3.4. Функции риска

Если статистик остановил свой выбор на некоторой решающей функции , то он, тем самым, определил для каждого исхода эксперимента , , соответствующее решение , которому при данном состоянии природы будут соответствовать потери:

. (3.14)

Но при заданном , исход эксперимента будет случайной величиной с вероятностями:

,

на пространстве . Поэтому и потери будут случайными величинами с вероятностями .

Следовательно, необходимо вести речь о средних потерях, определенных на всем пространстве возможных исходов эксперимента . Эти средние потери называются функцией риска:

. (3.15)

Функция риска определяется для каждого состояния природы и для каждой решающей функции . То есть определяется на прямом произведении множеств точно так же, как функция потерь , в игре без эксперимента, определялась на прямом произведении множеств . Следовательно, пространство решающих функций и функция риска , в игре с единичным экспериментом, играют ту же роль, что и пространство возможных стратегий статистика и функция потерь в игре без эксперимента. Это означает, что игру с единичным экспериментом можно решить теми же самыми методами, что и игру без эксперимента. Плохо только то, что количество чистых стратегий статистика неимоверно возрастает.

В игре с экспериментом статистик может применять и смешанные стратегии. Для этого он должен иметь механизм случайного выбора, задающий распределение вероятностей в пространстве .

Тогда функция риска, при применении смешанных стратегий, будет вычисляться как математическое ожидание (среднее):

, (3.16)

или с учетом (3.15):

. (3.17)

Естественно, что при поиске наилучшей стратегии в игре с экспериментом статистик должен исходить только из допустимых стратегий, которые определяются аналогично игре без эксперимента.

№ 3.9. Вычислить функции риска в задаче о технологической линии.

Решение. Для удобства расчетов потери статистика и вероятности сведем в одну таблицу:

	0	1	3	0,60	0,25	0,15
	5	3	2	0,20	0,30	0,50

Вычислим, например, . Согласно формуле (3.15), получаем:

.

Тогда

,

.

И так далее, можно вычислить все значения функции риска.

3.5. Принципы выбора стратегии в играх с единичным экспериментом

Так как введение функции риска сводит игру с единичным экспериментом к форме, аналогичной игре без эксперимента, то остаются справедливыми все принципы выбора стратегии статистика. Отличие состоит только в том, что вместо минимизации средних потерь, статистик должен теперь минимизировать средний риск.

Например, согласно принципу минимакса выбирается стратегия , при которой средний риск будет минимальным при наихудшем для статистика состоянии природы:

. (3.18)

И игра решается сведением к задаче линейного программирования.

Отметим также, что при определении среднего риска можно исходить и из дополнительных потерь .

Для применения байесовского принципа введем понятие ожидаемого риска, под которым будем понимать средний риск с учетом всех возможных состояний природы и априорного распределения вероятностей . А именно:

. (3.19)

И оптимальной будет такая решающая функция , при которой ожидаемый риск будет минимальным:

. (3.20)

При этом риск называется байесовским.

№ 3.10. Определить минимаксную и байесовскую стратегии в задаче о технологической линии с проведением единичного эксперимента.

Решение. Сведение задачи к - игре позволяет получить следующие решения:

1. Минимаксная стратегия -

.

2. Байесовская стратегия: , при которой

.