МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Основы высшей алгебры

Учебное пособие

ПЕНЗА 2005

УДК 517.

Рассматриваются такие разделы высшей алгебры, как основы теории чисел; основные алгебраические структуры; теория многочленов. Приведены основные теоретические сведения и примеры с подробным решением. Составлено достаточное количество задач для упражнений.

Учебное пособие подготовлено на кафедре «Высшая и прикладная математика» и предназначено для студентов различных технических специальностей при изучении курса «Высшая математика».

Библиогр. 8 назван.

Составитель: Кудряшова Н.Ю.

Рецензенты:

А.М. Данилов, д.т.н., профессор, заведующий кафедрой «Высшая математика» Пензенского государственного университета архитектуры и строительства;

В.И. Паньженский, профессор, декан физико-математического факультета Пензенского государственного педагогического университета.

Часть 1. Основы теории чисел

1. Теория делимости

Теория чисел занимается изучением свойств целых чисел. Целыми мы будем называть не только числа натурального ряда 1, 2, 3, ... (положительные целые), но также нуль и отрицательные целые —1, —2, —3, ...

Сумма, разность и произведение двух целых а и b будут также целыми, но частное от деления а на b (если b не равно нулю) может быть как целым, так и не целым.

В случае, когда частное от деления а на b — целое, обозначая его буквою q, имеем а=bq, т. е. а равно произведению b на целое. Мы говорим тогда, что а делится на b или что b делит а. При этом а называем кратным числа b и b — делителем числа а. То обстоятельство, что b делит a, записывается так; b\а.

Имеют место две следующие теоремы.

Теорема 1.1.1 Если а кратно m,m кратно b, то а кратно b.

Действительно, из следует , где — целое. А это и доказывает теорему.

Теорема 1.1.2 Если в равенстве вида k+l+…+n=p+q+…+s относительно всех членов, кроме какого-либо одного, известно, что они кратны b, то и этот один член кратен b.

В общем случае, включающем, как частный, и случай, когда а делится на b, имеем теорему:

Теорема 1.1.3 Всякое целое а представляется единственным способом через положительное целое b в виде

a = bq + r;

Число q называется неполным частным, а число r – остатком от деления а на b.

Пример1.1.1. Пусть b= 14. Имеем

1.1 Наибольший общий делитель

Всякое целое, делящее одновременно целые а, b, ...,l, называется их общим делителем. Наибольший из общих делителей называется общим наибольшим делителем и обозначается символом (а, b, …,l). Ввиду конечности числа общих делителей существование общего наибольшего делителя очевидно. Если (а, b, ...,l) = 1, то а, b,…,l называются взаимно простыми. Если каждое из чисел а, b,…,l взаимно просто с каждым другим из них, то а, b,…,l называются попарно простыми. Очевидно, числа попарно простые всегда и взаимно простые; в случае же двух чисел понятия «попарно простые» и «взаимно простые» совпадают.

Пример 1.1.2. Числа 6, 10, 15 ввиду (6, 10, 15) = 1 — взаимно простые. Числа 8, 13, 21 ввиду (8, 13) =(8, 21) = (13, 21) = 1—попарно простые.

Теорема 1.1.4. Если а кратно b, то совокупность общих делителей чисел а и b совпадает с совокупностью делителей одного b; в частности, (a, b) = b.

Действительно, всякий общий делитель чисел а и b является делителем и одного b. Обратно, раз а кратно b, то всякий делитель числа b является также делителем числа а, т. е. он будет общим делителем чисел b и а. Таким образом, совокупность общих делителей чисел а и. b совпадает с совокупностью делителей одного b. А так как наибольший делитель числа b есть само b, то (а, b) = b.

Теорема 1.1.5 Если a = bq +с, то совокупность общих делителей чисел а и b совпадает с совокупностью общих делителей чисел b и с; в частности, (а, b)=(b, с).

Для разыскания общего наибольшего делителя, а также для вывода его важнейших свойств применяется алгоритм Евклида. Последний состоит в следующем. Пусть а и b — положительные целые. Находим ряд равенств:

(1.1.1)

заканчивающийся, когда получаем некоторое = 0. Последнее неизбежно, так как ряд b, r₂, r₃, ... как ряд убывающих целых не может содержать более чем b положительных.

Рассматривая равенства (1.1.1), идя сверху вниз, убеждаемся, что общие делители чисел а и b одинаковы с общими делителями чисел b и , далее одинаковы с общими делителями чисел и r₃, чисел r₃ и r₄,..., чисел r_n-1 и , наконец, с делителями одного числа . Одновременно с этим имеем

Мы приходим к следующим результатам.

1. Совокупность общих делителей чисел а и b совпадает с совокупностью делителей их общего наибольшего делителя.

2. Этот общий наибольший делитель равен , т.е. последнему не равному нулю остатку алгоритма Евклида.

Пример 1.1.3. Применим алгоритм Евклида к отысканию (525,231). Находим

Здесь последний положительный остаток есть r₄=21. Значит, (525, 231) =21.

Свойства наибольшего общего делителя (НОД)

1 Обозначая буквой m любое положительное целое, имеем (am, bm) = (a,b)m.

2 Обозначим буквой любой общий делитель чисел a и b, имеем ; в частности, имеем - т.е- частные от деления двух чисел на их общий наибольший делитель суть числа взаимно простые.

3 Если (a,b)=1, то (ас,b)=(c,b).

4 Если (а,b)=1 и ас делится на b, то с делится на b.

5 Если каждое взаимно просто с каждым то и произведение взаимно просто c произведением .

Задача отыскания общего наибольшего делителя более чем двух чисел сводится к таковой для двух чисел. Именно, чтобы найти общий наибольший делитель чисел , составляем ряд чисел:

Число d_n и будет общим наибольшим делителем всех данных чисел.