Глава I. Механика Лабораторная работа № 10 определение моментов инерции с помощью крутильного маятника

Цель работы: изучение крутильных колебаний и определение методом крутильных колебаний моментов инерции твердых тел.

Задачи работы: 1) определение момента инерции тела правильной геометрической формы (цилиндра); 2) определение момента инерции модели тела человека; 3) определение момента инерции тела человека.

Обеспечивающие средства: крутильный маятник, цилиндр, модель человека, штангенциркуль, секундомер.

Теоретическая часть Момент инерции

Моментом инерции I материальной точки относительно некоторой оси вращения называется произведение массы m точки на квадрат расстояния r от точки до оси вращения:

I = mr²

Момент инерции тела определяется как сумма моментов инерций всех материальных точек, из которых состоит данное тело:

.

Момент инерции сплошного тела массой M определяется как

(1)

Момент инерции – это мера инертности тела при его вращательном движении (аналогично массе тела – мере инертности тела при поступательном движении).

Из формулы (1) видно, что момент инерции тел одинаковой массы, но различной конфигурации различен в зависимости от распределения массы относительно оси вращения. В системе единиц СИ момент инерции измеряется в кг м², зависит от массы тела, его формы, распределения плотности в объеме тела., а также от положения тела относительно оси вращения..

В некоторых разделах космической и спортивной медицины, ортопедии, бионики возникает необходимость измерения момента инерции тела человека и отдельных его частей.

При беге, например, значительная часть энергии расходуется на то, чтобы придавать конечностям ускорение, направленное поочередно то вперед, то назад. Чем больше момент инерции, тем больше требуется на это энергии. У человека мускулатура конечностей расположена главным образом в области плеча и бедра, а не по всей длине руки или ноги, в этом случае момент инерции является минимальным.

Вычислить момент инерции тела человека сложно, поэтому прибегают к модели. Определив момент инерции модели, мож­но, пользуясь теорией подобия, рассчитать момент инерции тела человека.

Теория подобия

Подобными друг другу называются явления и тела, для кото­рых одноименные параметры, характеризующие их, относятся между собой как постоянные числа. Рассмотрим основные поло­жения теории подобия на примере момента инерции тела отно­сительно произвольной оси вращения.

Пусть моменты инерции двух подобных тел массами m₁ и m₂ равны

(2)

и

. (3)

По определению подобия, отношения всех величин, входящих в эти формулы, должны быть выражены постоянными числами, называемыми константами подобия:

,

,

,

или

I₁ = C_I I₂,

r₁ = C_r r₂,

m₁ = C_m m₂,

где r₁ и r₂ - соответствующие линейные параметры двух тел, например радиусы цилиндров. На основании этих соотношений и формулы (2) получаем

,

откуда

. (4)

Для выполнения равенства (4) необходимо, чтобы

(5)

Величина называется индикатором подобия, а равенство - условием подобия. У подобных явлений индикаторы подобия равны.

Из уравнений (4) и (5) видно, что константы подобия не могут выбираться произвольно, они оказываются связанными уравнением (5). Подставляя константы подобия в уравнение (5), получаем

,

т.е. отношение одинаково для всех подобных явлений.

Величина

называется инвариантом или критерием подобия. У подобных явлений критерии численно равны.

На основании подобия можно определить момент инерции тела человека с помощью модели, считая тело человека однородным. Зная соотношение С_m между массой человека и массой модели и соотношение С_r между линейными размерами человека и модели, можно определить

. (6)

Измерив экспериментально момент инерции модели I, можно рассчитать момент инерции тела человека

. (7)