- •1. Основные понятия и определения
- •2. Краткие сведения из векторного анализа
- •2.4. Основные правила дифференцирования вектор-функций.
- •2.5. Интегрирование вектор-функции скалярного аргумента.
- •3. Кинематика точки
- •3.1. Способы задания движения
- •3.2. Скорость точки
- •3.2.1. Скорость точки при координатном способе задания движения Декартова система координат
- •Полярные координаты
- •3.3. Ускорение точки
- •3.3.1. Ускорение при координатном способе задания движения Декартова система координат
- •Полярные координаты
- •3.3.2. Ускорение при естественном способе задания движения
- •3.4. Частные случаи движения точки
- •4. Основные движения твердого тела
- •4.1. Задание движения твердого тела
- •4.2. Простейшие движения твердого тела
- •4.2.1. Поступательное движение твердого тела
- •4.2.2. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси
- •5. Плоское движение твердого тела
- •5.1. Задание движения
- •5.2. Скорости точек тела при плоском движении
- •5.3. Мгновенный центр скоростей. Центроиды
- •5.4. Ускорения точек при плоском движении. Мгновенный центр ускорений
- •6. Движение твердого тела с одной неподвижной точкой. Свободное твердое тело
- •6.1. Задание движения. Углы Эйлера
- •6.2. Распределение скоростей точек твердого тела, имеющего одну неподвижную точку. Мгновенная ось вращения. Мгновенная угловая скорость
- •6.3. Ускорения точек тела, имеющего одну неподвижную точку
- •6.4. Движение свободного твердого тела
- •7. Сложное движение точки
- •7.1. Основные определения. Абсолютная и относительная производные от вектора
- •7.2. Теорема о сложении скоростей
- •7.3. Теорема о сложении ускорений (теорема Кориолиса)
- •8. Сложное движение твердого тела
- •8.1. Постановка задачи
- •8.2. Сложение поступательных движений
- •8.3. Сложение вращений вокруг пересекающихся осей. Кинематические уравнения Эйлера
- •8.4. Пара вращений
- •8.5. Сложение вращений вокруг параллельных осей
- •8.7. Сложение поступательных и вращательных движений
- •8.8. Общий случай сложения движений твердого тела
6.3. Ускорения точек тела, имеющего одну неподвижную точку
Введем прежде всего понятие углового ускорения. Угловым ускорением называется производная угловой скорости по времени, т.е.
. (6.15)
Рис. 6.4. |
Из определения видно, что вектор углового ускорения можно рассматривать как скорость конца вектора (рис. 6.4). Угловое ускорение направлено по касательной к годографу вектора угловой скорости (рис. 6.4), поэтому его направление может быть каким угодно в зависимости от закона изменения |
вектора угловой скорости. Заметим попутно, что годограф вектора угловой скорости – кривая, лежащая на неподвижном аксоиде (рис. 6.4).
Перейдем теперь к определению ускорения произвольной точки тела. Исходя из определения ускорения и используя равенство (6.10), получим
.
Но , а ,
следовательно,
. (6.16)
Таким образом, ускорение может быть представлено как сумма двух ускорений: и .
Ускорение называется вращательной составляющей ускорения. Модуль этого ускорения равен
,
где – расстояние от точки М до вектора . Направлено это ускорение перпендикулярно плоскости векторов и в ту сторону, откуда кратчайший переход от вектора к вектору виден против хода часовой стрелки. Заметим, что вследствие несовпадения направлений угловой скорости и углового ускорения вращательная составляющая ускорения может быть направлена по отношению к направлению скорости под любым углом, оставаясь перпендикулярной вектору . В этом существенное различие между вращением твердого тела вокруг неподвижной оси и движением тела, имеющего одну неподвижную точку.
Рис. 6.5. |
Ускорение направлено по перпендикуляру к плоскости векторов и , т.е. по направлению вектора d (рис. 6.5), имеющего начало в точке М и конец в основании перпендикуляра, опущенного из точки М на мгновенную ось вращения. Модуль векторного произведения равен , т.к. . |
Следовательно, можно записать
. (6.17)
Это ускорение называется осестремительной составляющей ускорения.
Итак, ускорение любой точки тела равно сумме вращательной и осестремительной составляющих ускорения
. (6.18)
6.4. Движение свободного твердого тела
Рассмотрим движение свободного твердого тела. Введем, кроме неподвижной системы координат Ох1y1z1 еще подвижную систему координат Aх2y2z2, перемещающуюся поступательно относительно осей Ох1y1z1 и связанную с телом только в одной точке – точке А, и подвижную систему координат Axyz, жестко связанную с телом (рис. 6.6). В подвижной системе
Рис. 6.6. |
координат Aх2y2z2 тело имеет одну закрепленную в ней точку – точку А, следовательно, тело в этой системе координат участвует в движении, рассмотренном нами в предыдущем параграфе. Для того чтобы задать положение тела в подвижной системе координат Aх2y2z2, можно ввести три угла Эйлера , а для определения |
положения относительно неподвижной системы координат нужно, кроме того, задать положение точки А, для чего потребуется знать еще три величины: xlA, ylA, zlA. Таким образом, положение свободного твердого тела определяется шестью независимыми параметрами: xlA, ylA, zlA, .
Перейдем к определению скоростей точек свободного тела. Скорость произвольной точки В равна производной от ее радиуса-вектора по времени. Пользуясь рис. 6.6, найдем
.
Следовательно,
. (6.19)
Заметим, что – скорость точки А; кроме того, вектор представляет собой скорость точки В относительно подвижной системы координат Aх2y2z2, в которой тело имеет одну закрепленную точку. Следовательно, согласно формуле (6.10) .
Таким образом, формулу (6.19) можно переписать в виде
. (6.20)
Здесь – угловая скорость вращения тела относительно системы координат Aх2y2z2. (Так же как и для плоского движения, можно показать, что угловая скорость не зависит от выбора полюса).
Формулу (6.20) можно прочитать следующим образом: скорость любой точки свободного твердого тела геометрически складывается из скорости произвольно выбранного полюса и скорости этой точки во вращательном движении тела относительно полюса.
Пользуясь формулой (6.20), можно доказать следующую теорему:
Проекции скоростей двух точек свободного твердого тела на прямую, проходящую через эти точки, равны, между собой.
Согласно равенству (6.20) имеем
,
но вектор перпендикулярен вектору ; следовательно, и . Определим ускорения точек свободного твердого тела. Для этого продифференцируем по времени равенство (6.20):
. (6.21)
Замечая, что , – угловое ускорение тела в подвижной системе координат Aх2y2z2, а , получим
Используя (6. 17), можно записать
.
где – вектор, имеющий начало в точке В, а конец в основании перпендикуляра, опущенного из В на (рис. 6.7).
Рис. 6.7. |
В окончательном виде ускорение точки свободного тела выражается следующим образом: . (6.22) Два последних члена дают ускорение точки В в ее движении вокруг полюса. Таким образом, ускорение точки свободного тела равно |
геометрической сумме ускорения полюса и ускорения этой точки в ее движении вокруг полюса.