2.3.2. Байесовский принцип

Другим принципом выбора стратегии является байесовский, который учитывает априорное распределение вероятностей состояний природы . Согласно этому принципу, смешанную стратегию статистика оценивают усреднением потерь по всем возможным состояниям природы, то есть по величине:

. (3.9)

Наилучшей стратегией при этом будет та, которая минимизирует величину (9), а именно:

. (3.10)

Эту стратегию и называют байесовской.

№ 3.6. Найти байесовскую стратегию в задаче о технологической линии, представленной в виде - игры.

Решение. Для допустимых стратегий, определяемых отрезком , имеем:

.

Тогда при , что соответствует смешанной стратегии .

Для отрезка получаем:

.

Тогда при , что соответствует той же смешанной стратегии .

Следовательно, байесовской стратегией является чистая стратегия с оптимальным значением потерь 1,8 ед.

Ответ: ; .

2.4. Геометрическая иллюстрация байесовских стратегий

Рассмотрим статистическую - игру для двух состояний природы и , определяемую выпуклой областью :

0

Рис. 3.8

Вычислим средние потери (3.9):

,

где . Геометрически - это так называемая опорная прямая с градиентом , направленным от начала координат в сторону области .

Будем увеличивать от нуля до тех пор, пока эта прямая не станет касательной к границе области в точке , представляющей собой допустимую стратегию. Видно, что эта точка и определяет, при заданных и , оптимальную байесовскую стратегию, так как дальнейшее увеличение по направлению , приведет к недопустимым стратегиям.

Таким образом:

1. Каждая допустимая стратегия является байесовской для некоторых априорных вероятностей и .

2. Учитывая, что границей области является многоугольник, то опорная прямая в оптимальном положении обязательно пройдет через одну из вершин многоугольника. То есть, при заданных вероятностях и , всегда существует байесовская стратегия (хотя бы одна), являющейся чистой.

Если состояний природы более двух, то все вышесказанное остается в силе, только геометрическая иллюстрация становится практически невозможной.

Отметим также, что геометрическая иллюстрация байесовских стратегий представляет собой не что иное, как графическое решение задачи линейного программирования.

§ 3. Статистические игры с проведением единичного эксперимента

3.1. Постановка задачи

Особенностью статистической игры является возможность проведения эксперимента с целью расширения и уточнения знаний о состояниях природы. И возможность проведения эксперимента чрезвычайно расширяет класс возможных стратегий статистика.

Прежде всего, статистик должен принять решение о том, проводить или не проводить эксперимент. В случае положительного ответа на этот вопрос, он должен далее решить:

а) каким должен быть этот эксперимент;

б) сколько следует провести испытаний, чтобы считать эксперимент законченным;

в) какие предпринять действия при тех или иных исходах эксперимента.

Предположим, что статистик принял решение о проведении единичного эксперимента, под которым будем понимать такой эксперимент, объем и порядок проведения которого заранее определены.

Так, если надо проверить, является ли данная монета симметричной, можно провести единичный эксперимент, состоящий в бросании монеты раз. При этом пространство исходов этого эксперимента состоит из элементов вида:

.

Например, для определения вероятности выпадения герба при одном бросании монеты, Пирсон провел эксперимент, состоящий из 24000 бросаний монеты. То есть пространство возможных исходов эксперимента состояло из элементов.