы у:

Направляющие косинусы оси z в главной системе координат, т. е. l_z, m_z, n_z найдем по формулам (40), заменив в них все индексы х на индексы z:

Вычисленные направляющие косинусы (39) записываем в столбец 3 табл. А.1. Если вычисления сделаны правильно, то с точностью до знака они совпадают с направляющими косинусами в столбце 1.

Острые углы между осями х, у, z и главными осями , , обозначим и вычислим так:

(41)

Углы , , это углы между осью и осями X, Y, Z, а , , углы между осью х и осями , , . Если углы , , больше , то они равны углам , , .

Значения этих углов записываем в столбец 4 табл. А.1. Если вычисления сделаны правильно, то эти углы:

1) совпадают с углами в столбце 2, если углы в столбце 2 меньше 90°, т. е. также являются острыми;

2) являются дополнениями углов в столбце 2 до 180°, если углы в столбце 2 больше 90°, т.е. являются тупыми.

Острые углы между осями х, у, z и главными осями , , :

Задача 15. Проверочные расчеты

Проверить правильность вычисления главных нормальных напряжений , , в задаче 6 и направляющих косинусов в задаче 14. С этой целью, рассматривая площадки х, у, z, как наклонные к главным осям , , , найти нормальные , , и касательные , , . напряжения на этих площадках.