1.2 Основные понятия теории вероятностей

Теория вероятностей изучает закономерности случайных явлений. Опыт, эксперимент, наблюдение явления называется испытанием. Результат испытания называется событием. Для обозначения событий используются большие буквы латинского алфавита: А, В, С и т.д.

Два события называются несовместными (несовместимыми), если появление одного их них исключает появление другого в одном и том же испытании. Два события называются совместными (совместимыми), если появление одного из них не исключает появление другого в одном и том же испытании.

Два события А и В называются противоположными, если в данном испытании они несовместны и одно из них обязательно происходит. Событие, противоположное событию А, обозначают через .

Событие называется достоверным, если в данном испытании оно является единственно возможным его исходом, и невозможным, если в данном испытании оно заведомо не может произойти. Событие называется случайным, если оно объективно может наступить или не наступить в данном испытании.

Событие А называется благоприятствующим событию В, если наступление события А влечет за собой наступление события В.

Совокупность событий образует полную группу для данного испытания, если его результатом обязательно становится хотя бы одно из них.

События А₁, А₂, … А_n, образующие полную группу попарно несовместимых равновозможных событий, называются элементарными.

Вероятностью Р(А) события А называется отношение числа m элементарных событий, благоприятствующих событию А, к числу всех элементарных событий, т.е.

.

Следствия:

1. Вероятность достоверного события (m = n) равна единице;

2. Вероятность невозможного события (m = 0) равна нулю;

3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.

Суммой двух событий А и В называется событие С = А + В, состоящее или в наступлении события А, или события В, или обоих событий одновременно.

Произведением событий А и В называется событие С = АВ, состоящее в выполнении и события А, и события В.

Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

Р(А + В) = Р(А) + Р(В). (4.1)

Формула (4.1) справедлива для любого конечного числа несовместных событий:

.

Следствие 1: если события А₁, А₂, …, А_n образуют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице:

.

Следствие 2: сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

.

В общем случае для двух совместных событий теорема сложения записывается в виде:

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ) = 1 – Р .

Событие А называется независимым от события В, если вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет. Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет. Вероятность события, вычисленная при условии, что имело место другое событие В, называется условной вероятностью события А и обозначается Р(А/В). Следовательно, условие независимости событий можно записать в виде:

Р(А/В) = Р(А), (4.2)

а условие зависимости:

Р(А/В) ≠ Р(А).

Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого:

Р(АВ) = Р(А) · Р(В/А) = Р(В) · Р(А/В). (4.3)

Из равенства (4.2) видно, что для независимых событий формула (4.3) имеет вид:

Р(АВ) = Р(А) · Р(В).

Теорема умножения для n событий записывается следующим образом:

Р(А₁А₂…А_n) = Р(А₁)·Р(А₂/А₁)·Р(А₃/А₁·А₂) …Р(А_n/ А₁·А₂…А_n-1).

В случае независимых в совокупности событий имеем равенство:

.