- •1. Основные понятия и определения
- •2. Краткие сведения из векторного анализа
- •2.4. Основные правила дифференцирования вектор-функций.
- •2.5. Интегрирование вектор-функции скалярного аргумента.
- •3. Кинематика точки
- •3.1. Способы задания движения
- •3.2. Скорость точки
- •3.2.1. Скорость точки при координатном способе задания движения Декартова система координат
- •Полярные координаты
- •3.3. Ускорение точки
- •3.3.1. Ускорение при координатном способе задания движения Декартова система координат
- •Полярные координаты
- •3.3.2. Ускорение при естественном способе задания движения
- •3.4. Частные случаи движения точки
- •4. Основные движения твердого тела
- •4.1. Задание движения твердого тела
- •4.2. Простейшие движения твердого тела
- •4.2.1. Поступательное движение твердого тела
- •4.2.2. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси
- •5. Плоское движение твердого тела
- •5.1. Задание движения
- •5.2. Скорости точек тела при плоском движении
- •5.3. Мгновенный центр скоростей. Центроиды
- •5.4. Ускорения точек при плоском движении. Мгновенный центр ускорений
- •6. Движение твердого тела с одной неподвижной точкой. Свободное твердое тело
- •6.1. Задание движения. Углы Эйлера
- •6.2. Распределение скоростей точек твердого тела, имеющего одну неподвижную точку. Мгновенная ось вращения. Мгновенная угловая скорость
- •6.3. Ускорения точек тела, имеющего одну неподвижную точку
- •6.4. Движение свободного твердого тела
- •7. Сложное движение точки
- •7.1. Основные определения. Абсолютная и относительная производные от вектора
- •7.2. Теорема о сложении скоростей
- •7.3. Теорема о сложении ускорений (теорема Кориолиса)
- •8. Сложное движение твердого тела
- •8.1. Постановка задачи
- •8.2. Сложение поступательных движений
- •8.3. Сложение вращений вокруг пересекающихся осей. Кинематические уравнения Эйлера
- •8.4. Пара вращений
- •8.5. Сложение вращений вокруг параллельных осей
- •8.7. Сложение поступательных и вращательных движений
- •8.8. Общий случай сложения движений твердого тела
7. Сложное движение точки
7.1. Основные определения. Абсолютная и относительная производные от вектора
В некоторых случаях целесообразно изучать движение точки одновременно по отношению к двум системам координат, одна из которых совершает заданное движение по отношению к другой (основной), принимаемой за неподвижную.
Будем называть сложным или «абсолютным» движением точки ее движение по отношению к системе координат, выбранной за основную. Движение точки по отношению к подвижной системе координат будем называть относительным. Под переносным движением будем понимать движение подвижной системы координат относительно неподвижной.
Далее мы встретимся с необходимостью дифференцирования вектора, определенного в системе координат, которая может двигаться произвольным образом. В связи с этим введем понятия абсолютной и относительной производных вектора. Пусть даны основная система координат и подвижная система координат, которая совершает произвольное движение. Пусть какой-либо вектор определен в подвижной системе координат, т.е. проекции этого вектора на оси подвижной системы – заданные функции времени. Если i, j, k – единичные векторы подвижной системы координат, то вектор может быть представлен в виде
. (7.1)
Дифференцируя обе части равенства (7.1) по времени, будем, иметь в виду, что векторы i, j и k вследствие движения подвижной системы координат меняют свое направление, т.е. являются функциями времени.
Таким образом, абсолютная производная вектора по времени будет равна
. (7.2)
Сумма первых трех слагаемых, представляющая собой производную от вектора в подвижной системе координат, называется относительной или локальной производной
. (7.3)
Заменяя в формулах (3.9) и (6.10) радиус-вектор последовательно на i, j и k, получим
.
Поэтому сумма последних трех слагаемых в (7.2) может быть представлена в виде
(7.4)
где – угловая скорость подвижной системы координат.
Следовательно,
. (7.5)
Таким образом, абсолютная производная вектора равна сумме относительной производной этого вектора и векторного произведения угловой скорости подвижной системы координат на этот вектор.
7.2. Теорема о сложении скоростей
Рис. 7.1. |
Выбирая систему координат Oxly1z1 за основную, предположим, что система координат Ахуz движется по отношению к основной системе произвольным образом (рис. 7.1). Скорость произвольной точки М по отношению к основной системе координат называется абсолютной скоростью. |
Скорость точки по отношению к подвижной системе координат называется относительной скоростью. Переносной скоростью точки называется скорость той точки подвижной системы координат, с которой в данный момент совпадает движущаяся точка.
Если радиус-вектор определяет положение точки М по отношению к системе координат Ох1у1z1, радиус-вектор определяет положение начала системы координат Ахуz в системе Ох1у1z1, а радиус-вектор определяет положение точки М в системе координат Ахуz, то в соответствии с рис. 7.1 имеем
. (7.6)
Пусть координаты точки в подвижной системе координат будут х, у и z; тогда ,
где i, j, k – единичные векторы осей подвижной системы координат.
По определению абсолютная производная радиуса-вектора по времени будет абсолютной скоростью точки. Следовательно, дифференцируя равенство (7.6) по времени, найдем абсолютную скорость точки
. (7.7)
Так как вектор определен в подвижной системе координат, то для нахождения абсолютной производной от него воспользуемся формулой (7.5):
, (7.8)
где – угловая скорость подвижной системы координат, а
представляет собой относительную производную от по времени. Согласно определению это будет относительная скорость точки, т.е.
. (7.9)
Подставляя выражения (7.8) и (7.9) в соотношение (7.7), получим
, (7.10)
где – скорость начала подвижной системы координат по отношению к основной.
Для определения переносной скорости точки закрепим ее в подвижной системе координат, т.е. положим в формуле (7.10) , тогда получим
. (7.11)
Таким образом, имеем
, (7.12)
т. е. абсолютная скорость точки равна геометрической сумме переносной и относительной скоростей.