- •1. Арифметические действия с комплексными числами. Тригонометрическая формула комплексного числа. Извлечение корня из комплексного числа.
- •3. Предел числовой последовательности. Теоремы о единственности предела и ограниченности сходящейся последовательности.
- •4. Теорема о пределе суммы двух сходящихся последовательностей. Теорема о пределе модулей членов сходящейся последовательности.
- •5. Теорема о пределе произведения двух сходящихся последовательностей.
- •6. Теорема о пределе частного двух сходящихся последовательностей.
- •7. Бесконечно малая и бесконечно большая последовательности. Их связь.
- •8. Теоремы о предельном переходе в двухчленных неравенствах.
- •9. Теорема о пределе промежуточной последовательности.
- •10. Теорема о стягивающихся отрезках.
- •11. Теорема о пределе ограниченной и монотонной последовательности.
- •12. Число e как предел последовательности.
- •13. Подпоследовательности. Теорема Больциано – Вейерштрасса.
- •14. Фундаментальные последовательности. Критерий Коши сходимости последовательности.
- •15. Два определения предела функции в точке и их эквивалентность.
- •16. Единственность предела функции в точке. Локальная ограниченность функции, имеющий конечный предел. Локальное сохранение знака функции, имеющий нулевой предел.
- •17. Критерий Коши существования предела функции в точке.
- •18. Доказать:
- •19. Доказать:
- •20. Эквивалентность бесконечно малых функций. Сравнение бесконечно малых функций по порядку малости. Главная часть. Необходимое и достаточное условие эквивалентности.
- •21. Непрерывность функции в точке. Арифметические операции с непрерывными функциями. Непрерывность сложной функции.
1. Арифметические действия с комплексными числами. Тригонометрическая формула комплексного числа. Извлечение корня из комплексного числа.
Комплексным числом – называется упорядоченная пара действительных чисел Z=(x, y), x,y R (x=Rez – действительная часть, y=Imz – мнимая часть), которые удовлетворяют аксиомам:
а) отождествление (x, 0) =x R
б) равенство к. ч.: для любых z1=(x1,y1), z2=(x2,y2) z1=z2 x1=x2 и y2 = y1
в) над комплексными числами определены операции: сложение и умножение.
1. Сложение: Z1+Z2 = (x1+x2, y1+y2)
а) Z1+Z2 = Z2+Z1
Доказательство: Z1+Z2=(x1+x2, y1+y2) = (x2+x1, y2+y1) = Z2+ Z1
( по свойству перестановочности сложения действительных чисел)
б) z1+z2+z3=z1+(z2+z3)
в) существует ед. комплексное число O, O C, такое, что Z+O=Z. O= (0, 0).
2. Умножение: Z1*Z2=(x1*x2-y1*y2, y1*x2+x1*y2)
a) Z1*Z2=Z2*Z1
б) (Z1*Z2)*Z3=Z1*(Z2*Z3)
в) существует ед. комплексное число e, e C, такое, что Z*e=Z; e=(1,0)
г) если z1<>(0,) то существует обратное число z2, такое что Z1*Z2=1.
Z2=Z1-1= [x/(x2+y2), -y/(x2+y2)]
е) z1*(z2+z3)=z1*z2+z1*z3
ж) С*Z=(C*x, C*y)
3. Вычитание: Разностью комплексных чисел Z1 = (x1,y1) и Z2 = (x2,y2) называется комплексное число Z=Z1-Z2, такое, что Z+Z2=Z1. Утверждение: Z1-Z2= (x1-x2, y1-y2)
Доказательство: z = z1-z2=(x, y)
Z+z2=(x, y) +(x2, y2) = z1 =(x1, y1)
{ x+x2=x1 { x=x1-x2
{ y+y2=y1 { y=y1-y2
4. Деление: Пусть z2 0. Частное от деления z1/z2 называется число Z, такое, что Z*z2=z1
Формула Муавра.
!!! Zn= rn( (cos ( * n) +i*sin(*n))
Тригонометрическая форма к.ч.:
z1=x+i*y= (x2+y2)1/2 *(x / (x2+y2)1/2 + i*y/ (x2+y2)1/2) = r*( COS() + i*SIN())
Экспонентальная форма: Z= r*e(i*), e(i*)=COS()+i*SIN()
Извлечение корня из к.ч.:
Корень n степени из Z = |Z|1/n *{COS (+2*k)/n + i*SIN (+2*k)/n}, где k=0,1,.., n-1.
2. Понятие точной верней (нижней) грани ограниченного сверху (снизу) множества чисел. Теорема об их существовании.
Число М (соответственно m) называется точной верхней (нижней) гранью множества чисел A, если выполняются следующие свойства:
1) x <= M (соответственно x >= m) для всех x A;
2) Как бы ни было мало , найдется такое число Xo, что M-Xo (Xo<M-
M=SupA=Supx, x A ; m = InfA=Infx, x A;
Теорема: Если множество X0 ограничено сверху (снизу), то ! точная верхняя грань (нижняя грань этого множества). Без доказательства.
3. Предел числовой последовательности. Теоремы о единственности предела и ограниченности сходящейся последовательности.
Опр. 1. Число а называется пределом последовательности {Xn}, если для любого положительного числа найдется (зависящее от него) натуральное число N такое, что для всех натуральных n>N выполняется равенство:
| Xn - a | < (n > N)
Теорема 1. Если {Xn} – сходящаяся последовательность, то ее предел единственный.
Доказательство: пусть это не так…
Xn –> a : {Xn – a} - Б.М.П. Xn – a = n
Xn –> b : {Xn – b} - Б.М.П. Xn – b = n
(ab)
b-a = n - n - б.м.п.
b–a = const – б.м.п.
( по Т.7 параграфа 1) b-a=0 b=a #
Теорема 2. Если {Xn} – сходящаяся последовательность, то она ограничена.
Доказательство:
а – предел {Xn}
Фиксируем некоторое положительное число и по нему номер N такой, что |Xn – a| < при всех n>=N или, что то же самое, a- Xn<a+Обозначим через А наибольшее из следующих (N-1) чисел: |a-|a+, |X1|, |X2|,…, |XN-1|. Тогда очевидно, |Xn| <= A для всех номеров n, а это и доказывает ограниченность последовательности {Xn}
#